Исследование сходимости рядов

Исследование абсолютной сходимости рядов совпадает с исследованием сходимости рядов с неотрицательными членами. [c.102]

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ [c.269]

Как уже отмечалось, при исследовании сходимости рядов (6), (20) в случае их применения для решения поставленной смешанной задачи Коши (2), (3) методы доказательства теорем типа теоремы Коши-Ковалевской (в частности, метод мажорант) непосредственно неприменимы. Однако, если рассматривать обратную задачу [12], когда вместо задания краевого условия (2) задается аналитический закон движения фронта фильтрации if, (функция ао( ) в (17)), то справедливы соответствующие аналоги теоремы Коши-Ковалевской, из которых следует сходимость рядов (6), (20) и аналитичность функции f t) в (5), порождаемой заданной функцией ao t). В [12] такие теоремы установлены в пространственном случае для уравнения [c.287]

В. И. Арнольд . Преодолев значительные математические трудности, характерные для исследований сходимости рядов, встречающихся в задаче трех и многих тел, путем применения процесса последовательных канонических преобразований и исключения частот, соответствующих быстро убывающим малым делителям, они построили строгую теорию возмущений [c.115]

К решению (1) применим весь анализ работы [72] (исследование сходимости рядов) отсюда следует, что в струе имеются две прямые звуковые линии АВ и ЕВ, расположенные на конечном расстоянии от носика клина. К этим звуковым линиям слева и справа примыкают два равномерных звуковых потока. [c.295]

Таким образом, нахождение или построение усиливающих функций может явиться полезным средством для исследования сходимости рядов, получаемых некоторой формальной процедурой. [c.14]

Необходимо сразу же подчеркнуть, что при исследовании сходимости ряда (9.3) нельзя ограничиться действительными значениями у, несмотря на то что физический смысл могут иметь только действительные у. Сходимость разложения функции в степенной ряд по некоторой действительной пере- [c.223]

При рассмотрении вопроса о сходимости ряда (1) следует различать две проблемы. Возмущения различных порядков будут даваться не конечными выражениями, а в виде бесконечных рядов. Первая проблема состоит в исследовании сходимости этих рядов. Вторая проблема связана с исследованием сходимости ряда (1), образованного возмущениями различного порядка. [c.495]

Здесь же нужно заметить, что в случае неустойчивости, следовательно, для р + д О, исследование сходимости рядов ср, ф, р, д представляет собой также еще не решенную задачу. [c.261]

Для доказательства этого предположения требуется тонкое исследование сходимости ряда (2.8) при комплексных к, которое никем не было опубликовано и, возможно, никем не было проведено. Тем не менее о совпадении множества полюсов функции Грина О и множества наборов всех полюсов функций Ор обычно говорят, как о хорошо известном факте. [c.311]

Исследование сходимости полученных решений может быть проведено на основе метода мажорантных рядов Коши или методом сжатых отображений. [c.275]

Исследование сходимости последовательности функций у(х) при увеличении числа членов ряда показывает, что при определенных условиях функция у(х) сходится к истинному выражению у(х), если п стремится к бесконечности. [c.191]

Для исследования сходимости численного метода по количеству координатных функций и шагу ведущего параметра, а также для проверки эффективности предлагаемого подхода решен ряд задач упругого деформирования и устойчивости круглых пластин, сферических и конических оболочек. Результаты решений предшествуют анализу соответствующих задач ползучести. Некоторые из них сравниваются с данными литературы. Кроме того, целью предварительных расчетов является также оценка критических нагрузок, знание которых интересно при изучении устойчивости оболочек в условиях ползучести. [c.52]

Дальнейшие приближения (/>1) можно получить последовательно по аналогии с изложенным выше. Их практическое применение сопровождается прогрессивным возрастанием объема вычислений, который становится сопоставимым с прямым использованием уравнений (7.13), дающих теоретически точные результаты при устранении необходимости особого исследования, в каждом конкретном случае сходимости рядов (7.19) и (7.20), чего, строго говоря, требует теория возмущений. [c.132]

Классические методы пытаются решать задачи распределения полей напрямую, формируя системы дифференциальных уравнений на основании фундаментальных физических принципов. Точное решение, если удается получить уравнения в замкнутой форме, возможно только для простейших случаев геометрии, нагрузок и граничных условий. Довольно широкий круг классических задач может быть решен с использованием приближенных решений систем дифференциальных уравнений. Эти решения имеют форму рядов, в которых младшие члены отбрасываются после исследования сходимости. Как и точные решения, приближенные требуют регулярной геометрической формы, простых граничных условий и удобного приложения нагрузок. Соответственно, данные решения не могут быть применены к большинству практических задач. Принципиальное преимущество классических методов состоит в том, что они обеспечивают глубокое понимание исследуемой проблемы. [c.20]

Изучению свойств сходимости рядов и установлению классов функций Fi x), р2 х), для которых возможны совокупные представления вида (7.10.10) по обобщенно ортогональным функциям, посвящено (применительно к задаче изгиба плит) исследование Г. А. Гринберга (1951), [c.363]

Таким образом, оценки роста модулей элементов обратной матрицы для системы (9) играют решающую роль в исследовании скорости сходимости ряда (20) и в двумерном случае. [c.287]

Итак, построен формальный алгоритм получения решения уравнений Буссинеска для случая валов в задаче Ре лея в виде рядов (1.3) при произвольных параметрах Решение дифференциального уравнения (1.13) получено явно. Возникает вопрос о ра-циональном выборе управляющих параметров с целью обеспечения достаточно хорошей сходимости рядов (1.3). Теоретические результаты исследования сходимости этих рядов как в случае рассматриваемой задачи, так и в более простых ситуациях 7] отсутствуют. Трудность доказательства теорем сходимости усугубляется тем, что системы базисных функций в рядах (1.3) линейно зависимые. Поэтому в дальнейшем сходимость рядов исследуется экспериментально. [c.386]

Не занимаясь исследованием сходимости этого ряда, отметим, что сумма выписанных членов его при 9 = Va хорошо совпадает с решением уравнения (37. 5), полученным ниже другим способом (фиг. 128). При 8 = 1 совпадение хуже, а при 9 > 2 ряд (37. 8) оказывается совершенно непригодным для вычислений. [c.211]

Окислы, как правило, имеют малую область гомогенности этим можно объяснить, что при решении диффузионных задач определение распределения концентрации по толщине окисной пленки не представляло интереса. Тем не менее в [2] диффузионная кинетика po Tia оксида исследовалась для линейного закона распределения концентрации по толщине слоя. В [20, 49] решение диффузионной задачи, ошсьюа-ющей рост оксида, бьшо выполнено для граничных условий, близких к условиям роста диффузионных покрытий при этом использовались ряды. Несмотря на преимущества применения рядов для решения подобных задач, возникают и осложнения, связанные с необходимостью исследования сходимости рядов. В связи с этим иногда могут быть поставлены под сомнения и полученные рещения, если не найден путь доказательства сходимости. При решении задачи о росте диффузионного покрытия в предположении, что его толщина со временем изменяется по параболическому закону, могут использоваться представления, развитые в [46]. Рассмотрим однофазное покрытие. Предположим, что оно возникает в результате подачи вещества В на подложку из материала А при температуре Г, необходимо найти концентрацию Сд вещества А на поверхности покрытия, а также распределение концентрации вещества А по толщине покрытия. Если специально не оговаривается, то предполагается, что коэффициент диффузии вещества В в А пренебрежимо мал по сравнению с коэффициентом диффузии вещества А в В. [c.120]

При доказательстве теорем существования используют принцип сжатых отображений для исследования сходимости ряда по норме [48] и его модификации — метод мажорантных рядов Коши [146] или метод аппроксимирующих гамильтонианов [200]. Сущность этих методов состоит в том, что удается получить решение в конечном виде, мажорирующее ряд (28.7). Выбор мажоранты определяется конкретными особенностями гамильтониана. [c.304]

Работы в этой области являются продолжением замечательной работы А М. Ляпунова (1896), посвященной исследованию сходимости рядов Хилла в предложенной последним теории движения Луны. [c.354]

В литературе изложены результаты исследований сходимости рядов типа (3-30) для некоторых частных случаев и приведены для них иногда удачные, иногда менее удачные способы оценки длительности дорегулярного режима тел простой формы 125, 26, 33]. Общий способ качественной оценки длительности дорегулярного режима, справедливый для тел различной конфигурации при разнообразных начальных температурных полях и значениях критерия Био, приведен в монографии [14]. [c.97]

Обращаемся теперь к исследованию сходимости рядов (1.74). Пусть Т — некоторое конечное, произвольно назначаемое положительное число. Так как все функции Хва непрерывны в промежутке ( о — Т, to + T), то таковыми же будут и определитель Д, и все определители Д о- Так как Д не обращается в нуль ни при каком значении то будут также непрерывнымн и все отношения /А. [c.45]

Для дальнейшего рассмотрения можно ограничиться случаем, когда А по абсолютной величине равно единице, но не является корнем из единицы. В этом случае для исследования сходимости ряда Шрёдера требуются весьма тонкие оценки, к которым мы и переходим. Прежде всего покажем, что те значения А, для которых при соответствующем выборе сходящегося ряда f z) = Xz +. .. ряд Шрёдера ip () расходится, лежат даже всюду плотно на окружности А = 1 [2]. Для доказательства достаточно взять степенной ряд f z), все коэффициенты которого а п = 2, 3,. ..) равны причем выбор знака опреде- [c.241]

Приведенные выше результаты устанавливают существование, единственность, аналитичность, а также устойчивость периодического решения лишь при достаточно малых значениях р между тем в каждой прикладной задаче теории колебаний встречаются некоторые конечные значения (.i. Сходимость рядов, а также устойчивость решений при этих конечных значениях параметра в подавляющем большинстве прикладных исследований ие изучают, так как, во-первых, это трудоемкий процесс, во-вторых, соответствуют,не оценки часто оказываются неэф ективными, ибо всегда ориентированы на худший случай. Таким образом, строго установленные локальные резу ч.таты фактически используют нелокально. По этой причине, а также в связи с тем, что обычно находят лишь один—три члена ряда, к соответствующим результатам следует относиться как к пол ченным лишь на рациональном уровне строгости , несмотря на полную строгость указанных выше теорем. Поэтому проверку результатов с помощью физического или численного эксперимента не следует считать излишней [2, 7, 8, 10]. [c.62]

В. М. Даревским выделена главная, неограниченно возрастающая в окрестности точек на1фужения часть решения, которая выражается) конечной комбинацией элементарных функций. Т кое выделение-позволяет существенно улучшить. сходимость рядов и получить асимптотические формулы для ус 1лий и моментов в окрестности точек приложения сосредоточенных сил. Интегрированием асимптотических формул можно получить соответствующие выражения при локальном нагружении и выявить особенности решения у концов линий нагружения или в угловых точках площадок нагружения. Такие исследования выполнены в работе [c.253]

Указанный способ построения компонентов оставшейся части матрицы Грина удобен при практических численных расчетах, однако оН не позволяет увидеть характер сходимости рядов. Поэтому при исследовании сходимости будем считать функции ФпЧ1) в разложении (6.54) неизвестными. [c.270]

Поставим задачу об исследовании возможных способов выбора функций F(x, t), содержащих произвольные функции от t и обеспечивающих последовательное нахожде ние коэффициентов (t). Наличие в базисной функции F(x, t) произвольных функций от t делает возможным использование (4) не только для решения задач Коши, но и для решения смешанных задач при наличии краевых условий, которые можно удовлетворить, ограничиваясь конечным отрезком ряда в (4) и выбирая соответствующим образом произвольные функции, входящие в F(x, t). Кроме того, если бы удалось найти широкий набор функций Р х, t), например, убывающих при х оо, то можно было бы использовать отрезки рядов (4) для решения задач в полуограниченных областях, а произвольные функции подбирать из каких-либо условий, обеспечивающих достаточно быструю сходимость ряда (4). [c.218]

Другое исследование сходимости было выполнено для шарнирно опертой оболочки с вырезом длиной 1/3 от длины оболочки и углом раствора 90°. В табл. 2 представлены результаты для четырех низших частот колебаний, соответствующих формам колебаний, обладаюитих как осевой, так и окружной симметрией. Для получения хорошей верхней границы для низшей частоты собственных колебаний в рядах для перемещений использовалось несколько сочетаний различных членов ряда. [c.247]

Обычная процедура нахождения матриц жесткости для отдельных элементов, на которые разделена конструкция, основана на предположении, что перемещения можно представить в виде степенных рядов (по координатам). В этом случае деформации находятся путем дифференцирования, а матрица жесткости получается из условия равенства виртуальных работ для внутренних и внешних сил. Если используют принцип минимума полной потенциальной энергии, то приходят к известному методу перемещений. Другой известный метод — метод сил — основан на принципе минимума дополнительной энергии. В каждом из этих подходов могут возникать трудности, связанные с возможным появлением разрывов исследуемых величин в узловых точках. Нагрузка от распределенного по поверхности элемента давления должна быть сведена к сосредоточенным силам, приложенным в узлах при этом вычисление внутренней энергии элементов может быть сложным. Если с большой математической строгостью подойти к вопросам обобщения метода, проверки его основных положений, исследования сходимости и т. д., то его еще не сразу можно применить к расчетам реальных консг-рукций. [c.106]

Вопрос о сходимости ряда, который образуется при продолжении приближения из коэфициентов при косинусах кратных дуг, а также и результирующего косинусоидального ряда, был поставлен Бурнсайдом ), который даже сомневался в существовании волн строго установившейся формы. Это обстоятельство побудило Рэлея ) предпринять детальное исследование, которое показывает, что усло- [c.523]

Здесь, в пп. 14.30—14.34 приведена линейная теория бесконечно малых стоячих волн. Однако в литературе имеются исследования по теории стоячих волн конечной амплитуды, в которых находятся решения полных уравнений гидродинамики, удовлетворяющие нелинейным граничным условиям. При решении применяются ряды по степеням малого параметра и переменные Лагранжа при этом в качестве первого члена берется данное решение линейной теория. Показано, что, удовлетворяя всем условиям, можно построить любое приближение, однако сходимость рядов не доказана. Установлен ряд свойств стоячей волны конечной амплитуды, отличающих ее от волны линейной теории. Основные результаты в этой теории получены Я. И. Секерж-Зеньковичем в его работах, опубликованных в 1947—1959 гг. первая из них называется К тео]рии стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости , ДАН СССР, 8, № 4 (1947), 551—553. Темы многих последующих работ того же автора и других авторов можно найти в статье Вейхаузена (см. прим. перев. на стр. 409) и в вводной статье к с эрнику переводов (указанных там же). Тот же автор рассмотрел конечные колебания поверхности раздела двух неограниченных жидкостей разных плотностей, расположенных одна над другой (см. ДАН СССР, 136, № 1 (1961), 51—59 Труды Морского гидрофизического института АН СССР, ХХШ (т ), Ъ—43.—Прим. перев. [c.378]

Необходимо заметить, что для некоторого специального класса задач величина 5 = 15 может оказаться недостаточной. В таких случаях может возникнуть необходирлость повысить число членов ряда до 20—30. Например, при исследовании напряженного состояния эллиптической пластины от запрессованных дисков небольших радиусов и расположенных близко к контуру 70. В этом случае можно ожидать худшей сходимости рядов, так как величины Ь определяющие положение центров этих дисков, по модулю близки к величинам полуосей эллипса Ь. [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...