Сходимость несовместных элементов

Сходимость несовместных элементов [c.214]

Решение 1 имеет сходимость снизу, что не противоречит известному утверждению о сходимости снизу для совместных элементов. С физической точки зрения это объясняется тем, что введение аппроксимирующих функций можно расценивать как введение определенных связей, которые ожесточают систему. Решение 2 в данном случае имеет сходимость сверху. Это можно объяснить тем, что хотя введение аппроксимирующих функций ожесточает систему, наличие разрывов для несовместных элементов означает снятие определенных связей fro границам элементов. В связи с этим, для несовместных элементов может наблюдаться сходимость как сверху (как в данном случае), так и снизу. Интересным может оказаться сравнение точности расчета для этих двух элементов. Такое сравнение для одной и той же сетки недостаточно объективно, так как в этом случае лучшее приближение для элемента 1 может объясниться просто большим количеством степеней свободы. [c.24]

Обратимся теперь к несовместным элементам. Сходимость решения к точному имеет место и в этом случае, если в пределе (т.е. по мере сгущения сетки) в аппроксимирующих функциях исчезают члены, создающие несовместность. Следовательно, сходимость будет гарантирована, если несовместные конечные элементы, во-первых, способны воспроизвести в пределе ли нейное поле перемещений и, во-вторых, оказываются прн этом совместными. Обычно используют более жесткое требование, в соответствии с которым должна обеспечиваться сплошность тела в условиях линейного поля перемещений при любых размерах элемента, а не только в пределе. [c.214]

Решающим в процессе построения матрицы К во многих случаях является удовлетворение условия совместности элементов без обращения к аппроксимирующим функциям высокого порядка. Для функционалов, содержащих производные высоких порядков, можно использовать формулировки, не требующие предварительного выполнения условий совместности и (тем не менее) обнаруживающие хорошую сходимость (см. гл. 3). Для обеспечения условий сходимости при использовании функций такого типа необходимо, чтобы в них входили члены, дающие нулевые производные (например, члены вида + а х для функционалов, содержащих ( )/йх ), и члены, дающие в функционале производные постоянной величины (члены вида а х для рассмотренного выше случая). Вообще же модели с несовместными элементами перед применением должны быть тщательно изучены. В частности, нужно выяснить, устраняется ли влияние несовместности (разрывов аппроксимирующих функций и их производных) при стремлении к нулю размеров элементов. [c.61]

Указанные выше трудности не означают, что не следует применять несогласованные и/илн неполные элементы. Бывают полезные несогласованные, а в некоторых случаях и неполные элементы, которые дают высокую точность и быструю сходимость. Действительно свойства таких элементов могут быть лучше, чем у согласованных полных полиномиальных элементов той же степени. Зенкевич [18] указывает, что в некоторых случаях наилучшими для практического использования являются несогласованные, или несовместные, элементы. Несогласованные элементы, конечно, не следует недооценивать, но и нельзя рекомендовать неопытному вычислителю. [c.176]

Несовместный прямоугольный элемент с тремя степенями свободы в узле. Выше (см. п. 1.3) приведены аппроксимирующие функции (1.25) для этого несовместного конечного элемента (см. рис. 2.4) и исследован порядок сходимости, который для на-, пряжений и перемещений равен h . Матрица жесткости этого элемента, полученная на основе (1.8), (1.25), (2.5), приведена в табл. 2.5. В ней принято [c.38]

В работе [20] рассмотрено также доказательство сходимости МКЭ при решении нелинейной задачи в случае использования несовместных конечных элементов. [c.68]

Существует целый класс так называемых несовместных конечных элементов, которые образуются на основе функций ф , удовлетворяющих второму и третьему требованиям, т. е. линейной независимости и полноты, и не удовлетворяющих nepBOMv требованию принадлежности к энергетическому пространству Нд. В связи с этим оценки (1.13) —(1.17) непригодны для таких элементов и для доказательства сходимости здесь требуются новые приемы. Впервые доказательство сходимости для конкретного несовместного конечного элемента было получено в работе [83]. Рассматривался прямоугольный элемент плиты (элемент Клафа) с тремя степенями свободы в узле. При доказательстве существенно использовалась геометрия области (прямоугольнан плита) и граничные условия (защемление по контуру). Более общие приемы доказательства сходимости несовместных элементов были получены в работах [45, 69]. Здесь доказательство сходимости сводилось к проверке устойчивости системы (1.5) и выполнения условий кусочного тестирования. [c.11]

Несмотря на достаточную общность, эти приемы требуют рас смотрения совокупности конечных элементов, что может привест к определенным затруднениям. Более совершенные методы пред ложены в работах [34, 25]. Сформулированная теорема [25] дас возможность судить о сходимости несовместного конечного эле мента на основе рассмотрения координатных функций тольк( по области этого элемента, т. е. аналогично тому, как делалоо для совместных элементов (см. п. 1.1). [c.12]

Сходимость несовместных конечных элементов проверяется по Следующей схеме. Вначале проверяется выполнение тождеств (1.1 ), а потом подбираются совместные функции Ijg, удовлетво-ряюД[ие условиям 2 и 3 теоремы. Функции Xjg ищутся как решение следующей системы уравнений [c.13]

Теорема Евзерова дает возможность не только устанавливать порядок сходимости метода при использовании известных несовместных элементов, но и конструировать новые элементы. Схема конструирования новых элементов такова [c.13]

В случае несовместных элементов уже нельзя ожидать, что полная энергия системы будет всегда выше своего точного значения, Сходимость решения оказывается в этом случае, как правило, немонотонной, т. е. при сгущении сетки полная энергия оказывается то выше, что ниже истинного значения. Нередко несовместные элементы позволяют получить при одинаковой сетке бол1ве точные результаты, нежели совместные. Объясняется это тем, что совместные элементы всегда имеют завышенную жесткость, а введение несовместных функций делает их обычно более податливыми. [c.219]

Выражение (3.71) приводит к кубическому закону изменения функции и и линейному изменению нормальной производной на внешних границах и поэтому удовлетворяет условию межэлементной совместности. Нетрудно показать, что функция и ее первые производные непрерывны на внутренних границах х = У- Используя эту модель, продолжаем работать только с тремя узловыми неизвестными в каждом узле. Результаты, полученные с применением этого элемента, не обнаруживают столь быстрой сходимости, как в случае бикубической модели, хотя и приводят к более точным результатам по сравнению с результатами использования несовместных элементов. [c.122]

Как видно из (1.18), для сходимости МКЭ достаточно спра ведливости условия 3 теоремы при t = . В этом случае услови( 3 означает, что при постоянной по конечным элементам (КЭ) деформации работа внутренних сил, соответствующих этой де формации, на несовместных перемещениях фjg равна работе тез же сил на совместных перемещениях 1/g, что указывает на некоторую энергетическую эквивалентность функций фjg и A,jg. [c.12]

Следовательно, сейчас уже имеется достаточно надежный аппарат для теоретического обоснования несовместных конечных элементов, использование которых до недавнего времени считалось некорректным. Доказательство сходимости МКЭ в несовместном случае не использует традиционные приемы вариационно-разностных методов и является новой математической задачей. Таким образом, если МКЭ в совместном случае можно классифицировать как модификацию метода Ритца, то обоснованное применение несовместных конечных элементов позволяет классифицировать МКЭ как самостоятельный метод не только с точки зрения процедурной реализации, но и с точки зрения теоретического обоснования. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...