Уравнения метрического поля

В 1916 г. К. Шварцшильд рассмотрел случай статического сферически-симметричного метрического поля при правой части уравнения, равной ну лю всюду, кроме одной точки — начала координат . [c.369]

Строго говоря, перенос тепловой энергии изменяет распределение масс, что в соответствии с общими уравнениями поля (см. 11.1) изменяет метрическое поле. Однако, поскольку 6Q—бесконечно мало, этот эффект приведет к изменению в (10.256) лишь на величину второго порядка малости.] Кроме того, поскольку энтропия — аддитивная величина, из (10.255) получим следующее выражение для изменения полной энтропии системы в течение этого процесса [c.296]

Учитывая эквивалентность массы и энергии, мы должны предположить, что любое распределение энергии (например, электромагнитное поле) должно порождать гравитационное поле. Плотность энергии произвольной физической системы определяется компонентой Г44 тензора энергии системы, в то время как потенциал 7 = ( (—1—Ец)/2 связан с компонентой метрического тензора. Таким образом, уравнение (11.1) отражает тот факт, что некоторый дифференциальный оператор второго порядка, действующий на 41 Должен быть пропорционален компоненте Т44. Поскольку уравнения гравитационного поля должны быть ковариантны, а различные компоненты Т перемешиваются координатными преобразованиями, естественно предположить, что общие полевые уравнения должны иметь вид [c.303]

Кроме условий, вытекающих из уравнений движения частицы и потока и гео.метрического подобия модели образцу, необходимо еще обеспечить подобие условий однозначности и подобие полей физических свойств среды. [c.137]

Тогда эти переменные необходимо интерпретировать как компоненты телесного поля напряжений и компоненты телесных метрических тензоров в этой системе. Так как телесные тензоры в одной и той же точке можно складывать, вычитать и т. д., ясно, что полученные таким образом уравнения являются тензорными и сводятся к исходным в случае однородной деформации. [c.418]

В результате различные физические величины обладают в Международной системе, как правило, и различной размерностью. Это делает возможным полноценный размерный анализ, предотвращая недоразумения, например, при контроле выкладок. Показатели размерности в СИ целочислены, а не дробны, что упрощает выражение производных единиц через основные и вообще оперирование с размерностью. Коэффициенты 4я и 2я присутствуют в тех и только тех уравнениях электромагнетизма, которые относятся к полям со сферической или цилиндрической симметрией. Метод десятичных приставок, унаследованный от метрической системы, позволяет охватить огромные диапазоны изменения физических величин и обеспечивает соответствие СИ десятичной системе исчисления. [c.27]

Общая теория относительности весьма радикально преобразовала картину мира. Классический образ пустого и неизменного по своей метрике простран-392 ства и времени, в котором взаимодействуют движущиеся дискретные тела,- -этот исходный образ механики — сменился иным представлением. Мир оказался континуумом, в котором процессы (представимые в виде изменения метрических свойств) зависят от меняющихся от точки к точке и от мгновения к мгновению значений тензора энергии-импульса. Механический образ сменился полевым. Ноне в полной мере. Общая теория относительности имеет своим объектом гравитационное поле, но тензор энергии-импульса описывает и другие поля, и значения его составляющих зависят не только от распределения масс, но и от всех средоточий энергии. Само распределение масс, т. е. в последнем счете существование частиц материи, не вытекает из уравнений поля, и теория не может обойтись без дискретных частиц как первичной данности, не находящей полевого объяснения. [c.392]

Частица в слабом гравитационном поле. Из решения уравнений Эйнштейна-Гильберта следует, что метрический тензор в нерелятивистском предельном случае слабого поля имеет вид [c.523]

I. Уравнение 4-эйконала (1,14) однородно в метрических потенциалах Это означает, что в задачах геометрической оптики имеют значение не десять метрических потенциалов а только девять отношений между ними. Это, однако, не имеет больше места, если от приближения геометрической оптики перейти к формулировке той же задачи в рамках волновой оптики, поскольку уравнения Максвелла в гравитационном поле [c.15]

II. Ограничение, налагаемое требованием независимости метрического тензора от пятой координаты действия, более существенно. Мы получили уравнение 5-эйконала из вариационного принципа наименьшего действия. Этот вывод существенно связан с предположением, что функция Лагранжа не зависит от пятой координаты действия. За сохранение этого требования говорят, как будто, и физические соображения. Все встречающиеся в природе макроскопические гравитационные и электромагнитные поля четырехмерны и не обнаруживают зависимости от дополнительной пятой координаты. [c.20]

В этой главе мы рассматриваем лишь классическую теорию поля и потому в предельном случае /г О будем накладывать в уравнениях (3,2) на метрические потенциалы 0 ,, условие цилиндричности, т. е. считать их независимыми от пятой координаты действия. [c.43]

Иное положение дела мы встречаем в задаче об определении метрических потенциалов по заданным источникам поля, которая формулируется уравнениями Эйнштейна для [c.151]

Общая теория относительности содержит обширную информацию о преобразованиях уравнений (3,53) и о представлении тензора кинетических напряжений через функцию Лагранжа зависящую от переменных поля третьего рода, входящих в состав метрического тензора согласно формулам (2.24), (2.28), [c.80]

Однако, в соответствии с принципом эквивалентности, нет существенной разницы между устранимыми и неустранимыми полями оба типа полей должны подчиняться одинаковым фундаментальным законам. Допустим поэтому, что поля, обусловленные наличием больших масс (например, Земли или Солнца), описываются в 4-пространстве метрическим тензором так же, как и устранимые искусственно созданные поля. В частности, предположим, что и мировые линии свободных (т. е. свободно падающих) частиц и световых лучей, движущихся в неустранимых гравитационных полях, являются геодезическими в 4-пространстве, которые определяются теми же уравнениями (8.96) и (8.100), как и в случае устранимых полей. Единственное отличие тогда будет в том, что неустранимые поля нельзя полностью исключить с помощью преобразований пространственно-временных координат, т. е. [c.213]

Уравнения поля (11.12) и (11.16) являются нелинейными уравнениями в частных производных относительно gi - В случае слабых гравитационных полей уравнения можно аппроксимировать линейными дифференциальными уравнениями [74]. В этом случае можно ввести такую систему пространственно-временных координат, в которой метрический тензор имеет вид [c.306]

Системы координат (х ) и (х ), в которых метрический тензор является форм-инвариантной функцией пространственно-временных координат при преобразованиях (11.51), можно назвать эквивалентными, поскольку все физические процессы будут протекать в них совершенно одинаково. Существование эквивалентных систем координат налагает определенные условия на гравитационное поле, так как функции g , (х ) должны, очевидно, удовлетворять функциональным уравнениям [c.312]

В отличие от которые являются функцией только метрического тензора, полный комплекс энергии — импульса Т . зависит также и от тензора энергии — импульса Т . Но, учитывая уравнения поля (11.23), мы можем представить Г так, чтобы он тоже зависел только от метрического тензора. Используя (11.153), (11.144) и (11.173), получаем [c.328]

При первоначальном знакомстве с ОТО мы вынуждены ограничиться разъяснением на простых примерах того, как поле задается через метрический тензор. Перед вопросом об уравнениях поля придется остановиться. (Об уравнениях поля см, Л а н-д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля,— М., 1948.— Гл. XI.) [c.293]

Выведем из этих уравнений условие механического равновесия в гравитационном поле. При равновесии гравитационное поле статично можно выбрать такую систему отсчёта, в которой вещество неподвижно (и = О, и = 1/)/ — "од), все величины не зависят от времени, а смешанные компоненты метрического тензора равны нулю goa. = 0). Пространственные компоненты уравнения (125,10) дают тогда [c.611]

Найдем статическое сферическо-симметрическое решение уравнений метрического поля в пустоте, когда =iO. Составляющие (Gj , G34) и (Gjg, G25, G35) можно рассматривать как два 3-вектора, которые по соображениям симметрии должны быть равны нулю. Поэтому, сохраняя общность, можно принять, что тензор G.,, имеет вид [c.50]

В этом случае геометрия поверхности обладает симметрией существует такое векторное поле что при смещении множества точек на все метрические соотношения между точками множества останутся неизменными. Векторное поле называется полем Киллинга. Найдем теперь уравнение, определяющее вектор I". Условие форминвариантности метрики имеет вид [41] [c.84]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Уравнения Эйнштейна связывают тензор энергии (массы), удовлетворяющий уравнению дх = О, с метрическим тензором искривленного пространства-времени. Отказ от объемного искривления пространства, т. е. переход к плоскому пространству-времени Минковского приводит к тому, что всеобщая история распределения вещества в соответствии с ОТО не дает осмысленных результатов. К примеру, положив в космологических уравнениях (П2.40) величины = О, = О, получим -аеТ " = и далее р = -Л/ае. При Л = О имеем для плотности массы р = 0. Понять физический смысл этого эффекта или дать физическую интерпретацию постоянной тяготения Эйнштейна при этом довольно затруднительно. Из этого рассмотрения вытекает, в частности, вывод о том, что уравнения Эйнштейна не дружат с метрикой Минковского. Напротив, релятивистские теории гравитации (РТГ), базирующиеся на гипотезе о развитии гравитационного поля в пространстве-времени Минковского (см., например, работы [202-205]) и на отказе от метрики Римана, пытаются приобщить поле тяготения к плоским физическим полям в смысле Фарадея-Максвелла. Различные вариации РТГ предстают, таким образом, как своеобразные обобщения классической теории гравитации Ньютона (постньютоновские обобщения) применительно к релятивистскому случаю, т. е. формируют уравнения и их решения в галилеевых координатах в инерциальной системе отсчета. Отсюда калибровка, спиновые и другие эффекты плоского гравитационного поля в РТГ при попытках создания теории единого всеобъемлющего полевого взаимодействия. [c.455]

Уравнения совместности деформаций. Шесть компонент тензора деформаций Eгj или метрического тензора г = бг + 2ег в окрестности любой фиксированной физической точки х среды могут как угодно независимо изменяться с течением времени, т. е. задание шести произвольных функций времени возможно, и деформация окрестности точки при этом будет аффинной. Но если бы мы задали для всех точек среды хотя бы в какой-нибудь момент времени 1 компоненты eij или gij как произвольные непрерывно дифференцируемые функции координат, т. е. произвольно задали бы поле тензора деформации, то деформации оказались бы несовместными, перемещение — неоднозначным, т. е. между соседними частями образовались бы щели или различные физические объемы заняли бы одну и ту же область пространства. Такая возможность исключена благодаря свойству закона движения д =д (х, )=х+и(х, 1), а именно непрерывной взаимно однозначной зависимости между л и х для любого 1 и существованию производных. Компоненты тензора eij (или gij) получаются путем дифференцирования вектора х(х, t), т. е. шесть скалярных функций eгj выражены через три щ. Значит, между eij должны существовать соотношения, полная система которых представляет уравнения совместности деформаций. По существу они должны быть следствием независимости порядка дифференцирования вектора X типа = так как gij=ЭiЭj, а векторы Эi выражаются через один вектор Э Х4. [c.82]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Эти уравнения определяют мировые линии свободно падающих частиц в устранимом гравиташюнном поле системы х , так как, используя эти уравнения в системе координат (Х ), с которой мы начали данное рассмотрение, получаем частные релятивистские уравнения (8.92), поскольку в этих координатах метрический тензор постоянен и равен 1] ,,. [c.198]

Любая геодезическая, проходящая через точку Р, в том числе и мировые линии свободно падающих частиц и световые лучи, в системе (Р) описывается уравнениями (9.76) с символами Кристоффеля (9.109). Следовательно, в точке Р уравнения геодезических линий iPx ldX = О совпадают по форме с (8.92) для мировых линий свободно падающих частиц в лоренцевой системе координат СТО. В малой окрестности точки Р, где можно пренебречь величинами второго порядка малости по х метрический тензор можно считать постоянным. Гравитационное поле локально отсутствует, а система 5 называется локальной инерциальной системой с локальными лоренцевыми координатами. В СТО координаты Лоренца совпадают с псевдодекартовыми координатами. Однако в ОТО следует различать локальную псевдодекартову систему S (Р), в которой (9.92) выполняется лишь в точке Р, и соответствующую локальную лоренцеву систему S (Р), где метрический тензор также локально постоянный . [c.227]

Следовательно, если уравнения поля ковариантны, мы должны принять, что величины Mik в левой части уравнений (11.5) и (11.3) связаны четырьмя тождествами. Это значит, что решения gik уравнений поля (11.5) содержат четыре произвольные функции, соответствующие четырем произвольным функциям в преобразованиях (11.7). Это вносит произвол только в наше описание пространства — времени, но не в физическую систему, порождающую гравитационное поле. В самом деле, как ясно из 9.15, всегда возможно надлежащим выбором пространственно-временных координат обратить четыре функции gii в (—бц) во всем пространстве — времени. Шесть независимых уравнений, остающихся после введения четырех тождеств относительно M k, оказываются достаточными для определения остальных шести колшонент метрического тензора gik- [c.304]

Иногда метрический изоморфизм в теореме 4.2 называют специальным представлением потока Р . Идея специальных представлений восходит к Пуанкаре, который сводил изучение поведения решений систем дифференциальных уравнений к изучению итераций отображения последования трансверсаль-ных площадок векторного поля. [c.33]

НИИ тока имеют малую геодезическую кривизну. При значениях отношения скорости поперечного течения в пограничном слое к полной местной скорости, равных / 7 0,Зч-0,4, можнс) использовать принцип независимости поперечного течения от продольного. В предположении о малости вторичного течения получаем уравнения движения, аналогичные уравнениям пограничного слоя около осесимметрического тела, из которых находится продольная скорость, и отдельного уравнения для поперечной скорости, которое дает возможность определить эту величину. Параметры трехмер- ного пограничного слоя можно рассчитать, пользуясь этой аналогией, если известен эквивалентный радиус тела который определяется не только геометрией тела, но и параметрами внешнего потока. Для расчета метрического коэффициента используют поле скоростей идеального невязкого потока или распределение давления на поверхности (см. гл. V). Воспользуемся методом последовательных приближений (см. [22]). [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...