Учет решения однородных уравнений

Если однородное, дифференциальное уравнение при учете всей совокупности граничных условий (наложенных извне и естественных) имеет решения, кроме тривиального (см. строку 5 таблицы), то неоднородное уравнение имеет решение лишь в случае, если функция в правой части этого уравнения ортогональна отмеченным выше нетривиальным решением однородного уравнения (см. строку 6 таблицы). [c.446]

Численное интегрирование уравнения (3.11) приводит к значению Р р = 1,03. Причем с учетом (0) = О и того, что решение однородного уравнения (3.11) должно быть получено только с точностью до масштаба, численное интегрирование начинаем со значения О (0), М. (0) = 1 и подбором параметра Р добиваемся выполнения граничного условия на другом конце колонны М (I) = 0. [c.89]

Произвольные функции (X) и (X) положены равными нулю, так как аналогичные решения однородных уравнений (3.3.7) и (3.3.8) появятся позже, и учет их на этой стадии был бы излишним. Дифференцирование рекуррентных формул [c.93]

Вид секулярного логарифмического члена диктуется степенной зависимостью от Л решения однородного уравнения теплопроводности и объемного теплового источника. Подставляя (40) в уравнение (4) с учетом выражения для поля скорости (1), получим [c.271]

Слагаемые, содержащие постоянные , Са, s y k, представляют собой общее решение однородного уравнения. Последний член есть частное решение уравнения (6.44) с правой частью. С учетом равенства (6.45) функция w (х, у) принимает вид [c.235]

Записывая (7.70) с учетом (7.68) и (7.69), получим систему четырех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными А, В, С и D. Условием существования нетривиального решения системы является равенство нулю детерминанта, составленного из коэффициентов при неизвестных. Это приводит к уравнению [c.224]

Если при е=0 краевые условия однородные, то шесть компонент вектора С равны нулю. Определив произвольные постоянные и компоненты реакции R, получаем общее решение системы уравнений равновесия стержня с учетом промежуточной шарнирной опоры. Этот метод легко обобщить на стержень с любым числом промежуточных опор. Изложенный метод можно рассматривать как обобщенный метод Крылова для пространственно-криволиней-ных стержней. [c.80]

Поскольку уравнение (82) является решением однородной системы дифференциальных уравнений (49) для одного из корней характеристического уравнения, то с учетом всех форм главных колебаний общее решение системы дифференциальных уравнений (49) [c.56]

С учетом (11.15) решение однородного дифференциального уравнения (11.8) можно представить в следующем виде [c.229]

Подстановка (8) в (1) при учете (4) приводит к системе линейных однородных уравнений для Vi, V 2 и W, из условия существования ненулевого решения которой следует [c.220]

Для поликристалла, состоящего из хаотически ориентированных однородных сферических зерен с ГПУ решеткой, условия (2.37) с учетом (2.33) приводят к системе двух громоздких алгебраических уравнений. Эту систему можно свести к уравнению восьмой степени относительно Go. Тогда после вычисления Go значение Ка определяется из решения квадратного уравнения. Из (2.43) и (2.44) с учетом (2.12) следуют верхние и нижние оценки модулей всестороннего сжатия и сдвига в предположении однородности деформированного или напряженного состояний в поликристалле [c.77]

Подставим эти соотношения в уравнение (4.2.4) и в уравнениях для возмущений X, у, д, п, q, к, учитывая малость последних, сохраним только л№ нейные таены. После простых преобразований с учетом решений (4.2.6) получаем для возмущений однородную краевую задачу [c.114]

При использовании силового условия продвижения вершины трещины, характеристики состояния предельного равновесия трещины определяются из совместного решения системы уравнений (21), (23) и (26). Размер концевой области трещины в состоянии предельного равновесия и напряжения вдоль концевой области определяются из решения уравнения (21) с учетом условий (23) и (26). Величина критической внешней нагрузки определяется затем из условия (26). Отметим, что при выборе закона деформирования связей вида (7) уравнение (21) может быть решено только численно по итерационной схеме (например, в работах [17-18 таким способом решаются уравнения для однородного материала, полученные непосредственно из условия, аналогичного (5)). [c.228]

Построим однородные решения системы уравнений (2.52). Раскрыв определитель матрицы II (О — а II для рассматриваемой системы, получим с учетом зависимости (3.20) уравнение [c.47]

Неравенство (1.3.2), при выполнении которого волну можно считать почти плоской, а среду почти однородной, является необходимым, но недостаточным условием применимости геометрической оптики. Достаточные же условия применимости должны тем или иным способом учитывать накапливающиеся погрешности, обусловленные тем, что поле нулевого приближения (1.3.3) не является точным решением волнового уравнения. Корректный учет такого рода погрешностей в общем виде представляет собой весьма трудную задачу, еще ждущую своего решения. Однако обобщая результаты многих работ, выполненных в указанном направлении, можно сформулировать некий эвристический критерий выполнимости геометрической оптики. Этот критерий требует, чтобы вблизи луча на расстоянии, много большем линейного размера первой зоны Френеля, не было резких изменений ни свойств среды, ни свойств поля. Если обозначить поперечный масштаб изменения этих свойств (точнее, наименьший из масштабов) через / , то условие применимости геометрической оптики запишется в виде неравенства [c.44]

Разгрузка (задача 2). Пусть внешнее напряжение, достигнув уровня 0 = 0,, монотонно убывает до значения о =/ о,, R <1. Ввиду того, что состояние в упругой области описывается линейными однородными уравнениями (теории упругости), решение задачи с учетом разгрузки можно представить суперпозицией решений двух задач, потребовав, чтобы суммарные значения напряжений и перемещений при у = О и у оо соответствовали достигнутым с учетом истории деформирования о = о, + О2 = R0, 02 < 0) Оуу = - о на том отрезке оси х(/, <х <12), где уменьшение внешней нагрузки вызвало пластическую деформацию сжатия перемещение о = и, в области 2 < х < I,, где - От < Оуу < 0 и = О при х L [c.165]

При Т >2Т2 уравнение (13.17) относится к апериодическому типу, а при Г]<272 — к колебательному. Для обычных характеристик сил трения коэффициент кв имеет небольшую величину и 7[<272, т. е. уравнение (13.17) принадлежит к колебательному типу и может быть представлено в форме уравнения (13.2), где 2у = ка т р = с1т 1 = 7 х=1. После подстановки у = У + оно приводится к однородному, решение которого по (13.4) с учетом указанной подстановки имеет вид [c.109]

Уравнение (29) с однородными начальными условиями имеет в области />0 единственное тривиальное решение е,( ) = 0, откуда (/) = (/). Повторяя рассуждения для всех /=1, к, получаем, что первые k компонентов при />- О составляют камеру относительно Р. С учетом малых членов, которыми при выводе [c.187]

После выполнения процедур построения матриц фундаментальных решений для отдельных элементов и стыковки элементов по геометрическим и силовым факторам с учетом однородных граничных условий получим однородную систему алгебраических уравнений относительно дополнительных перемещений. Формально эту систему представим в виде [c.97]

Собственные частоты и собственные формы колебаний. Для получения частотного уравнения необходимо привлечь краевые условия (см. табл. 6 гл. VI И). Подстановка в краевые условия одного из видов общих решений (15), (16) или (20) с учетом (22) приводит к однородной системе уравнений относительно постоянных, входящих в эти решения. Условия существования ненулевого решения для постоянных дает уравнение частот. Ненулевое решение определяет форму собственных колебаний. Для некоторых основных видов краевых условий частотные уравнения и их корни, а также формы собственных колебаний представлены в табл. 4. [c.195]

Пусть известно решение краевой задачи, заключающейся в интегрировании дифференциального уравнения (П. 14.1) с учетом некоторых граничных условий, которые однородны иа всех краях у/, за исключением одного края у, а иа у эти граничные условия имеют вид [c.497]

Более громоздкие задачи для конечных областей рассматривались в работах [3, 83, 91, 203, 244]. В ряде работ Миндлина и его сотрудников, относящихся к круглому цилиндру [179, 225, 237] и прямоугольной пластине [227, 238], для решения конкретных задач развита и использована приближенная теория. По своему существу она является некоторой модификацией метода однородных решений для учета трех первых ветвей дисперсионного уравнения (см. далее рис. 61 и 62). [c.160]

В качестве теста рассмотрим задачу устойчивости сжатого, защемленного по торцам стержня. Точное решение этой задачи (1.215) было получено в примере 1.7. Получим решение с помощью МКЭ, воспользовавшись коэффициентами матрицы жесткости (3.59) н коэффициентами матрицы начальных напряжений (3.85). Разобьем стержень на два конечных элемента, длиной lj2 каждый. Выполнив процедуры сборки конечных элементов с учетом граничных условий (приложение 3), получим однородную систему алгебраических уравнений относительно перемещения и угла поворота 0В) среднего сечения [c.158]

Учет решения однородных уравнений. В приведенном решении ураькспий (8) мы не рассматривали решения соответствующих однородных уравнений. Если же исключить из рассмотрения все возмущающие силы и считать, что Земля просто приведена во вращение н предоставлена сама себе, то уравнения п. 525 примут форму [c.398]

Докажем, что уравнение (3.15) (с учетом (3.16)) всегда разрешимо. Допустим противное. Тогда имеется нетривиальное решение однородного уравнения, которое обозначим через сйо(0-Пусть фо(2), г1зо(2) и — определяемые этим решением функции и постоянные. Тогда [c.384]

Распределение Нд по объему сварного соединения и его концентрацию в любой заданной точке определяют экспериментальнорасчетным способом. Способ состоит в экспериментальном определении исходной концентрации диффузионного водорода в металле шва Нш(0), установлении зависимости коэффициента диффузии водорода от температуры для шва, ЗТВ и основного металла и параметров перехода остаточного (металлургического) водорода Но в основном металле в Нд и обратно при сварочном нагреве и охлаждении. Расчетная часть заключается в решении тепловой задачи для заданных типа сварного соединения, режима сварки и решения диффузионной задачи. Последняя для сварки однородных материалов представляет ч 1Сленное решение дифференциального уравнения второго закона Фика, описывающего неизотермическую диффузию водорода с учетом термодиффузионных потоков в двумерной системе координат [c.534]

Для того чтобы определить положение динамического равновесия, согласно методу, изложенному в [96], необходимо сначала решить однородное уравнение, в котором параметры а и представляют собой известные функции постоянной, но неизвестной величины дин- В результате решения, произведенного с учетом конечного числа членов, можно получить приближенное выражение для характеристического показателя ц и коэффициентов Сзг в виде некоторых функций Один. Затем подставив полученныефункции в выражение (5.3), можно получить уравнение для смещения Но в функции йдин. Чтобы определить затем Один, требуется положить Я = О и решить полученное трансцендентное уравнение. Определив дин, можно вычислить численные значения и найти полное решение уравнения движения. [c.158]

В этих и аналогичных случаях систему основного и сопряженного уравнений, даже при однородных граничных условиях, уже нельзя считать разомкнутой, так как в правую часть сопряженного уравнения шриходится подставлять величину, зависящую от решения основного уравнения. Тем не менее формулы теории возмущений (5.83), (5.88) остаются здесь справедливыми и могут быть использованы так же, как и в случае линейных функционалов, при условии, что решение сопряженного уравнения будет найдено после решения основного и с учетом этого решения. [c.156]

Ползучесть при продольном сдвиге. Продольный сдвиг моносяоя - это вид нагружения, при котором наиболее сильно проявляются вязкоупругие свойства полимерного связующего. Для определения ползучести монослоя по де-формативным свойствам компонентов воспользуемся расчетной моделью (см. рис. 5.1.2). Согласно этой модели материал состоит из неограниченного числа слоев бесконечно малой толщины, параллельных плоскости нагружения. Полагается, что каждый слой находится в однородном напряженном состоянии и средние деформации всех слоев в любой момент нагружения одинаковы. Деформация сдвига слоя складывается из деформаций полимерного связующего и волокон. В процессе ползучести напряжения в компонентах монослоя меняются, т.е. происходит их перераспределение во времени. Таким образом, эпюры распределения напряжений сдвига в момент нагружения и при любом фиксированном значении времени нагружения различны. В результате решения системы уравнений равновесия с учетом закона деформирования компонентов (5.1.39) получается закон деформирования моносяоя при продольном сдвиге [c.290]

Повышение требований к точности расчета конструкций, находящихся в условиях контактного взаимодействия, приводит к необходимости усложнения моделей сплошной среды, в частности, к необходимости учета начальных (остаточных) напряжений, к необходимости развития эффективных методов исследования особенностей контактного взаимодействия преднапряженных упругих тел. Первые работы по контактным задачам для преднапряженных тел были основаны на использовании простых форм упругого потенциала (Трелоара, Муни, Джона и др.) с целью более прозрачного представления о характере влияния и сущности изменений, вносимых начальными напряжениями. В этом плане Л. М. Филипповой в работе [28] рассмотрена задача о внедрении жесткого штампа в упругую полуплоскость из несжимаемого материала Муни. Начальная деформация предполагалась однородной, действующей вдоль границы полуплоскости, трение в области контакта не учитывалось. Задача сведена к решению интегрального уравнения вида [c.234]

G. Herrmann и А. Е. Armenakas [2.1021 (1960), исходя из принципа Гамильтона—Остроградского, вывели пять уравнений движения упругой однородной пластины при конечных прогибах ее срединной поверхности и граничные условия в рамках теории типа Тимошенко. Затем они рассмотрели пластину под действием начальных напряжений с учетом поперечного сдвига и инерции вращения и получили линеаризованные уравнения движения относительно точки срединной поверхности и двух углов сдвига в ортогональных плоскостях. Решение этих уравнений продемонстрировано на задачах определения частоты колебаний при равномерном начальном сжатии, изгибающем моменте, поперечной сдвигающей силе. [c.167]

Возможности учета неоднородностей среды при миграции по Кирхгофу ограничиваются допущениями, лежащими в основе интеграла Рэлея-Зоммерфельда как рещения волнового уравнения. Во-первых, это - не интеграл Соболева (1930), дающий строгое решение акустического волнового уравнения для неоднородной среды, а интеграл, являющийся упрощенным решением волнового уравнения для однородной среды, причем для дальней зоны. Следовательно, миграция по Кирхгофу а) заведомо непригодна для малых расстояний источник - точка изображения и точка приема - точка изображения, (Ь) среда может быть лишь слабо неоднородной, и (с) шаг пространственной дискретности должен быть мал. Чтобы обеспечить выполнение этих ограничений, модель скоростного разреза, используемая для расчета функции ж, сглаживается растяжение сейсмического импульса, особенно сильное при малых временах и большом вертикальном градиенте скорости, подавляется либо автоматически, либо разумным выбором мьютин-га вводится регулируемое подавление эффектов зеркальных частот, возникающих при крутых углах наклона отражающих границ и особенно опасных для высокочастотной части спектра сейсмического поля. Одним из способов такого подавления является искусственное ослабление высокочастотной части спектра сейсмических волн, отраженных от крутопадающих границ - а это снижает разрешающую способность миграции. [c.50]

Для решения задачи о структуре ударной волны применялись [1] однократно проинтегрированные по координате уравнения импульса и энергии, в которых давление р и массовая плотность р исключались с помощью уравнений неразрывности и состояния. Разбиению на однородную и неоднородную части подвергались барнеттовы напряжение р и тепловой поток Увеличение порядка системы уравнений определялось слагаемыми р х и Ях со вторыми производными от скорости и температуры Г. Кроме них в неоднородную часть было включено слагаемое с так как его учет в однородной части не позволял получить ограниченное решение. [c.188]

В простейшем одночастичном варианте оболочечной модели ядра рассматривается движение непарного нуклона в сферически симметричном однородном потенциале, образованном взаимодействием остальных нуклонов. Решение уравнения Шредингера для этого потенциала с учетом сильного спин-орбитального взаимодействия позволяет получить определенную последовательность энергетических уровней, группирующихся около нескольких значений энергии. Уровень характеризуется величиной энергии, полным моментом г и орбитальным числом /. В соответствии с принципом Паули на каждом уровне размещается 2i + 1 нуклонов. Полное заполнение группы соответствует построению оболочки, которая содержит магическое число нуклонов. Размещение ядер по оболочкам производится путем содоставления массового числа, спина и других характеристик ядра с параметрами уровней. [c.200]

Задачу устойчивости оболочки, подкрепленной шпангоутами, можно решать в двух основных вариантах с помощью замены подкрепленной оболочки однородной ортотропной оболочкой (путем размазывания> жесткостей шпангоутов) или с учетом дискретного расположения подкреплений путем интегрирования уравнений устойчивости гладкой оболочки и выполнения условий стыковки ее со шпангоутами. Использование схемы полубезмо-ментрой оболочки позволяет в обоих случаях получить простые и надежные приближенные решения [51. [c.284]

В приложениях теории замедления нейтронов к задачам, связанным с изучением состава вещества (например, в ядерной геофизике), сохраняется актуальность аналитического решения уравнения переноса нейтронов в однородной безграничной среде. К методике решения предъявляются жесткие требования много-компонентность среды и широкий диапазон изменения водородо-содержания, корректный учет неупругого рассеяния при высокой энергии нейтронов (до 14 МэВ), резонансной структуры сечений, угловой анизотропии, поглош.ения нейтронов в реакциях с вылетом заряженных частиц. [c.292]

Решение уравнения переноса излучения в защитах реакторов с помощью AWLM— № 1.0-схемы (263). Применение метода Монте-Карло для расчетов токов вкладов в защите реакторов (268). Весовые функции усреднения групповых констант (272). Учет воздушных полостей в защите реакторов в рамках метода выведения — диффузии (278). Особенности формирования поля быстрых нейтронов, рассеянных от стенок прямого канала (282). Потребности в ядерных данных в задачах расчета биологической защиты (286). Аналитическое описание замедления резонансных нейтронов (292). Поля замедлившихся нейтронов и вторичного v-излучения в прямом бетонном канале с источником быстрых нейтронов на входе (296). Функции влияния поглощающего цилиндрического источника (299). Расчет источников захватного Т Излучения в однородной среде и у границы раздела двух сред комбинированным методом (307). Квазиальбедо нейтрон — V-квант (309). Ковариационные матрицы погрешностей для элементов конструкционных и защитных материалов ядерно-технических установок (311). Скайшайн нейтронов н фотонов. Обзор литературы (320). [c.336]

Формы колебаний определяются функциями (5) с учетом (7), если для j , взять ненулевое решение соответствующей однородной системы при ш = аз т, где — й-й корень уравнения (9). Если на двух противоположных сторонах при = onst реализуются одинаковые условия, то уравнение частот распадается на два уравнения, соответствующие симметричным и антисимметричным формам. Уравнения частот для различных сочетаний краевых условий приведены в табл. I. [c.204]

Квадратичная форма (2.3.2) тождественно равна нулю (V i 1=У ц--УТ22 = 0). Здесь в первом приближении поведение решения определяется вторым уравнением (2.2.32), левая часть которого с учетом первого уравнения (2.2.30) приводится к однородной кубической форме [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...