Эргодические свойства биллиардов

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БИЛЛИАРДОВ [c.145]

Рассмотрим теперь биллиарды в многоугольниках. Даже в выпуклом случае для них не справедлива теорема В. Ф. Лазуткина. Несмотря на кажущуюся простоту, задача изучения эргодических свойств биллиардов в многоугольниках в настоящее время остается открытой. Упомянем некоторые наиболее известные результаты в этой области. [c.147]

Проблема изучения эргодических свойств биллиардов в произвольных многоугольниках (и, тем более, многогранниках) в настоящее время остается открытой. Основные имеющиеся здесь результаты даются следующими двумя утверждениями ([54], [23]). [c.177]

Оказывается, что изучение эргодических свойств биллиардов важно и для некоторых задач теории дифференциальных уравнений с частными производными. [c.178]

В связи с этим рассеивающие биллиарды естественно относить к классу неравномерно полно гиперболических систем (см. гл. 7, 1). Можно показать, что построенные локальные многообразия обладают свойствам абсолютной непрерывности (см. гл. 7, 3). Отсюда, согласно общей теории для НПГ-систем (см. гл. 7, 3), сразу вытекает, что эргодические компоненты рассеивающего биллиарда имеют положительную меру, его энтропия положительна и на почти каждой эргодической компоненте поток Т является /С-потоком. [c.183]

Данное обстоятельство приводит к тому, что дальнейшее исследование эргодических свойств биллиардов, по сравнению с гладкими равномерно полно гиперболическими системами (см. гл. 7, 3), значительно усложняется. В самом деле, для последних систем сразу можно доказать эргодичность. Это делается с помощью метода, впервые примененного Хопфом (Е. Hopf) для доказательства эргодичности геодезического потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Идея этого метода состоит в том, что для почти всех точек Х и Х2 фазового пространства рассматриваемой системы строится конечный набор W4, W , Л.У1А и ЛНМ (цепочка Хопфа) такой, что Wfdxi, и где y = i l. Тогда из эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, (см. гл. 1, 2) легко выводится, что точки Xi и Х2 принадлежат [c.183]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Эргодические свойства билл иардов в областях евклидова пространства (Q zR ) и на торе с евклидовой метрикой определяются свойствами границы dQ. В частности, биллиарды в областях Q с выпуклой внутрь Q границей, являются гиперболическими динамическими системами. [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...