Движение в окрестности сепаратрисы

Движение в окрестности сепаратрисы [c.236]

Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это движение является хаотическим при ш 0. Ввиду такой универсальности сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения границы стохастичности которая характеризует ширину стохастического слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований представлены в гл. 4 и 5. Далее в гл. 6 будет показано, что движение в окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда, которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более степенями свободы. [c.243]

Устойчивость резонанса, вообще говоря, не означает устойчивости движения в окрестности положения равновесия. Действительно, фазовая траектория может выйти из малой окрестности стационарной точки, но при этом остаться в пределах колебательной области в силу того, что область колебательного движения расширяется быстрее, чем система подходит к сепаратрисе. Поэтому наряду с изучением устойчивости колебательного движения необходимо проводить исследование устойчивости положения равновесия в области устойчивых резонансов. [c.132]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Указанные солитонные решения реализуются в окрестности сепаратрисы (рис.2), и их фазовые портреты представлены на рис.З (колебательное движение - внутри сепаратрисы, вращательное движение - вне её). Эллипсы малого размера в окрестности точки ц = и и о соответствуют гармоническому движению при малых колебаниях маятника с частотой и [c.9]

Вопросы, излагаемые в этой главе, играют исключительную роль в общей теории стохастичности гамильтоновых систем. Если бы мы пользовались терминами квантовой теории, то можно было бы задать вопрос о том, что же является квантом стохастичности Как должна выглядеть та минимальная ячейка фазового пространства, которая несет в себе зародыш стохастичности Для гамильтоновых систем, совершающих финитное движение, ответы на эти вопросы известны. Квантом стохастичности является стохастический слой (рис. 5.1), образующийся в окрестности сепаратрис под действием произвольного ( ) сколь угодно малого нетривиального возмущения (ком. 1). [c.87]

Эллиптические точки. В 2.4 путем перехода к переменным, связанным с эллиптической точкой, нам удалось исследовать все более и более мелкие области регулярного движения на фазовой плоскости. Мы видели, что вокруг эллиптической точки существует своя система резонансов (периодических точек) более высокого порядка, движение вокруг которых повторяет исходное на более мелком масштабе. Было показано также [см. (2.4.62) и последующее обсуждение], что возмущение в высших порядках очень быстро уменьшается с 5 (пропорционально 1/5 ). Если исходное возмущение мало, то фазовая плоскость заполнена, в основном, инвариантными кривыми, топология которых такая же, как и у невозмущенной системы. Остальная часть фазовой плоскости вокруг эллиптических точек заполнена инвариантными кривыми другой топологии. Можно ли сказать, что вся фазовая плоскость заполнена инвариантными кривыми все возрастающей сложности и все более мелких масштабов, пока с ростом возмущения вся эта структура внезапно не разрушается, переходя в стохастичность Оказывается, что нет. В типичном случае области стохастичности существуют в окрестности сепаратрис (связанных с гиперболическими точками) при любом возмущении и растут вместе с ним. [c.197]

На рис. 3.12 и 1.14 пунктиром показаны сепаратрисы резонансов, вычисленные из гамильтониана в п. 3.4е. В первом случае сепаратриса имеет приближенно эллиптическую форму, тогда как на рис. 1.14 явно видна неустойчивость движения в окрестности [c.227]

Это и есть сепаратрисное отображение 170], которое описывает движение в окрестности возмущенной сепаратрисы. [c.242]

В этом разделе мы рассмотрим метод Мельникова [299 ], позволяющий исследовать движение вблизи сепаратрисы системы, близкой к интегрируемой. Этот метод позволяет получить критерий возникновения стохастичности в окрестности сепаратрисы при наличии диссипации. Мы уже видели (см. п. 3.26 и рис. 3.4), что в типичной гамильтоновой системе движение около сепаратрисы всегда хаотическое. Однако в присутствии диссипации это уже не так. Поэтому важно найти условия, при которых возникает хаос. [c.457]

Убегающие траектории, которые получаются при соответствуют вращательным движениям маятника, возникающим при сообщении ему начального количества движения, которое обеспечивает проход через верхнее положение со скоростью, отличной от нуля. На фазовой плоскости это будет соответствовать выходу описывающей точки за пределы области, ограничиваемой кривыми С , С,. Эти кривые, проходящие через седла и служащие в окрестностях данных точек асимптотами гиперболических фазовых траекторий, являются сепаратрисами. Они разделяют топологически различные области на фазовой плоскости область траекторий, приходящих из —оо и уходящих в фоо, и область замкнутых траекторий. [c.24]

Движение в малой окрестности стационарной точки типа центр внутри сепаратрисы. [c.126]

Понятие устойчивости резонанса (или застревания в резонансе) используется в практических задачах, связанных со спуском космических аппаратов в атмосферу. Для реализации устойчивого резонанса необходимо, чтобы на фазовой плоскости существовала колебательная область, ограниченная сепаратрисой, то есть, чтобы выполнялось условие (4.37), и достаточно, чтобы при отсутствии внутри колебательной области предельного цикла производная по медленному времени г полной энергии системы Е была меньше, чем производная по медленному времени потенциальной энергии ]Ус, вычисленной в седловой точке (рис. 4.6). В этом случае колебательная область расширяется быстрее, чем фазовая траектория приближается к границе области, ограниченной сепаратрисой. Производная Е/(1т показывает эволюцию фазовой траектории маятниковой системы (4.31), а производная (1 с/(1г — эволюцию сепаратрисы под действием малых возмущений (/1 0). Поскольку речь идёт о колебательном движении системы, то об указанных производных можно говорить только в смысле их средних на периоде колебаний значений. Так как переход через сепаратрису возможен лишь в малой её окрестности, то соответствующие производные следует усреднять на сепаратрисе, ограничивающей область, устойчивость движения в которой исследуется. Достаточное условие устойчивости резо- [c.128]

Рассмотрим петлю сепаратрисы, имеющую одну гиперболическую точку О (рис. 5.6, а). Она возникает, например, при движении частицы в кубическом потенциале. Рассмотрим также два уса сепаратрисы выходящий (5 ) из точки О и входящий (.8 ) в точку О. При действии малого периодического возмущения на систему гиперболическая точка О оказывается устойчивой [981. Это можно понять из следующих качественных соображений. Траектории в окрестности гиперболической точки неустойчивы, поэтому очень малое возмущение не может привести к более сильной неустойчивости траекторий. Свойство устойчивости гиперболической точки распространяется на некоторую малую окрестность ее усов (в противном случае разрушение усов привело бы и к исчезновению гиперболической точки). Следова- [c.99]

Если мы более подробно рассмотрим отображение в окрестности периодических точек на рис. 3.3, то заметим, что существуют два различных типа поведения. Вблизи эллиптической точки (см. рис. 3.3) соседние точки как бы вращаются вокруг нее. В противоположность этому вблизи гиперболической точки соседние точки уходят из ее окрестности. Мы уже встречались с поведением такого типа при рассмотрении движения в фазовом пространстве простого маятника в 1.3. Там мы нашли цепочки чередующихся эллиптических и гиперболических точек, причем первые окружены регулярными траекториями, а вторые соединены между собой сепаратрисами. Такая картина является типичной для нелинейных колебаний при малом возмущении. [c.197]

В момент времени 2 достаточное условие (4.50) не выполняется, а условие (4.42) является истинным. Как видно из рис. 4.106, с течением времени фазовая траектория покидает малую окрестность положения равновесия, но остаётся внутри сепаратрисы в пределах области колебательного движения. При этом тело совершает колебания с возрастающей амплитудой. Такой резонансный режим движения устойчив. [c.136]

Вместо того чтобы анализировать отдельные решения, изучим характер векторного поля на фазовой плоскости [3]. Фазовый портрет рассматриваемого движения изображен на рис. 14. Параметром служит величина В. Две стационарные точки — седло (О, 0) и центр (2, 0) — соответствуют равномерному по углу ф стоку и источнику жидкости в начале координат. Случай медленных движений, когда 1 7 <1, 1С <1, г/ 2-Ь С/8 4-[//2, соответствует окрестности стационарной точки (2, 0). В случае, когда ограничивающие стенки отсутствуют, физический смысл имеют только периодические решения, отвечающие замкнутым траекториям на рис. 14. Они расположены между стационарной точкой (2, 0) и сепаратрисой [c.66]

Поясним последнее обстоятельство подробнее. Сепаратрисы на секущей состоят из точек, которые получаются в результате последовательного применения отображения. Если точка принадлежит сразу двум сепаратрисам (устойчивой и неустойчивой), то и все ее образы (при и —> оо) и прообразы (при п —> —оо) также должны принадлежать двум сепаратрисам сразу. Следовательно, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы должны иметь счетное множество общих точек, т. е. точек пересечения. Ясно, что вблизи неподвижной точки, где движение экспоненциально замедляется, точки пересечения инвариантных многообразий должны сгущаться. В результате на секущей поверхности получается картина, подобная той, что на рис. 15.16. Точки пересечения сепаратрис на секущей принадлежат двоякоасимптотической траектории, которую Пуанкаре назвал гомоклинической. При I оо эта траектория сматывается и наматывается на исходное периодическое движение. Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют гомоклинической структурой. В такой структуре имеется бесконечное разнообразие траекторий, среди которых наряду с периодическими есть и случайные. Полное описание траекторий, принадлежащих гомоклинической структуре, было дано сравнительно недавно на языке символической динамики [14]. [c.326]

Напротив, движение в окрестности сепаратрисы является сильно ангармоническим. Разложим в ряд Фурье значение угловоИ скорости для решения, изображённого на рисЛ, чтобы увидеть, какие характерные гармоники базисной частоты гтГ/т представлены в 8Т0М решении. Выбирая интервал [-Ф/4, Ф/4j для разложения в [c.10]

Этот примечательный результат показывает, что движение вблизи любого резонанса ) подобно движению маятника с его колебаниями вращением и сепаратрисой. Приближение (2.4.27) использовалось Чириковым [70] и другидш авторами для описания типичного поведения гамильтоновых систем вблизи резонанса оно же является основой нашего подхода при изучении хаотического движения в окрестности сепаратрисы резонанса. Гамильтониан (2.4.27) дает в некотором смысле универсальное описание движения вблизи резонанса, поэтому мы будем иногда называть АЯ стандартным гамильтонианом. [c.127]

Чтобы усмотреть сильный ангармонизм колебаний плазмы в окрестности сепаратрисы, разложим потенциал в ряд Фурье по гармоникам лзгмюровской частоты О. и определим, какие гармоники определяют движение для сепаратрисной траектории [c.36]

Тот факт, что возмущение приводит к очень сложной картине разрушения сепаратрисы (к так называемой гомоклинической структуре, которая рассмотрена в этой главе), был отмечен еще Пуанкаре. Исследование этой структуры было связано с оггоеделенными трудностями, и первая оценка пгарины области разрушения была получена Мельниковым [82]. Соображения о том, что разрушение в окрестности сепаратрисы носит стохастический характер, были высказаны впервые в работе [83]. В ней же было показано, что имеется локальная неустойчивость внутри слоя, называемого стохастическим, что движение частицы внутри слоя носит диффузионный характер и что для оценки ширины слоя может быть использован критерий стохастичности. Этот подход, подтвержденный численным анализом [83],позволил оце- [c.101]

В 3,3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к системам с дву.мя степенями свободы в 3,4 рассматривается модель ускорения Ферлш, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки (периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма отображения. Наконец, в 3,5 рассматривается задача о движении маятника под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы, Производится переход от уравнений Гамильтона к отображению и рассмотрен характер линеаризованного движения. Такой подход был использован Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при оценке скорости диффузии Арнольда в гл, 6. [c.176]

Эти результаты Улама были объяснены с помощью аналитических и численных методов Заславским и Чириковым [443 ] и более полно Брахичем [38 ] и Либерманом и Лихтенбергом [274 ]. Они показали, что в случае гладкой зависимости скорости стенки от времени фазовая плоскость движения разбивается на три различные области 1) область малых скоростей, в которой все неподвижные точки неустойчивы, что приводит к стохастическому движению практически во всей этой области 2) область промежуточных скоростей, где внутри стохастической компоненты имеются островки устойчивости, окружающие эллиптические точки, и 3) область больших скоростей, в которой стохастические слои в окрестности сепаратрис изолированы друг от друга инвариантными кривыми, которые пересекают весь интервал изменения фазы. Именно последняя область и ограничивает набор энергии частицей. Если же зависимость скорости стенки от времени недостаточно гладкая, то области 3 не существует в согласии с теорией KAM. [c.220]

Попытки решения задачи трех тел привели попутно к получению многих интересных математических результатов. Мы уже обсуждали общую теорию периодического движения, связанную с именами Пуанкаре [337 ] и Биркгофа [29 ], а также развитие теории KAM. Изучение стохастичности тоже было обусловлено попыткой понять хаотическое поведение траекторий вблизи гомоклинных точек (см., например, [374, 310]). В одном из вариантов ограниченной задачи трех тел Ситников [379 ] и Алексеев [6 ] показали, что в окрестности сепаратрисы (параболической траектории легкого тела) существуют траектории с произвольно большими и случайными временами возврата. Аналогичные результаты более абстрактного топологического характера были получены также Смей-лом [381 ]. [c.487]

С — постоянная интегрирования). Если С = О, то получаем прямые у = ах и у = — ах, которые являются асимптотами семейства гипербол (рис. 1.2) и проходят через состояние равновесия, расположенное в начале координат (ж = О, / = 0). Состояние равновесия в этом случае называется седлом. Здесь имеется аналогия с соответствующим географическим понятием [4]. В горах перевалом (или седлом) называют самую низшую точку между вершинами, к которой стекают потоки с вершин. С перевала потоки обрушиваются в разные долины. Разнодолинные потоки разделяет водораздел — линия, проходящая через седло. На нашем фазовом портрете через седло проходят асимптоты гиперболы, которые называются сепаратрисами. Отметим, что состояние движения в окрестности седла, очевидно, неустойчиво . Малые отклонения приводят к большим последствиям (строгое определение устойчивости дано ниже). [c.24]

Сепаратрисы отделяют два принципиально различных типа движения системы в случаях 2 и 4. В окрестности по.пожений равновесия при [c.230]

Тот же приём линеаризации применяют для изучения поведения траекторий в окрестности периодич. движения L ae a(t), где а (/+т) а /). Фундам. матрица решений линеаризованной вблизи ж —ос системы ур нин имеет вид с(()ехрЛ(0, где с (/) —периодич. ф-ция с периодом т. Поведение траекторпй характеризуют мультипликаторы [собств. значения yi,. .., у,, матрицы ехрЛ(т)] один из них, скажем у , равен 1. Если I Vr I < 1 ( Yi I > для всех —1, то периодич. движение устойчиво (неустойчиво). Если р мультипликаторов лежат внутри, а <7 — вне единичного круга в комплексной плоскости, p- -q n — , то имеем периодич. движение седлового тина. В этом случае L. лежит в пересечении двух поверхностей (рl)-Mepuoii и 9 + 1)-мерной Wt (устойчивой и неустойчивой сепаратрис). [c.626]

Функции lg встречались при анализе расщепления сепаратрис Г и Г" в 1. Отметим, что они аналитические и 2тг-периодические. Для случая гомоклинных движений их средние по периоду равны нулю. Однако в рассматриваемой ситуации это вовсе не обязательно. Необходимым условием непересечения возмущенных сепаратрис Г и Г является отсутствие перемен знака у функции Это условие предполагается выполненным. Более точно будем считать, что /1 О и /г 0. В этом случае картина расположения расщепленных сепаратрис именно та, что изображена на рис. 28 при малых положительных значениях е. При = О в окрестности точки Z2 можно выполнить такое каноническое преобразование Биркгофа ж, у - ,г], что (в новых переменных) Щ х,у) = Fo( ), С = и [c.289]

Сами по себе гомоклинные точки еще не дают полной картины всей этой очень сложной области вблизи сепаратрисы. Так как период фазовых колебаний обращается в бесконечность на сепаратрисе, то в ее окрестности имеется бесконечно много вторичных резонанов, соответствующих высоким гармоникам частоты фазовых колебаний. Каждый из этих резонансов имеет свою собственную систему чередующихся эллиптических и гиперболических точек, со своим сложным движением в их окрестности и многократными пересечениями как своих сепаратрис, так и сепаратрис первичного резонанса в гетероклинных точках. Все эти сепаратрисы, по-видимому, всюду плотно заполняют доступное им фазовое пространство. Пересечение сепаратрис фактически показывает, что в этой области не могут существовать инвариантные торы вследствие изменения топологии траекторий ). Подробное обсуждение этих вопросов дано Драгтом и Финном [107]. Однако для малых возмущений все это чрезвычайно сложное поведение происходит лишь в ограниченной инвариантными кривыми области фазового пространства (рис. 3.4, а). [c.200]

Остальные траектории, кажущиеся на рис. 5.21 непрерывными, соответствуют квазипериодическим рещениям, когда частота соударений щарика о стол несоизмерима с частотой колебаний стола. Наконец, на рис. 5.21, б (Л = 1,2) представлены движения третьего типа вблизи тех мест, где при меньщих значениях параметра К существовали сеяла и сепаратрисы, идущие из седла в седло, мы видим облако точек. Это облако точек соответствует консервативному хаосу. При К < 1 оно локализовано в окрестности седловых точек. Но при К 1 блуждающая траектория становится глобальной — размазывается по всему фазовому пространству. [c.191]

Re I.J отрицательны для р и положительны для q корней, причём p + q — n. Если р п (р = 0), точка <У наз. устойчивым (неустойчивым) узлом траектория с началом в мало11 окрестности точки О попадает в О при t—>.-(-03 t—со). Если p O q, точка О на.ч. седлом. Через неё про. одят две поверхности / -мерная Wl и -мерная W o, наз. устойчивой и неустойчивой сепаратрисами точки О они образованы траекториями, стремящимися к О при t— - 00 и t— —оо соответственно. Остальные траектории уходят из окрестности седла при I -—оо (рис. 1). Траектория, лежащая одновременно в Wl и W o (и не совпадающая с О), наз. двоякоасимптотической к О или петлей сепаратрисы седла. При стационарном движении ей отвечает бегущая локализов. волна, в данном случае спадающая при t — 00 (таковы нек-рые соли тоны). [c.626]

Устойчивые и неустойчивые сепаратрисы равновесия и (пли) периодич. движений могут пересекаться. Траектории, принадлежащие пересечению устойчивых и неустойчивых сепаратрис разных периодич. движений, наз. гетероклиническими. Траектория, принадлежащая пересечению устойчивой и неустойчивой сепаратрис периодич. движения L (и отличная от L), наз. гомоклинической. Как правило, в её окрестности имеется бесконечное множество разнообразных траекторий, среди к рых содержится счётное множество седловых периодич. движений. Наличие гомоклинич. траекторий может служить критерием существования сложных режимов в Д. с. (см. Стохастические колебания, Странный аттрактор), а также яв- [c.627]

Выше было рассказано о результатах численного исследования уравнения (4.10) при М = 0,1 /г = 1. Однако, как показали аналогичные численные исследования, такие же результаты получаются и при других значениях параметров М ш Ъ, если только Н> М. При несоблюдении этого условия ж к< М возможность сведения к точечному отображению окружности в себя исчезает, и необходимо исследовать точечное отображение двумерного цилиндра в себя. Общая схема изменений фазового портрета оказывается следующей. При малых ц- возникают устойчивые вращательные синхронизмы, области притяжения которых разделяются сепаратрисами 3 и 3 седловых ненрдвижных точек. С ростом параметра ц, число их возрастает, и вместе с этим возникают пересечения сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек, отвечающих разным синхронизмам. Это приводит к усложнению вида областей притяжения устойчивых синхронизмов. Дальнейшее увеличение параметра ц- сопровождается появлением новых пересечений сепаратрис и возникновением гомоклинических структур, содержащих циклы. При этом характер приближения фазовых точек к устойчивым синхронизмам носит весьма сложный немонотонный характер фазовая точка то приближается к нему, то удаляется и, лишь попав в достаточно малую его окрестность, стремится к нему. В соответствии с этим области притяжения устойчивых синхронизмов имеют сложный и тонкий характер. При дальнейшем росте параметра [х начинаются бифуркации удвоения периодов устойчивых синхронизмов с одновременным образованием новых седдовых синхронизмов которые ведут к еще большей хаотизации движений и утопьше-нию областей притяжения устойчивых синхронизмов. При ничтожно малых возмущениях фазовая точка блуждает по поверхности секущего цилиндра, не попадая в малые окрестности устойчивых синхронизмов. [c.206]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...