Метрический тензор пространства

Ковариантный тензор второго ранга gaь является метрическим тензором пространства конфигураций. Заключение о возможности введения такой метрики вытекает из рассмотрения кинетической энергии точки в трехмерном пространстве. Действительно, кинетическая энергия точки с массой, равной единице, определяется так [c.159]

А — матрица, транспонированная по отношению к А, О — gij) — матрица метрического тензора. В частности, для евклидова пространства существует базис, в котором С превращается в единичную матрицу Е, и потому = Е. [c.18]

Доказательство. В линейном пространстве Д" введем метрический тензор, матрица которого в базисе 1,..., а совпадает с матрицей А кинетической энергии. Это можно сделать, так как матрица А симметричная и положительно определенная, а кинетическая энергия не зависит от выбора базиса в пространстве Д". С помощью этого тензора определим скалярное произведение двух векторов х,у Д" [c.574]

Величины или g называются компонентами метрического тензора, так как они определяют расстояние между двумя точками пространства и угол между двумя направлениями в пространстве (формулы (1.63) и (1.64)). [c.56]

Как известно, всегда можно выбрать компоненты метрического тензора так, что в фиксированной точке все символы Кристоффеля обратятся в нуль. Такая голономная система координат называется римановой, или нормальной, системой координат. В этой системе координат метрика пространства в ок- [c.156]

Так как количество коэффициентов преобразования превосходит количе- ство компонент метрического тензора, то переход к неголономной системе позволяет повысить точность определения метрики в окрестности фиксированной точки пространства конфигураций и точность найденного локального решения уравнений движения. [c.157]

Равенство (II.154) эквивалентно введению метрического тензора в пространстве конфигураций с компонентами [c.206]

При параллельном переносе вектора в евклидовом пространстве (Ди)7 = 0. Действительно, в евклидовом пространстве существует декартова система координат с единичным метрическим тензором. В этой системе все символы Кристоффеля равны нулю. Следовательно, равны нулю компоненты тензора Римана — Кристоффеля. [c.507]

Для оценки слагаемых, содержащих символы Кристоффеля, примем, что свойства реального физического пространства мало отличаются от евклидовых. Это предположение основывается на огромном количестве наблюдений и опытов, составляющих основу классической механики. Поэтому компоненты метрического тензора будем определять соотношениями [c.527]

Из дифференциальной геометрии известно, что свойства пространства—метрика и параллельный перенос тензорных величин— определяются метрическим тензором и коэффициентами параллельного переноса, или коэффициентами аффинной связности. Эти величины уже были включены в аналитическое описание упомянутой среды. Следовательно, дальнейшие обобщения требуют расширения представлений дифференциальной геометрии, а значит и тензорного исчисления. [c.538]

Тензор (grs) — так называемый метрический тензор — характеризует внутренние геометрические свойства пространства. Поясним эту мысль, воспользовавшись следующей аналогией. Рассмотрим две бесконечно близкие точки, расположенные 1) на плоскости, 2) на поверхности кругового цилиндра и 3) на [c.475]

При построении теории тяготения, названной Эйнштейном общей теорией относительности (ОТО), он всецело исходил из принципа эквивалентности гравитационного поля нужным образом ускоренных систем отсчета. А так как разным системам отсчета соответствует разная метрика пространства-времени, то Эйнштейн принял за гравитационное поле метрический тензор gpv риманова пространства-времени. Так принцип эквивалентности привел к отождествлению метрики и гравитации компоненты метрического тензора в ОТО являются в то же время потенциалами тяготения. [c.158]

Задаче динамики деформируемого тела можно поставить в соответствие задачу о равновесии фиктивного четырехмерного тела. Для этого в рассмотрение вводится четырехмерное пространство с системой координат л (а = 1,2, 3, 0), в которой первые три координаты х (I = 1, 2, 3) — пространственные они совпадают с координатами Д основной системы координат, четвертая координата — временная хР = где и" — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность скорости. Координатная линия х° — прямая, ортогональная к другим координатным линиям системы координат. Метрический тензор системы координат х имеет компоненты goo = —U ёю = остальные компоненты gtj совпадают с соответствующими компонентами метрического тензора основной системы координат х (t = 1,2,3). Введем в рассмотрение четырехмерный тензор кинетических напряжений (Т), компоненты которого имеют вид [24] [c.32]

Рассмотрим теперь некоторую косоугольную систему координат, и пусть метрический тензор определяемого им пространства будет равен Т. Элементы этого тензора будут величинами постоянными, и поэтому длина какого-либо вектора будет в этом пространстве равна [c.355]

Сравнивая теперь эти равенства с равенствами (10.20), видим, что каждый вектор flh является единичным [равенство (10.20Ь)] и что при I ф k векторы Oi и аи взаимно перпендикулярны [равенство (10.20а)]. Следовательно, условие (10.21 ) является условием ортогональности матрицы А в пространстве конфигураций с метрическим тензором Т. В декартовом пространстве таким метрическим тензором является единичный тензор 1, и поэтому условие (10.2Г) сводится здесь к обычным условиям ортогональности. [c.355]

Тензор gi, , лежащий в основе геометрии, называется метрическим тензором . Он позволяет строить геометрию пространства не только трех, но и любого числа измерений. Геометрия /г-мерного пространства определится, если ввести линейный элемент в виде [c.42]

Здесь gij — компоненты метрического тензора пространства ц5а2дз в невозмущенной области перед волной. Дифференцируя по времени, имеем [c.8]

Таким образом, матрица А диагонализирует и Т и V. Возвращаясь теперь к интерпретации Т как метрического тензора пространства конфигураций, мы можем дать следующее истолкование процессу диагонализации 1) Матрица А есть матрица линейного преобразования, осуществляющего переход от косоугольной системы координат к прямоугольной. (Это видно из того факта, что матрица преобразованного метрического тензора равна 1.) 2) Оси новой системы координат являются главными осями V, т. е. матрица V является в них диагональной. Следовательно, процесс получения основных частот малых колебаний сводится к некоторому преобразованию главных осей, подобному тому, которое рассматривалось в главе 5. [c.356]

Это же условие для многомерного пространства выражается равенством (II. 156Ь) ) Итак, приходим к выводу если определить метрический тензор в пространстве конфигураций равенствами (II. 155), то движение по инерции системы материальных точек соответствует движению изображающей точки по геодезической кривой в упомянутом пространстве. [c.207]

Примечание. Последний результат относится лишь к случаю простейшего метрического тензора в пространстве, арифметизнрованно.м координатами х а именно, к случаю единичного метрического тензора [c.390]

Равенства, находящиеся в первых двух строках, выражают антисимметричность тензора Rprst относительно каждой пары индексов р, г н S, t. Учитывая свойства (1.88), после подсчета получаем, что из 81 компонента тензора Римана — Кристоффеля остается только шесть независимых компонентов Я 2 2, Я г ъ, R2323, Ятз, Rim, Rsisz-Известно, что во все евклидово пространство можно ввести декартову систему координат. Так как в последней компоненты метрического тензора постоянны, а следовательно, символы Кристоф- [c.27]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

При рассмотрении достаточно больших участков Вселенной важную роль начинают играть гравитационные поля. В общей теории относительности гравитационные поля понимаются как изменение пространственно-временной метрики и описываются с помощью особой величины, называемой фундаментальным метрическим тензором. Метрические свойства пространства-времени образуют как бы своеобразные вненлше условия для системы, у которой изучаются статистические свойства. .. [c.146]

Начальные деформации Если начальное состояние реально осуществимо, то можно ввести перемещения от начального состояния к актуальному. Компоненты тензора деформаций в этом случае выражаются через компоненты вектора гс и удовлетворяют уравнениям совместности. Если же начальное состояние не может быть осуществлено в реальном физическом пространстве, то Егу не удовлетворяют уравнениям совместности. В этом случае иногда вводят некоторое промежуточное характерное состояние (начальное состояние без кавычек) с метрическим тензором так, что перемещения от состояния к состоянияю " можно ввести. Тогда [c.310]

Тензор /ijuv рассматривается как тензорное поле на фоне плоского пространства-времени, при этом все операции поднимания и опускания тензорных индексов производятся с помощью невозмущённого метрического тензора T)nv. [c.526]

МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ — основная геом. структура, к-рой наделяется пространственно-временное многообразие в специальной и общей теории относительности определяется заданием поля симметричного ковариантного тензора 2-го ранга с отличным от нуля определителем — метрического тензора. [c.125]

МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР — дважды ковариантный симметричный тензор gij x), заданный в области ри-жаноеа пространства с координатами х = (х , х , причём матрица gij положительно определена [c.125]

В искривлённом пространстве-времени общей теории относительности (в конечных, не малых, областях) уже нельзя ввести декартовы координаты и использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных областях искривлённого пространства-времени ds записывается в криволинейных координатах в общем виде (7). Зная gjiv как ф-ции 4 координат, можно определить все t oM. свойства пространства-времени. Говорят, что величины определяют метрику пространства-времени, а совокупность всех наз. метрическим тензором. С помощью вычисляются темп течения времени в разных точках системы отсчёта и расстояния между точками в трёхмерном пространстве. Так, ф-ла для вычисления бесконечно малого интервала времени di по часам, покоящимся в системе отсчёта, имеет вид [c.190]

Структура этого выражения показывает, что величины Rrsq представляют компоненты тензора четвертого ранга, трижды ковариантные по индексам srq и контравариантные по индексу t. Это — тензор кривизны Римана — Кристоффеля его компоненты вычисляются через компоненты метрического тензора. Если последние заданы так, что тензор Римана — Кристоффеля оказывается нулевым, то уравнения (V. 6.6) интегрируемы, а пространство с линейным элементом (V. 6.2)—евклидово Ez. [c.888]

Смотреть страницы где упоминается термин Метрический тензор пространства : [c.64] [c.616] [c.7] [c.305] [c.280] [c.15] [c.26] [c.159] [c.174] [c.537] [c.141] [c.302] [c.42] [c.234] [c.62] [c.125] [c.397] [c.397] [c.19] [c.67] [c.223] [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...