Сепаратрисы разрушение

Сепаратрисы разрушение 97—92 Символическая динамика 101, 102 Синус-преобразование 84 Скользящие электроны 69 Сложности системы понятие 217 Сокращение описания 104 [c.271]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Уравнение Дуффинга (70) при = О всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При <5 > О уравнение (70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при <5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность [c.816]

При дальнейшем убывании Я на интервале 0<Яо<Яо смены устойчивости состояний равновесия не происходит, но при Я = О циклов уже нет (при Я = О существует интегральная прямая г/ = 0, проходящая через все состояния равновесия). Предельные циклы могут исчезнуть, только превратившись в петли сепаратрис или слившись с циклами, вновь возникшими из петель сепаратрис. Существенно, что циклы вокруг фокусов и цикл, охватывающий все три состояния равновесия, имеют разную устойчивость. В соответствии со знаком седловой величины (гл. 11) только неустойчивые циклы, охватывающие состояния равновесия, могут превратиться (и обязательно превратятся при некотором Я = Я ) в петли сепаратрис. Эти две петли (возникающие одновременно, так как Ь = 0 — линия симметричных структур) можно рассматривать как одну вырожденную большую петлю, от которой при ее разрушении с убыванием Я возникает неустойчивый же предельный цикл, охватывающий три состояния равновесия. При некотором Я = Я <Я+ предельные циклы, охватывающие три состояния равновесия, сливаются и при убывании Я исчезают. [c.298]

Заметим, что хотя расположение сепаратрис на рис. 169, 7 и определяет качественную структуру лишь с точностью до четного числа предельных циклов, можно утверждать, что здесь одновременно должны существовать и устойчивый, и неустойчивый предельные циклы, охватывающие цилиндр. Неустойчивый предельный цикл появляется из петли сепаратрисы, охватывающей цилиндр, так как седловая величина сг == Рф + положительна, и при разрушении петли к ней может стянуться или из нее появиться только неустойчивый предельный цикл (кривая С4 = О представляется уравнением Я,(1 — 2[х ) = — 3[хУ 1 + х — % -, она целиком расположена в полосе УЗ/2 <Я< 3/2, т. е. вне рассматриваемого интервала изменения Я,). [c.320]

Характер бифуркации пря возникновении и разрушении петли сепаратрисы определяется знаком седловой величины [c.436]

Стохастическое разрушение сепаратрисы [c.87]

Стохастическое разрушение сепаратрисы и образование в ее окрестности стохастического слоя приводят к одному важному следствию. При исследовании нелинейного резонанса ( 1.3) было показано, что под действием возмущения образуется сепаратриса (см. рис. 1.8, 1.9). Если учесть отброшенные нерезонансные члены, то они должны разрушить сепаратрису нелинейного резонанса. Поскольку частота нерезонансных членов велика по сравнению с частотой фазовых колебаний, то ширина стохастического слоя будет экспоненциально мала. Таким образом, нелинейный резонанс всегда одет узким стохастическим слоем. [c.92]

В заключение этого параграфа остановимся кратко на проблеме разрушения магнитных поверхностей, которая непосредственно связана с анализом появления стохастичности в окрестности сепаратрисы. Задача возникла в связи с исследованием возможности создания замкнутых магнитных ловушек для удержания плазмы и в дальнейшем переросла то узкопрактическое содержание, которое первоначально вкладывалось в задачу (ком. 2). [c.92]

Результаты проведенного выше анализа позволяют сразу сделать утверждение о разрушении сепаратрисы магнитных новерх- [c.93]

В этом параграфе мы коснемся лишь в самом грубом и качественном виде еще одной особенности поведения траекторий в окрестности разрушенной сепаратрисы. [c.99]

Рассмотрим петлю сепаратрисы, имеющую одну гиперболическую точку О (рис. 5.6, а). Она возникает, например, при движении частицы в кубическом потенциале. Рассмотрим также два уса сепаратрисы выходящий (5 ) из точки О и входящий (.8 ) в точку О. При действии малого периодического возмущения на систему гиперболическая точка О оказывается устойчивой [981. Это можно понять из следующих качественных соображений. Траектории в окрестности гиперболической точки неустойчивы, поэтому очень малое возмущение не может привести к более сильной неустойчивости траекторий. Свойство устойчивости гиперболической точки распространяется на некоторую малую окрестность ее усов (в противном случае разрушение усов привело бы и к исчезновению гиперболической точки). Следова- [c.99]

Первый критерий перехода к глобальной стохастичности, предложенный Чириковым [67] и позднее усовершенствованный им [70], известен сейчас как критерий перекрытия. В своей простейшей форме он постулирует, что последняя инвариантная поверхность между двумя резонансами разрушается, когда невозмущенные сепаратрисы этих резонансов касаются друг друга. Действительно, интуитивно ясно, что касание стохастических слоев, которые, как мы знаем, окружают сепаратрисы, должно приводить к разрушению всех инвариантных поверхностей в этой области. Строго говоря, критерий перекрытия не является ни необходимым, ни достаточным. С одной стороны, последняя инвариантная поверхность может разрушаться значительно раньше перекрытия рассматриваемых резонансов за счет взаимодействия других резонансов между ними. С другой стороны, возмущение может так исказить сепаратрисы, что они фактически не будут перекрываться вопреки предсказаниям по первому приближению. Фактически численное моделирование показывает, что критерий перекрытия является [c.246]

Качественный анализ областн разрушения сепаратрисы. Разрушение нелинейного резонанса. Разрушение иагнитшлх поверхностей [c.90]

С качественной точки зрения, разрушение регулярного движения по указанный траекторияи возникает при перекрытии соседних сепаратрис, т.е. при выполнении условия [c.18]

Сопоставим теперь расположение а- и со-сепаратрис для структур на 1>пс. 159, 9 и 159, 3. Отметим точки пересечения с а- и со-сепаратрисами на отрезке прямой х = Ж1 выше фокуса (ближайшие но ходу сепаратрис от седло-узла). Для структуры на рис. 159,9 след со-сепаратрисы на прямой х = Х1 расположен ниже следов а-сенаратрис. Для структуры на рис. 159,5, наоборо-рот — выше. При убывании Я последовательно должны осуществиться бифуркации, соответствующие совпадению на прямой X = XI следа со-сепаратрисы со следом ссгсепаратрисы (выходящей из седло-узла вверх) и со следом аз-сенаратрисы (выходящей вниз). Так как седловая величина (Рж + у)2 = Я—1 при Я > 1 положительна, то при образовании первой петли (при Я = Я ) к ней стягивается неустойчивый предельный цикл (см. гл. И) (рпс. 159, 8). При расположении следа со-сепаратрисы между следами аг и аг-сепаратрис будет существовать замкнутый контур, образованный со-сепаратрисой седло-узла (рис. 159,7). При совпадении следов со- и аг-сепаратрис при Я == Я < Я возникает петля сепаратрисы (рис. 159,6), от которой при ее разрушении с уменьшением Я рождается неустойчивый предельный цикл, охватывающий оба состояния равновесия, и возникает [c.300]

При возрастании К вдоль /сг-крнвых предельный цикл опускается п сепаратрисы на верхнем полуцилиндре сближаются, но при переходе через значение X, соответствующее пересечению кривых к2 и L+, при разрушении петли сепаратрисы появляется неустойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре (устойчивый предельный цикл не может стянуться к петле сепаратрисы, так как седловая величина Ог > 0) и возникает структура, представленная на рис. 178,7, с двумя предельными циклами, охватывающими верхний полуцилиндр. [c.353]

При убывании X до значения А, = в петлю влипает изнутри неусточивый предельный цикл (рис. 215, е), а при дальнейшем убывании X и разрушении петли от нее рождается неустойчивый предельный цикл (рис. 215, ж), охватывающий все состояния равновесия (а-сепаратриса идет в устойчивый фокус в области III, -сепаратриса скручивается с неустойчивого предельного цикла, который охватывает оба состояния равновесия, и между циклами нет состояний равновесия). При некотором Х=Х2<Х (рис. 215, з) необходимо возникает нолуустойчивый двойной предельный цикл, исчезающий при убывании X. При дальнейшем убывании "к фокусы превратятся в узлы и возникнет структура, качественно эквивалентная структуре при А, = О (рис. 215, м). (При убывании X до значения (1 —ai)74 сохраняется фокус, при дальнейшем убывании X фокус превращается в узел.) [c.416]

Рассмотрим структуры внутри дискриминантной кривой при Ai < Я < аг. Для значений параметров, принадлежащих самой дискриминантной кривой, для отрезков, отсекаемых а- и -сепаратрисами на линии сшивания, выполняется условие ( з) а > >(5з)ш (вокруг фокуса есть неустойчивый предельный цикл), и это неравенство не может нарушиться при Я = Ло = onst за счет изменен1ш о. Оно сохраняется, в частности, и для структуры в точке пересечения X =Ао с линией симметрии о — Ххо — уо== = 0 (хо, Уо — координаты середины падающего участка характеристики). В этой точке фазовый портрет симметричен относительно точки (хо, Уо) и, следовательно, вокруг устойчивого фокуса в области I также есть неустойчивый предельный цикл. За счет изменения о эта качественная картина внутри области, ограниченной дискриминантной кривой, не может измениться. Отсюда следует, что при смещении с дискриминантной кривой внутрь области при разрушении сшитого вырожденного состояния равновесия появляются седло в области II и устойчивый фокус в области / в сопровождении неустойчивого предельного цикла. [c.416]

Весь ход приведенных выше вычислений показывает, что усложнение зависимости возмущения от времени может лшпь увеличивать ширину стохастического слоя. Особая роль в разрушении принадлежит наличию точек гиперболического типа на фазовой плоскости, через которые проходит сепаратриса. Именно в окрестности этих точек происходит очень длительная остановка частицы. Поэтому период колебаний становится столь большим (частота стремится к нулю), что даже малые возглущения могут сильно возмутить траекторию. Рассмотрим, как приведенные соображения реализуются формально. Для разнообразия оценим область разрушения сепаратрисы из условия перекрытия резонансов [83, 14]. [c.90]

Тот факт, что возмущение приводит к очень сложной картине разрушения сепаратрисы (к так называемой гомоклинической структуре, которая рассмотрена в этой главе), был отмечен еще Пуанкаре. Исследование этой структуры было связано с оггоеделенными трудностями, и первая оценка пгарины области разрушения была получена Мельниковым [82]. Соображения о том, что разрушение в окрестности сепаратрисы носит стохастический характер, были высказаны впервые в работе [83]. В ней же было показано, что имеется локальная неустойчивость внутри слоя, называемого стохастическим, что движение частицы внутри слоя носит диффузионный характер и что для оценки ширины слоя может быть использован критерий стохастичности. Этот подход, подтвержденный численным анализом [83],позволил оце- [c.101]

Каждый нелинейный резонанс имеет сепаратрису, которая разрушается (стохастически) любым возмущением, в том числе н отброшенными нерезонансными членами (см. 5.1, 5.3). Это означает также, что резонансные торы (им соответствуют точки на рис. Д2.1) при их разрушении одеваются стохастическим слоем. Ширина слоя в том случае, когда возмущением являются нерезопапсные члепы, равна (си. формулу (5.1.18)) [c.248]

Для 0<сб < 1 неподвижные точки в центрах областей устойчивости становятся притягивающими фокусами и можно ожидать, что хаотическая компонента движения будет полностью разрушена. Останется, однако, переходной хаос вблизи сепаратрис ), как описано в п. 7.36. Численное моделирование отображения (7.3.55) подтвердило эти представления. Например, при М = 100 для 0< б< 0,02, в том числе и для очень малых б 10 , наблюдался переходной хаос. Полное разрушение стационарного хаотического движения при малой диссипации является, по всей видилюсти, типичным для таких систем. Исследование масштаба времени, в те- [c.468]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...