ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эргодические свойства У-систем из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " В этом параграфе мы будем изучать У-системы, которые обладают положительной и инвариантной мерой л. Поэтому, в отличие от предыдущего параграфа, мы ограничимся рассмотрением классических динамических систем (см. определение 1.1). [c.73] Теорема 17.1. (М, //, ф) есть К-система см. определение 11.1). [c.73] Для того, чтобы доказать теорему, построим подалгебру 21 алгебры 1. [c.73] Мера множества элементов разбиения а, стороны которых параллельны У, есть величины меньше I и поэтому мажорируется величиной С-1. [c.75] Рассмотрим на М поле векторов длины 1, параллельных сжимающемуся собственному направлению У. Интегральные кривые этого поля называются сжимающимися слоями (см. 15). Мы говорим, что это слоение эргодичны если любое объединение положительной меры сжимающихся слоев совпадает с М почти всюду. [c.75] Лемма 17.6. Сжимающееся слоение инвариантно относительно ср и эргодично. [c.75] Инвариантность следует из инвариантности направления У. [c.75] Для того, чтобы доказать эргодичность, достаточно убедиться в том, что каждый слой всюду плотен (см. приложение 11) или что он не замкнут (теорема Якоби, приложение 1). Докажем это от противного. [c.75] Из произвольности числа г и эргодичности сжимающихся слоев (лемма 17.6) следует, что = 1. Таким образом. [c.76] Приведенные выше рассуждения распространяются на (7-диффеоморфизмы самого общего вида. Деликатным вопросом является конструкция разбиения, аналогичного разбиению /3, и меры площади слоев. Эту трудность устраняет теорема Аносова [2], которую мы сейчас сформулируем. [c.77] Определение 17.7. Абсолютная непрерывность слоения. Если при любых парах многообразий П и П / — непрерывный обобщеный якобиан и если этот якобиан непрерывно изменяется при малых деформациях многообразия П, то мы говорим, что слоение абсолютно непрерывно. [c.77] С каждой (7-системой связаны два трансверсальных слоения Ж и (см. 15). Для этих слоений Аносов доказал следующую теорему. [c.77] Теорема 17.8. Слоения Ж и абсолютно непрерывны. [c.77] Мы не приводим здесь доказательства теоремы 17.8, которое слишком длинное. Мы только представим конечный результат, полученный с ее помощью. Рассуждения, используемые при доказательстве 17.1, обобщаются и приводят к следующим теоремам (Аносов [2]). [c.77] Теорема 17.9. Все У-системы У-диффеоморфизмы или У-потоки) эргодичны. [c.77] Теорема 17.10 (см. Синай [11]). Всякий У-диффеоморфизм есть К-система. [c.77] Наоборот, пример 15.5 показывает, что для У-потока могут существовать отличные от постоянных собственные функции. В этом случае не может иметь лебеговский спектр на ортогональном дополнении к функциям-константам (см. 10). Следовательно, не может быть 7( -потоком (см. теорему 11.5). Как показывает следущая теорема, пример 15.5 является единственным исключением. [c.77] В последнем случае эта собственная функция непрерывна, и существуют (п — 1)-мерное компактное подмногообразие V многообразия М и У-диффеоморфизм ср V V такой, что — У-поток, получаемый из ср с помощью конструкции из замечания 13.10 ( 13 гл. 3) с точностью до изменения масштаба времени I I С — константа). [c.78] Следствие 17.12. Геодезический поток на унитарном расслоенном пространстве, касательном к компактному риманову многообразию отрицательной кривизны, есть К-система. [c.78] По теореме Лобачевского Адамара (14.3) геодезический поток есть У-система. Следовательно, по теореме 17.9, он эргодичен. По, как показывает следствие П16.10 (приложение 16), геодезический поток не имеет непрерывной собственной функции . Тем самым исключается вторая возможность теоремы 17.11. Таким образом, из теоремы 17.11 мы заключаем, что геодезические потоки на унитарных расслоенных пространствах Т1У, касательных к компактным римановым многообразиям отрицательной кривизны, являются Г-системами. Следовательно, они обладают положительной энтропией (теорема 12.31, гл. 2), имеют бесконечный лебеговский спектр (теорема 11.5, гл. 2), являются пере-мешиванием (теорема 10.4, гл. 2) и эргодичны (следствие 8.4 гл. 2). [c.78] Вернуться к основной статье