Изоморфизм метрический

Теорема. Отображение р осуществляет метрический изоморфизм измеримых потоков и (ф , Цф). [c.107]

Все свойства сохраняющих меру преобразований, которые мы собираемся обсуждать, инвариантны относительно метрических изоморфизмов для эргодичности это очевидно. Кроме того, фактор эргодического преобразования также эргодичен если S — фактор Т и множество А С F является 5-инвариантным, О < v A) < 1, то и множество В = R A) будет Т-ин-вариантным, причем fj, B) = u(A). [c.154]

В некоторых случаях инварианты метрического изоморфизма дают дополнительную информацию относительно свойств гладких или топологических динамических систем. Например, класс метрического изоморфизма строго эргодического отображения — важный инвариант топологического сопряжения. Пример другой связи того же рода представляет собой вариационный принцип 4.5.3. [c.154]

Если отображение Т обратимо, то и оператор Uj. обратим, и в этом случае Uj, — унитарный оператор. Если отображения Т и S метрически изоморфны посредством изоморфизма R, то операторы Uj. и Ug унитарно эквивалентны, а именно [c.154]

Итак мы видим, что такие спектральные инварианты оператора U , как собственные значения с их кратностями, спектр или спектральные меры, являются инвариантами метрических изоморфизмов Т. [c.154]

Доказательство. Пусть К(х, у)= х, у- -Ф х)). Тогда к о/ок х, у) = = (х->га, у). Так как вращение строго эргодично, любая /-инвариантная мера проектируется в меру Лебега на окружности и, следовательно, преобразование к задает метрический изоморфизм для любой такой меры. Таким образом, инвариантные эргодические меры для / — это в точности меры, индуцированные мерами на окружностях. Существует несчетное множество таких мер, потому что график отображения Ф 4- с для любого с 6 К служит носителем такой меры. [c.159]

Очевидно, перемешивание — инвариант метрического изоморфизма (определение 4.1.20). Кроме того, любой фактор (определение 4.1.2 ) перемешивающего отображения является перемешивающим в силу того же соображения, что применялось для эргодичности в п. 4.1 ж. [c.161]

Очевидно, энтропия инвариантна относительно метрических изоморфизмов. Мы вскоре увидим, что это определение более конструктивно, чем кажется на первый взгляд в большинстве случаев (T )=/i (3 e) Для подходящим образом выбранного разбиения (См., например, следствие 4.3.14.) [c.178]

В эргодической теории тоже имеются понятия, играющие роль морфизмов (т. 2). Основное из них—метрический изоморфизм ДС с инвариантными мерами. От топологического изоморфизма он отличается тем, что является не гомеоморфизмом, а изоморфизмом пространств с мерой. [c.165]

Для того, чтобы иметь возможность отождествлять динамические системы различного происхождения, обладающие одинаковыми эргодическими свойствами, вводится общее понятие метрического изоморфизма динамических систем. [c.9]

В случае преобразований с квазиинвариантной мерой также говорят об эндоморфизмах, автоморфизмах, О-потоках, не вводя новых терминов. Метрический изоморфизм групп преобразований с квазиинвариантной мерой естественно понимать также с точностью до преобразования с квазиинвариантной мерой , т. е. следует требовать, чтобы преобразование, фигурирующее в определении 1.6, переводило Ц1 в меру, эквивалентную (12, но не обязательно равную цг- [c.10]

Для динамических систем с чисто точечным спектром, в отличие от общего случая, из унитарной эквивалентности сопряженных групп операторов вытекает их метрический изоморфизм. Это позволяет провести полную метрическую классификацию таких систем. [c.38]

Проблема классификации динамических систем с точностью до метрического изоморфизма (проблема изоморфизма), как показывают имеющиеся в настоящее время примеры, в общей постановке является совершенно необозримой. Введение энтропии и доказательство с ее помощью существования континуума попарно неизоморфных автоморфизмов Бернулли привлекло внимание к суженной проблеме изоморфизма, относящейся к классам автоморфизмов Бернулли и /С-автоморфизмов. Для них проблема изоморфизма ставится как своеобразная проблема кодирования. В случае, например, автоморфизмов Бернулли с разными пространствами состояний (разными алфавитами) требуется закодировать последовательности, записанные в одном алфавите, в последовательности, записанные в другом [c.52]

Из слабого изоморфизма динамических систем, вообще говоря, не вытекает метрический изоморфизм, но соответствующие примеры сложны (см. Рудольф [105]). Окончательное ре- [c.53]

Другой пример связан с теорией аппроксимаций. Оказалось, что для аппроксимаций автоморфизмов полезно изучать действия локально конечных групп, например, 22г или квазициклической группы. С одной стороны, общая теория действий таких групп (проблема изоморфизма, спектральная теория, построение метрических инвариантов) нисколько не проще, чем теория для группы Z, и поэтому хороша ее моделирует а с другой стороны, эти группы заметно проще с точки зрения аппроксимаций, и потому аппроксимационные инварианты удобно моделировать на этих группах. [c.79]

Следствия. 1) (О лакунарном изоморфизме). Любке две однородные эргодические диадические последовательности и 1 лакунарно изоморфны, т. е. существует такая последовательность оо, что И метрически изоморфны. [c.97]

Эта теорема редуцирует задачу о классификации ручных разбиений (или траекторных для автоморфизмов с квазиинвариантной мерой) к задаче о метрическом изоморфизме потоков, с квазиинвариантной мерой. Последняя, как известно, не допускает полного решения в обозримых терминах, однако, редукция позволяет использовать инварианты потока и получать отсюда нетривиальные инварианты траекторных разбиений. [c.98]

Отображение р задает взаимно однозначное соогветствие между М (Л(а,/), ) н Л1 (Х,Ф) если Vе М (Л(а,/), то р осуществляет метрический изоморфизм потоков х) и (Ф р.). [c.133]

Это доказывается так же, как аналогичное утверждение для диффеоморфизмов теорема 34 из [3] (здесь и ниже можио обратиться также к доказательству теоремы 4.1 из [31].— Перев.). Так как Лц(ф<)—инвариант метрического изоморфизма и Л(ср ) = Л( ф(), р определяет взаимно однозначное отображение Мтах(Л(ст, /), ф )— Мтах X, Ф). Наконец, мы знаем, что фSЛImax(X,Ф) и й.р гт1ах(Л(д./), ) [5, теорема 5.1]. [c.136]

Определение 4.1.20. Пусть Т XX и S Y Y — сохраняющие меру преобразования лебеговских пространств (X, fi) и Y, и) соответственно. Отображения Т и S называются метрически изоморфными, если существует изоморфизм R (X, fi)- Y, и), т. е. такое инъективное (mod 0) преобразование, что R,fi = и а [c.154]

Наш следующий результат описывает отображения интервала с нулевой топологической энтропией в терминах инвариантных мер. В определенной степени этот результат может рассматриваться как аналог классификации гомеоморфизмов окружности с иррациональным числом вращения с точностью до метрического изоморфизма (теорема 11.2.9). Их топологическая энтропия также равна нулю, и повороты образуют полную систему моделей для классификации гомеоморфизмов в измеримой категории, а также с точностью до полусопряженности. Мы покажем, что для необратимых отображений интервала имеется лишь одно модельное отображение с неатомарной мерой и нулевой энтропией. Важным ингридиентом нашего доказательства служит то наблюдение, что по следствию 15.1.11 подковы являются источниками положительной топологической энтропии. Этот факт будет неоднократно использоваться, чтобы исключить различные осложнения в комбинаторной структуре орбит. Мы начнем с описания стандартной модели таких отображений, которая впервые появилась в упражнении 1.3.3. [c.508]

Инвариантная мера для топологических цепей Маркова, заданная уравнениями (4.4.5) и (4.4.6), была введена Перри в [244]. Она использовалась Адлером и Венссом при доказательстве того факта, что автоморфизмы двумерного тора с равной энтропией ме-гоически изоморфны. Доказательство опирается на марковское разбиение, описанное в 2.5. Хотя этот факт теперь может быть доказан с помощью теории изоморфизмов Орнстейна, он предшествовал работе Орнстейна об изоморфизмах сдвигов Бернулли и был одним из ранних нетривиальных примеров метрического изоморфизма в динамике. [c.726]

Иногда метрический изоморфизм в теореме 4.2 называют специальным представлением потока Р . Идея специальных представлений восходит к Пуанкаре, который сводил изучение поведения решений систем дифференциальных уравнений к изучению итераций отображения последования трансверсаль-ных площадок векторного поля. [c.33]

Класс 5-автоморфизмов, очевидно, совпадает с классом автоморфизмов, метрически изоморфных автоморфизмам Бернулли. Приведенное определение — просто бесксюрдинатная версия определения автоморфизма Бернулли, удобная в вопросах, связанных с проблемой изоморфизма. [c.54]

Из теоремы Орнстейна об изоморфизме легко выводится, что любой 5-автоморфизм обладает корнями всех степеней (корень п-й степени из Г — это такой автоморфизм Q JI, что (Qn)" метрически изоморфен Г). В качестве Q можно взять [c.58]

Проблема изоморфизма для К-систем. В то время как для автоморфизмов. Бернулли полная их метрическая классификация дается теоремой Орнстейна, в случае /(-систем ситуация значительно более сложная. Имеющиеся здесь результаты носят отрицательный характер. Орнстейн построил пример /(-автоморфизма, метрически не изоморфного автоморфизму Бернулли. Некоторая модификация этого примера привела к построению континуума попарно не изоморфных /С-автоморфнзмов с одинаковой энтропией. [c.60]

Существовала принадлежащая М. С. Пинскеру гипотеза о том, что всякий эргодический автоморфизм Т с h t)>Q метрически изоморфен прямому произведению Т1ХТ2, где Г1 —/(-автоморфизм, а Л(Г2)=0. Справедливость этой гипотезы означала бы, что общая проблема изоморфизма для эргодических автоморфизмов сводится к двум частным случаям, относящимся к автоморфизмам с нулевой энтропией и /(-автоморфизмам.. Однако контрпример к гипотезе Пинскера, также построенный Орнстейном, показал, что такое сведение невозможно. Все это указывает на то, что проблема изоморфизма в классе /(-систем чрезвычайно сложна. [c.60]

Общая конструкция Орнстейна для доказательства изоморфизма автоморфизмов Бернулли с одинаковой энтропией приводит к нефинитарному изоморфизму. Имеются примеры метрически изоморфных сдвигов в пространстве последовательно- стей, не являющихся финитарно изоморфными. Тем не менее, справедлива следующая [c.61]

Так как проблема метрического изоморфизма динамических систем чрезвычайно сложна, делались попытки ослабить требование изоморфизма в надежде получить более обозримую картину. Одна из самых содержательных попыток такого рода связана с принадлежащим Какутани понятием эквивалентности динамических систем. [c.61]

Допу ая некоторую вольность речи, можно сказать, что метрика f так же связана с понятием эквивалентности динамических систем в смысле Какутани, как метрика d — с понятием метрического изоморфизма. Значительная часть понятий и результатов теории Орнстейна допускает перевод с языка ii-метрики на язык /-метрики , и это приводит к глубоким результатам, относящимся к проблеме эквивалентности. Мы начнем с перевода понятия очень слабо бернуллиевского (о. с. б.)-разбиения. [c.63]

Унитарное представление группы О имеет по определению чисто точечный, или дискретный, спектр, если оно есть прямая сумма конечномерных неприводимых представлений. Для группы 2 это определение совпадает с обычным определением чисто точечного спектра (ограничение на конечность кратности отсутствует). Теорема Неймана утверждает, что для 0 = 2 и эргодического действия собственные числа (спектр) образуют счетную подгруппу в 5, кроме того, по спектру действие восстанавливается однозначно с точностью до метрического изоморфизма и может быть реализовано сдвигом на коммутативной компактной группе, а именно, на группе характеров спектра. Тем самьш любая счетная подгруппа может быть спектром некоторой динамической системы (см. гл. 2, 2). Обобщение Макки состоит в следующем. [c.84]

Теорема 4.2 (Циммер [110]). Пусть С и С — две связные полупростые группы Ли без центра и без компактных факторгрупп, имеющие вещественный ранг, больший единицы. Пусть, далее, их свободные действия с инвариантной мерой эргодичны при ограничении на любой нетривиальный нормальный делитель (=неприводимо эргодичны). Тогда траекторная эквивалентность действий равносильна существованию изоморфизма групп С и О, при фиксации которого действия метрически изоморфны. [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...