Теорема эргодическая Биркгофа

В этой теории не предполагается, что преобразования описываются уравнениями Гамильтона или вообще дифференциальными уравнениями. Эргодичность и перемешивание — примеры относящихся к этой теории понятий, а теорема Биркгофа или приведенное выше простое рассуждение о том, что из перемешивания следует эргодичность,—примеры относящихся сюда теорем. 2) Эргодическая теория более конкретных динамических систем, описываемых уравнениями Гамильтона. Ее основная задача — установление (или опровержение) эргодичности или других статистических свойств тех или иных динамических систем. Выше автор говорил о первом направлении, теперь он переходит ко второму.— Прим. ред. [c.383]

На основании эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина производим усреднение по времени для Ко п—1, п) и и (п). Тогда для среднего значения потока из йхп-х получается следующее выражение [c.183]

Теорема 4.1.2 (эргодическая теорема Биркгофа). Пусть Т—со храняющее меру преобразование вероятностного пространства (X, л) V е Ь (X, (л). Тогда временное среднее [c.146]

Если преобразование Т обратимо, эргодическая теорема Биркгофа применима к Т" и из нее следует сходимость почти всюду средних по отрицательному времени [c.147]

Объединяя это следствие эргодической теоремы Биркгофа 4.1.2 с теоремой Крылова — Боголюбова 4.1.1, мы получаем положительный ответ на вопрос А из п. 4.1 а р]. [c.147]

Теперь мы получим важное следствие эргодической теоремы Биркгофа 4.1.2, которое утверждает, что для эргодического преобразования временные средние равны пространственным средним почти всюду. [c.148]

Предположим теперь, что мера р эргодическая. В этом случае мы можем дать геометрическую интерпретацию асимптотического цикла. По эргодической теореме Биркгофа 4.1.2 мы получаем [c.487]

Доказательство. Применяя эргодическую теореме Биркгофа 4.1.2 к log С(а ) для почти каждого х еХ, получаем [c.659]

Хотя работы Пуанкаре и Биркгофа продемонстрировали чрезвычайную сложность топологии фазового пространства, вопрос об эргодичности движения, т. е. о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную область фазового пространства или же она ограничена какими-то интегралами движения, оставался до недавнего времени без ответа. Теорема Колмогорова [229], доказанная при различных ограничениях Арнольдом [10] и Мозером [308] (теорема KAM), утверждает, что при возмущении интегрируемых систем инвариантные поверхности сохраняются для большинства начальных условий. Хотя движение вблизи сепаратрисы каждого резонанса и является стохастическим, оно ограничено соседними инвариантными поверхностями и не является эргодическим. В гл. 3 мы рассмотрим теорию KAM и связанные с ней топологические результаты, которые служат обоснованием многих методов, описанных в этой книге. [c.15]

К такому результату, непосредственно не вытекающему пз содержания самой эргодической теоремы, можно прийти после внимательного анализа доказательства Биркгофа, если учесть свойства непрерывности групп преобразований х (которые всегда гарантируются благодаря условиям, налагаемым на правые части исходных дифференциальных уравнений) ). [c.114]

Эргодическая теорема Биркгофа—Хинчина (т. Б.—X.) показывает, что из одного лишь существования инвариантной меры вытекает возможность усреднения вдоль траекторий почти всюду. Обозначим для f O (М, Ж, ц) через / временное среднее, фигурирующее в т. Б.—X. [c.24]

Центральная предельная теорема. Пусть (М, л, Т) — эргодический автоморфизм. В силу эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина (см. гл. 1, 2), для любой 62" (М, л.) [c.117]

Необходимые и достаточные условия того, что процесс является эрго-дическим в соответствии с теоремой Биркгофа-Хинчина следующие его стационарность, причем строгая и так называемая метрическая транзитивность, состоящая в том, что любая часть совокупности реализации случайного процесса уже йе стационарна (строго). Стационарность-это необходимое условие эргодичности. Для нестационарного процесса первый и второй моменты (средние по совокупности) могут быть функциями времени, и в этом случае средние по времени не будут совпадать со средними по реализациям. Временная корреляционная функция для стационарного (в том числе для эргодического) процесса есть функция корреляционного интервала т = Г2-Г1, в то время как для нестационарного и, следовательно, неэргодического процесса корреляционная функция зависит от двух аргументов-корреляционного интервала т и текущего времени г. Однако стационарность, будучи необходимым условием эргодичности, не является условием достаточным. Так в [26] приводится пример стационарной случайной функции, не удовлетворяющей условию транзитивности, а потому не являющейся эргодической. В связи со сказанным, неставдо-нарные случайные процессы не удовлетворяют условиям эргодичности. Приведенные рассуждения о связи стационарности и эргодичности поясняются условным графическим изображением случайных процессов на рис. 1. [c.9]

Книга Дж.Биркгофа Динамические системы наряду со знаменитым сочиисписм Пуанкаре Новые методы небесной механики оказала решающее влияние на современное развитие теории дифференциальных уравнений и аналитической динамики. Изданная на русском языке в 1941 ( ) году, она давным давно стала библиографической редкостью. Поэтому мы решили переиздать книгу Биркгофа, добавив две его работы, содержащие доказательство эргодической теоремы. По словам И. Винера (кстати сказать, не любившего Биркгофа по причинам, которые он сам объяснил в своих воспоминаниях) эти работы — поразительное свидетельство пробивной силы Биркгофа. Он занялся эргодической теоремой без всякой предварительной подготовки, не обладая никакими специальными знаниями в области интеграла Лебега и даже не особенно им интересуясь. Несмотря на это, руководствуясь только своей математической интуицией, ои сумел получить одну из важнейших теорем, вплоть до настоящего времени занимающую центральное положение в теории интеграла Лебега. [c.10]

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория . Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны. Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает эргодическую гипотезу . [c.9]

Идеи, использованные для доказательства теоремы о возвращении, были усовершенствованы Биркгофом [3] и другими авторами для эргодической теории. Но возможность применения этой теории к заданной системе дифференциальных уравнений ограничена трудностями, которые еще более значительны, чем в проблеме устойчивости. В этой связи замечательны результаты, полученные Данжуа [4-6]. [c.362]

Теорема 2.2. (эргодическая теорема Биркгофа (G. Birk-hoff)—Хинчина, см [24]). Пусть f U М, Ж, i). Тогда Для почти всех х М существуют пределы [c.17]

Существуют многочисленные обобщения эргодических теорем Неймана и Биркгофа—Хинчина — например, на измеримые преобразования без инвариантной тлеры или с бесконечной инвариантной мерой, на общие группы преобразований, на функции со значениями в банаховых пространствах и т. п. Мы не будем сейчас останавливаться на этих результатах (см. 3 гл. 4, а также [87]). Отметим, что в простейшем случае (Для одного преобразования с конечной инвариантно й мерой, потока или полупотока, а также для функций из Ьг(М, Ж, ц)), как правило, эти обобщения дают то же, что и сами теоремы Биркгофа—Хинчина или Неймана. [c.19]

Наиболее сильное обобщение теоремы Биркгофа—Хинчина для одного оператора принадлежит Хопфу—Орнстейну—Чакону (R. ha on). Это индивидуальная эргодическая теорема для положительных сжатий в U для любой функции существует почти всюду предел [c.83]

Данное обстоятельство приводит к тому, что дальнейшее исследование эргодических свойств биллиардов, по сравнению с гладкими равномерно полно гиперболическими системами (см. гл. 7, 3), значительно усложняется. В самом деле, для последних систем сразу можно доказать эргодичность. Это делается с помощью метода, впервые примененного Хопфом (Е. Hopf) для доказательства эргодичности геодезического потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Идея этого метода состоит в том, что для почти всех точек Х и Х2 фазового пространства рассматриваемой системы строится конечный набор W4, W , Л.У1А и ЛНМ (цепочка Хопфа) такой, что Wfdxi, и где y = i l. Тогда из эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, (см. гл. 1, 2) легко выводится, что точки Xi и Х2 принадлежат [c.183]

Смотреть страницы где упоминается термин Теорема эргодическая Биркгофа : [c.175] [c.173] [c.214] [c.441] [c.385] [c.21] [c.23] [c.145] [c.153] [c.202] [c.225] [c.691] [c.726] [c.159] [c.40] [c.499] [c.517] [c.18] [c.100] [c.282]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...