Эргодические свойства У-систем

Основная идея излагаемого ниже метода [135] заключается в том, чтобы показать, как эргодические свойства квантовой Я-системы в классическом переделе приводят к быстрому затуханию [c.198]

Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. [c.461]

Кодировка траекторий гладких динамических систем последовательностями натуральных чисел или последовательностями символов некоторого конечного алфавита впервые, по-видимому, была применена для описания глобального поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны (Ж. Адамар, М. Морс и другие см., например, [1] гл. 8, 11). Это послужило толчком для изучения различных свойств гомеоморфизма сдвига в различных подпространствах пространства р-ичных последовательностей. Весь круг связанных с этим идей и понятий получил название символической динамики ([52]). Однако некоторое время после этого отображение Г Ш изучалось главным образом с точки зрения эргодической теории, тем более что оно тесно связано с эргодическими динамическими системами вероятностного происхождения — марковскими цепями и, в частности, со схемой Бернулли. Мы еще вернемся далее к этой связи. [c.55]

Для того, чтобы иметь возможность отождествлять динамические системы различного происхождения, обладающие одинаковыми эргодическими свойствами, вводится общее понятие метрического изоморфизма динамических систем. [c.9]

Эргодичность (см. гл. 1, 3). После того, как инвариантная мера выбрана, естественно поставить вопрос об эргодических свойствах динамической системы по отношению к этой мере. Простейшим из них является вопрос об эргодичности. [c.117]

Эргодические свойства динамических систем с ненулевыми показателями Ляпунова. Факт существования -гиббсовских мер и возможность исследования их эргодических свойств связаны в конечном итоге с сильной степенью неустойчивости траекторий на гиперболическом аттракторе. Мы рассмотрим сейчас ситуацию, когда, напротив, динамическая система проявляет довольно слабую степень неустойчивости траекторий. [c.152]

Гиперболические динамические системы с особенностями возникают во многих важных физических проблемах. Кроме того, при переходе к отображению Пуанкаре потоков, отвечающих гладким, даже аналитическим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, часто теряется гладкость (см. далее). Переход же к отображению Пуанкаре и представление исходного потока в виде специального потока (см. гл. 1, 4) являются в настоящее время наиболее эффективными методами исследования эргодических свойств динамических систем с непрерывным временем. [c.173]

Для подробного изложения нами выбраны некоторые узловые и наиболее разработанные темы. Это, во-первых, вопрос О существовании бесконечно частичной динамики, которому посвящены 3 и часть 4. Во-вторых, это исследование в отдельных, наиболее простых случаях эргодических свойств бесконечно частичной динамической системы с инвариантной мерой (см. 5). Фундаментальный вопрос об асимптотических свойствах временной эволюции при /->- со тесно связан с вопросом об описании множества инвариантных мер. Этот вопрос рассматривается в 4. Содержание 4,5 имеет непосредственное отношение к проблеме математического обоснования постулата Гиббса. В 6 излагаются результаты, связанные с выводом кинетических уравнений, т. е. уравнений, приближенно описывающих временную эволюцию средних значений основных физических величин. [c.236]

Естественно, что все эргодические свойства пуассоновской Надстройки полностью определяются одночастичной динамической системой. Однако уже получение необходимых и достаточных условий эргодичности и перемешивания представляет собой в общем случае достаточно трудную задачу. Положение упрощается, если предположить дополнительно, что в одночастичной. динамической системе (iV я, т ) происходит так называемый уход на бесконечность, т. е. найдутся множество СбЖ с я(С)< оо и число о>0 такие, что и т =0 и пе- [c.263]

Рассмотрим фазовую функцию х 1), т. е. функцию, зависящую от времени через динамические переменные, определяющие состояние, или фазу системы. Если фазовые корреляционные коэффициенты р(т), связывающие х (О и х(/- -т), обладают свойством р(т)->0 при т->оо, то функция х (/) есть эргодическая, т. е. ее среднее по времени равно ее фазовому среднему (по поверхности постоянной энергии) для почти всех начальных условий на поверхности постоянной энергии в фазовом пространстве. Фактически для доказательства эргодической теоремы необходимо показать, что корреляционная функция р(т) ведет себя именно нужным образом. Хинчин приводит интуитивные соображения, подтверждающие такое поведение x t) для случая, когда х 1) представляет собой фазовую функцию, зависящую от небольшою числа динамических переменных (координат одной молекулы), в системе с очень большим числом степеней свободы, т. е. с очень большим числом молекул. Однако необходимое свойство корреляционной функции является характерным для необратимого процесса, и его следует установить вполне строго, прежде чем доказывать таким путем эргодическую теорему. Мы исследуем здесь возможность обращения теоремы Хинчина, т. е. изучим, когда и при каких дополнительных условиях из эргодического характера фазовой функции следует ее необратимость, выражаемая асимптотическим поведением корреляционной функции р(т)->0 при т->оо. Это означает, что мы хотели бы изучить возможность получения статистической механики необратимых процессов, исходя из эргодического постулата, точно так же, как это делается в статистической механике равновесных процессов. В этой связи нас не интересует, является ли эргодическое свойство общим динамическим свойством или оно справедливо лишь в том случае, когда [c.305]

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

Стационарные случайные процессы обладают еще одним важным свойством, вытекающим из эргодической гипотезы средние значения, определенные на основании наблюдения над многими подобными системами в один и тот же момент времени, и средние по времени, т. е. средние значения, определенные на основании наблюдения над одной из этих систем для достаточно большого числа последующих моментов времени, для стационарных случайных процессов, дают один и тот же результат. [c.261]

Смысл и значение данного результата можно объяснить следующим образом. До сих пор рассматриваемые системы обладали лишь немногими степенями свободы. Удивительно, сколь высокую нерегулярность обнаруживают такие простые системы. Несколько лет назад никто и не помышлял о возможной эргодичности систем из двух осцилляторов. Все были убеждены, что эргодичность является свойством лишь весьма больших систем. Результаты Форда послужили ключом к пониманию роли числа степеней свободы. Поскольку число степеней свободы возрастает, становится возможным все большее число резонансов и, что гораздо важнее, возникает все больше шансов для перекрытия. Таким образом, неустойчивость и эргодичность, по-видимому, возникают скорее. По мере того как число степеней свободы приближается к величинам порядка 10 , типичным для систем, рассматриваемых в статистической механике, можно почти с полной уверенностью утверждать, что эргодическое поведение становится [c.371]

Как уже отмечалось, микроканоническое распределение обычно постулируется в равновесной статистической механике. Между тем предположение о равновероятности динамических состояний замкнутой, энергетически изолированной системы — разумная, но отнюдь не очевидная гипотеза. Проблема обоснования этой гипотезы называется эргодической проблемой [53]. Мы не будем здесь обсуждать эту проблему, но заметим, что мы доказали важное свойство микроканонического распределения, которое можно считать аргументом в пользу эргодической гипотезы. Мы показали, что среди всех распределений в заданном энергетическом слое микроканоническое распределение соответствует максимальному значению информационной энтропии ). [c.56]

Следует отметить, что системы, обладающие всеми свойствами систем размешивающегося типа (т. е. обладающие тем свойством, что любой объем фазового пространства — сколь угодно малой величины и любой формы — стремится при неограниченно возрастающем времени к равномерному распределению по поверхности заданной энергии), являются всегда эргодическими системами. Это следует, например, в общей форме из спектральной теории операторов динамических систем для размешивания необходимо, чтобы s = О было простым и единственным собственным значением унитарного оператора преобразования фазового пространства для эргодичности достаточно, чтобы О было простым собственным значением [10]. [c.36]

Дифференциальная динамика также тесно связана с эргодической теорией, потому что инвариантные меры представляют собой мощный инструмент для анализа асимптотических свойств гладких динамических систем, а также потому, что гладкая структура на конечномерном многообразии определяет естественный класс квазиинвариантных мер для дифференцируемой динамической системы (см. 5.1). [c.22]

Можно показать, что если множество А не является замкнутой орбитой, то энтропия потока по мере ц-р положительна это свидетельствует о сильных эргодических свойствах системы ( Хф,/0- Действительно, еслн ограничение потока на множество Л является топологическим переме-шиванием ), то (цср,/0—бернуллневский поток (см. замечание 3.5). С точки зрения физических приложений полезно рассматривать корреляционные функции [c.146]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

II в окрестности точки гиперболического типа, являются максимально неустойчивыми системами. Перечислим некоторые важнейпгае свойства У-систем а) У-системы — эргодические, и их движение обладает свойством пере-иешивания б) возмущение У-систем приводит снова к У-системам, т. е. свойство системы быть У-системой является грубым в) понятие У-систем может быть расширено (хотя и с определенными неудобствами) на с- учай негамильтоновых систем [53]. [c.61]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Эргодические свойства билл иардов в областях евклидова пространства (Q zR ) и на торе с евклидовой метрикой определяются свойствами границы dQ. В частности, биллиарды в областях Q с выпуклой внутрь Q границей, являются гиперболическими динамическими системами. [c.179]

Данное обстоятельство приводит к тому, что дальнейшее исследование эргодических свойств биллиардов, по сравнению с гладкими равномерно полно гиперболическими системами (см. гл. 7, 3), значительно усложняется. В самом деле, для последних систем сразу можно доказать эргодичность. Это делается с помощью метода, впервые примененного Хопфом (Е. Hopf) для доказательства эргодичности геодезического потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Идея этого метода состоит в том, что для почти всех точек Х и Х2 фазового пространства рассматриваемой системы строится конечный набор W4, W , Л.У1А и ЛНМ (цепочка Хопфа) такой, что Wfdxi, и где y = i l. Тогда из эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, (см. гл. 1, 2) легко выводится, что точки Xi и Х2 принадлежат [c.183]

Основные результаты, описывающие топологические и эргодические свойства геодезических потоков с гиперболическим поведением траекторий (и многообразиях без сопряженных или без фокальных точек, или отрицательной кривизны), а также их связь с римановой геометрией и классической механикой приведены в обзоре [33]. Там же имеется обширная библиография по этой теме, а также рассмотрены другие динамические системы геометрического происхождения (потоки реперов и потоки орициклов). [c.227]

У. по Пуассону (возвращаемость)—свойство динамич. системы возвращаться в ходе эволюции сколь угодно близко к своему нач. положению (в фазовом пространстве) по истечении сколь угодно большого времени (см. Пуанкаре теорема, Эргодическая теория). [c.256]

Это свойство, введённое в статистическую физику в работах Дж. У. Гиббса (J. W. Gibbs), является более тонким, чем свойство эргодичности. Пусть z(t)—фазовая точка, характеризующая состояние системы в момент времени t, 2о = г(0),/(г)—произвольная ф-ция от г, 5,—эволюционный оператор, 5,г(0) = 2-(0- Движение наз. эргодическим, если независимо от выбора момента времени t [c.398]

Делались попытки обоснования Э. г. с помощью исследования свойств фазовых траекторий замкнутых изолированных механич. систем из большого числа частиц. Были доказаны эргодичсские теоремы (см. Эргодическа.ч теория), к-рые сводили Э. г. к предположению о специфич. свойстве фазового пространства (его метрической неразложимости). Однако для обоснования статистич. физики эти теоремы не являются необходимыми, т. к. фазовые траектории чрезвычайно чувствительны к малым возмущениям (см. Раз.мешивание). В частности, они очень чувствительны к малейшему нарушению изоляции или замкнутости системы. Аналогичным свойством чувствительности квантовых состояний к малым возмущениям обладают к квантовые системы. Д. Н. Зубарев. [c.625]

Все сказанйое до сих пор в этом параграфе относилось к характеристике принципиальных возможностей, предоставляемых классической механикой для интерпретации статистики. Отметим сейчас один хорошо известный недостаток, присущий всем проводившимся до сих пор многочисленным исследованиям по эргодическим системам отсутствие эффективного критерия, который позволил бы судить, принадлежит ли физическая система к тому или иному из математически определяемых классов динамических систем. Это, конечно, не принципиальный недостаток классической механики, а недостаток того направления, в котором до сих пор развивались такие исследования. Даже после исследований Биркгофа в 1931 г. [11] и появления многих замечательных работ, указанный недостаток продолжает сохраняться. В частности, существующие исследования не дают возможности установить не только точную, но и приближенную, качественную связь между теми или иными свойствами эргодичности динамических систем (например, свойствами спектра унитарного оператора движения) и типом гамильтониана. [c.42]

Таким образом, либо мы должны отказаться от основанной целиком на классической механике теории статистических систем, либо, в противоречии с возникшим из опыта убеждением в полной применимости вероятностного описания, считать, что эти явления не подчиняются никакой вероятностной схеме, имеют алгорифм, и лишь имитируют некоторые свойства вероятностных рядов (Мизес [13], стр. 530). Исходя из вероятностного характера изменения энтропии, Мизес пришел к заключению, что дифференциальные уравнения механики (в частности, эргодическая гипотеза) не могут рассматриваться как основа для построения статистической физики [8J. Мизес предложил чисто вероятностную схему описания процессов в статистических системах (схему типа цепей Маркова [14 ), но совершенно не ставил вопрос о связи этой схемы с принципами микромеханики. [c.54]

В основе указанных сомнений лежали рассуждения следующего типа. Рассмотрим какой-нибудь, отличный от энергии интеграл движения и выберем две точки поверхности заданной энергии, в которых значения этого интеграла различны (такие точки должны найтись, так как иначе этот интеграл не был бы независимым от интеграла энергии). Пользуясь непрерывностью этого интеграла, молено выделять такие, достаточно малые окрестности этих точек, что интервалы изменения рассматриваемого интеграла в этих двух окрестностях не перекрываются. Тогда, выбирая за ту функцию, для которой образуется среднее по времени, характеристическую функцию первой из окрестностей, т. е. функцию, равную единице в точках этой окрестности и нулю вне ее, получим, что среднее по времени значение этой функции для всех траекторий, исходящих из точек второй окрестности, равно нулю. Для эргодических же систем это среднее почти для всех начальных состояний должно быть равно фазовому среднему, т. е. отношению меры первой окрестности к мере всей поверхности заданной энергии. Совершенно аналогичное противоречие констатировалось также в другой форме для систем, обладающих свойством метрической транзитности,— свойством эквивалентным (для систем с фазовым пространством конечной меры) эргодичности на основе непрерывности интегралов движения (точнее говоря, их измеримости) показывалось, что метрически транзитивные системы невозможны [23]. [c.120]

Релаксация намагниченности определяется множителем tr(z). Для эргодической системы w(y) = 1, y z) = z, и согласно (2.61) <т(г) сводится к S z). В этом случае магнитная релаксация протекает по закономерностям структурной, которые рассмотрены в предьщущем пункте. Отсутствие самоусредня-емости неэргодической системы [100] является причиной более сложной связи (2.61) между структурным коррелятором S и магнитным (Т. Вид этой связи определяется зависимостями w y), y(z), форма которых имеет случайный характер [121]. Отсюда следует важный вывод о неполной воспроизводимости структурных и магнитных свойств ВТСП — даже при полной воспроизводимости внешних условий. [c.154]

Из условия перемешивания (5.8) автоматически следует свойство эргодичности (5.4)—(5.6). Различие между только эргодическим движением и движением с перемешиванием проще всего понять из рис. 1.16. В эргодпческом случае без перемешивания траектория последовательно заполняет фазовое пространство с той же методичностью, что п периодически опускающийся и подымающийся маятник. Совсем иной характер заполнения фазового пространства имеет место при перемешивании. Сначала за некоторое время Т система достаточно равномерно покроет сеткой траекторий все фазовое пространство. Через время 2Т это явление примерно повторится, причем таким образом, что размеры ячеек сетки окажутся приблизительно в два раза меньше, и т. д. [c.28]

Свойства символических динамических систем могут быть весьма разнообразными. Эти системы представляют собой богатый источник примеров и контрпримеров для топологической динамики и эргодической теории. [c.63]

Результаты о топологической структуре преобразований перекладываний отрезков впервые появились в [154], хотя нх можно извлечь и нз более ранней работы Майера [186]. Кии также выдвинул гипотезу, что почти каждое неприводимое преобразование перекладывания отрезков является строго эргодическим. Вне элементарного уровня, на котором мы обсуждаем эту тоблему, имеется ряд фундаментальных результатов, прежде всего результаты Вича [319]- [322] и Мезера [197], которые доказывают строгую эргодичность большинства преобразований перекладывания отрезков и описывают их метрические свойства. В частности, с их помощью доказана гипотеза Кина. Главная идея состоит в рассмотрении подходящего пространства перекладываний отрезков и введении динамической системы на этом пространстве таким способом, чтобы свойства перекладывания отрезков переходили в асимптотические свойства его орбиты под действием этой динамической системы. При подходе Вича это осуществляется с помощью подходящей конструкции индуцирования. Лемма 14.5.7 представляет собой первый шаг в этом направлении. Важный вклад в анализ преобразования перекладывания отрезков, использующий более прямой комбинаторный подход, был сделан [c.732]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...