Унитарные преобразования операторов

Вообще говоря, гамильтониан взаимодействия примесей с виртуальными фононами в (5Д.5) нельзя рассматривать как слабое возмущение ). Поэтому желательно учесть этот гамильтониан точно. Наиболее изящный метод состоит в том, чтобы исключить линейные по и 6 члены с помощью унитарного преобразования операторов рождения и уничтожения. Соответствующий унитарный оператор U имеет вид [c.414]

А. Унитарные преобразования операторов [c.610]

Отсюда следуе , что для унитарного оператора между собой совпадают его обратный и сопряженный. Нетрудно показать также, что произведение двух унитарных операторов является унитарным и что скалярное произведение не изменяется при одинаковом унитарном преобразовании входящих в него векторов. [c.134]

Я буду называть А звездно-эрмитовым оператором, связанным с оператором L (знак звездочки всегда означает инверсию L —L). Нз уравнения (48) следует, что для звездно-унитарного преобразования обратное преобразование равно сопряженному с ним звездному эрмитову оператору. [c.150]

Благодаря унитарности преобразования старая и новая системы матричных элементов и волновых ф-ций физически эквивалентны спектры операторов, ср. значения и вероятности переходов совпадают. [c.104]

Для оператора импульса. Л таким унитарным преобразованием будет Фурье преобразование [c.569]

Лемма вытекает из того, что след оператора (здесь оператором является произведение Sp) инвариантен относительно унитарных преобразований. [c.65]

Эти преобразования отражают тот факт, что при обращении времени координаты частиц не изменяются, а все импульсы меняют направление на противоположное. Другой важный пример — преобразование операторов спина частиц. Для определенности будем считать, что 5 = 1/2, и возьмем унитарный оператор W в виде (1.2.94). Тогда [c.43]

До сих пор параметры унитарного преобразования q) были произвольными. Чтобы выбрать их значения, подставим операторы (5Д.13) и (5Д.14) в гамильтониан (5Д.5) и потребуем, чтобы члены, линейные по новым фононным операторам 6 и 6 , обращались в нуль. Из этого условия находим, что [c.415]

В результате унитарного преобразования гамильтониан системы (5Д.5) записывается через новые операторы рождения и уничтожения в виде [c.415]

Прежде чем приступить к работе с гамильтонианом (5Д.17), сделаем одно замечание. Вообще говоря, после унитарного преобразования гамильтониан системы содержит, кроме выписанных членов, еще один оператор 7/int = в котором коэффициенты Вц, выражаются через параметры i q). Этот оператор описывает взаимодействие между примесными атомами, вызванное искажениями кристаллической решетки ). Мы предположим, что концентрация примесей мала и поэтому каждый примесный атом независимо движется в кристалле. Тогда оператор 7/int можно опустить. [c.416]

Проверить соотношения (8.4.35), в которых унитарное преобразование полевых операторов определяется в виде (8.4.34). [c.216]

Мы докажем соотношения (17.12), если убедимся, что оператор ж(t), который в правой части уравнений (17.12) выражен через Ь и Ь а в левой части — с помощью унитарного преобразования, удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению и одинаковым [c.535]

N — оператор числа частиц п, I л) — собственное значение, собственное состояние оператора N р, р, р — импульс, обобщенный импульс Р, Р — поляризация (а), 3 (Р) — коэффициент в -представлении д, q, — координата, обобщенная координата г. — радиус-вектор 5. — вектор Пойнтинга / — временная координата Т — длительность время релаксации 0 — температура Ш — потенциальная энергия и — унитарное преобразование V — объем лг, X— пространственная координата [c.16]

Подводя итог всему вышеизложенному, мы можем высказать следующее. Применяемые для формулировки основных положений квантовой теории векторы состояний и линейные операторы динамических переменных и наблюдаемых не имеют непосредственного реального смысла, однако с их помощью представляются имеющие физический смысл величины и соотношения, доступные экспериментальной проверке. Физический смысл имеют математические ожидания (средние значения), к которым принадлежат, в частности, вероятности ws, поскольку их можно рассматривать как математические ожидания проекционных операторов Sps. Конкретные физические применения имеют собственные значения и операторные соотношения, позволяющие прогнозировать воспроизводимость измерений. Величины, имеющие физический смысл, не изменяются при замене ti> на ti>, где с — произвольное комплексное число. Все физические величины и соотношения обладают свойством инвариантности относительно унитарного преобразования и над всеми операторами G и векторами ф) [c.78]

В разд. В2.12 было показано [ср. уравнение (В2.12-9)], что применение произвольного унитарного преобразования к полным операторам и векторам оставляет неизменными соотношения между величинами, имеющими физический смысл. При рассмотрении временного унитарного преобразования тиПа уравнения (82.14-2) эта инвариантность открывает возможность различных интерпретаций ( представлений ) зависимости векторов и операторов от времени, т. е. геометрических и кинематических процессов в Н. В настоящем разделе мы будем пользоваться применявшимся до сих пор представлением Шредингера (оно не характеризуется определенным обозначением) и представлением Гейзенберга (обозначение Н), позднее в разд. В2.21 будет рассмотрено представление Дирака, называемое также представлением взаимодействия. [c.81]

В Представлении Шредингера динамической временной зависимостью обладают состояния, тогда как операторы вообще остаются независящими от времени. В представлении Гейзенберга вектор состояния не зависит от времени, тогда как временная зависимость переносится на наблюдаемые. Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью введенного в уравнении (В2.14-2) временного унитарного преобразования согласно [c.82]

Здесь Х2, т, Х г )— обобщенный проекционный оператор, содержащий проекционный оператор 4P [ (ri, а)] = = (г , 2)>< (г1, г) I и временное унитарное преобразование и(/, 0)—ехр(—Н — гамильтониан поля излучения. При этом мы положили fi = О, что можно сделать без ограничения общности. [c.166]

Теперь с помощью (15.39) можно выполнить унитарное преобразование внутри скобок, что позволяет выразить оператор плотности (15.38), [c.164]

Тогда первоначальный гамильтониан (38.1) выражается через новые операторы а, р с помощью унитарного преобразования [c.275]

К НОВЫМ бозе-операторам Bf (к) с помощью унитарного преобразования [c.334]

Однако даже обратимые метрически неизоморфные эргодические сохраняющие меру преобразования Т и S могут порождать унитарно эквивалентные операторы (см. упражнения 4.4.3 и 4.4.4). [c.154]

Пусть I ф> = / I г > потребовав, чтобы 1 ф > = / ij ), мы получим закон изменения операторов при унитарном преобразовании [c.54]

Напомним, что при смене представления векторные и тензорные равенства типа ф)> = / ф), / = сохраняют свой вид, и поэтому в них можно не писать индексы представлений (это не относится к равенствам между операторами, взятыми в различные моменты времени или содержащими производные по времени от операторов). Унитарные преобразования сохраняют также и ска- [c.61]

Рассмотрим сперва унитарное преобразование с помощью оператора невозмущенной эволюции (44). С помощью (1), (2) и (8) [c.99]

В конечномерных пространствах, наоборот, у всякой Я Мерной матрицы А имеется хотя бы один С. в., отвечающий, вообще говоря, комплексному собств. значению Я, а если к тому же матрица А яевырождеиа, (1е1Л yi о, то у такой матрицы найдутся ровно п разл. комплексных С. в. Это справедливо, в частности, для унитарных конечномерных матриц А Л - = А -). В физ. приложениях часто возникает необходимость разложить произвольный вектор в сумму по С. в. заданной эрмитовой матрицы А [вапр., привести к диагональному виду симметричную квадратичную форму (хАх)]. Эта задача решается переходом с помощью унитарного преобразования к базису, составленному из С. в. матрицы А. В этом базисе действие оператора А сводится к умножению каждого базисного вектора на соответствующее ему собств. значение Я. В бесконечномерном Случае аналогом этой процедуры диагонализа-ции является т. н. спектральное разложение. [c.569]

УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ—линейное преобразование гильбертова пространства (или предгильбертова пространства) И в себя, сохраняющее скалярное произведение векторов, то есть унитарный оператор пространства Я в себя, [c.225]

У.п. данного /г-мерного пространства образуют группу относительно умножения преобразований, называемую унитарной группой и обозначаемую U (и), УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР—линейный оператор V, отображающий предгильбертово пространство (в частности, гильбертово пространство) X в предаильбертово пространство Y и сохраняющий нормы (или длины векторов). Ли-нейный оператор унитарен тогда и только тогда, когда (х, y) = (Ux, Uy) для всех х, уеХ. Наиболее важный случай У. о.— отображение гильбертова пространства в себя, то есть унитарные преобразования. Характеристическими признаками унитарности линейного оператора U-. //-+Я являются I) =1(1—тождественное преобразование), т е. = где (7 —сопряжённый оператор [c.225]

В каком-либо другом представлении, определяемым матрицей унитарного преобразования U, матричные элементы оператора обнаружения 1Могут быть записаны в виде [c.247]

Далее, из функционального анализа (или элементарной квантовой механики) известно, что если Н — эрмитов оператор, то и t) s = exp (ИЙ/Н) есть унитарное преобразование в гильбертовом пространстве ),Праваячасть(1.3.1б)представляет отображение оператора Ъ при унитарном преобразовании и (f) [c.30]

Все это рассмотрение базируется на предположении о том, что операторы преобразований являются линейными и унитарными (такие операторы возникают при рассмотрении преобразований чисто пространственной симметрии). Для учета симметрии по отношению к обращению времени необходимо рассматривать антиунитарные, антилинейные операторы. Эт 1 операторы задают полулинейные представления, или, как их назвал Вигнер, копредставления . Структура этих представлений устанавливается и обсуждается в гл. 9. [c.50]

Рассмотрим теперь некоторые операции с запутанными состояниями. Допустим, например, что в синглетном состоянии (379) частица В представляет собой составной элемент более сложной системы С. Если частица В со спином 1/2 находится во взаимодействии с другими степенями свободы системы С, то временную эволюцию полной системы С можно описать как унитарное преобразование с оператором U = ехр[-/Яг/Й], где Я — гамильтониан системы С. Но унитарное преобразование не меняет ни матрицы плотности, ни величины запутывания Е (см. ниже). Более того, любое состояние систем А, С в момент времени i с помощью обратного унитарного преобразования / можно привести к исходной полярной форме Шмидта (383). Таким образом, при унитарных преобразованиях, в частности, при эволюции систем согласно уравнению Шрёдингера величина запутывания Е сохраняется. [c.363]

При последовательном квантовом подходе здесь все величины (кроме -Р) следует считать операторами в представлении Гейзенберга, причем -Р зависит от операторов и поля и вещества. Однако в макроскопической электродинамике поля обычно считаются детерминированными величинами, усредненными по объему, меньшему но все еще содержащему много частиц. При этом Р (Е, Н) вычисляется по теории возмущения и усредняется по ансамблю с помощью матрицы плотности вещества (подробнее см. [8, 11, 13]). Получающиеся в результате макроскопические уравнения Максвелла описывают эволюцию поля под действием внешних источников с учетом затухания и их можно рассматривать как кинетические уравнения ( 2.5) для первых моментов поля. В окнах прозрачности вещества затуханием дюжно пренебречь и тогда эти уравнепия определяют унитарное преобразование полей, так что последние можно считать операторами. [c.103]

Вывод ОЗК по Ланжевену. Соотношение (2) между входными я выходными операторами поля в случае одинаковых яш иков квантования можно рассматривать как унитарное преобразование, т. е. как смену базиса в гильбертовом пространстве поля ( 2.2). Унитарность преобразования обеспечивает сохраненпе нормировки волновой функции (что необходимо ввиду ее вероятностного физического смысла) и сохранение коммутационных соотношений. Из (2) следует [c.130]

Мы сперва феноменологически введем матрицу рассеяния (МР) для случая монохроматической накачки и рассмотрим ограничения, накладываемые на МР условиями унитарности преобразования поля образцом. Далее будут рассмотрены общее линейное преобразование, перемешивающее операторы рождения и уничтожения и соответствующая -функция, которая, как и в случае ТИ ( 4.4), полностью определяется через МР и 5 -функцию падающего поля. Далее МР будет рассчитана для простого случая одномодовой накачки при пренебрежении дифракцией. При этом мы перейдем к удобному для таких задач содг-представлению операторов и покажем, что результаты квантового и классического расчета МР совпадают. Полученные решения уравнений Гейзенберга описывают экспоненциальный рост яркости ПР при увели- [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...