Нахождение решения уравнения классическими методами

Методы решения математических задач по нахождению оптимальных значений управляющих переменных величин называют математическим программированием. Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. В частных случаях пользуются специальными методами. Если ограничения отсутствуют, а операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, пользуются классическими методами нахождения экстремума с помощью дифференциального и вариационного исчислений. При наличии ограничений применяют принцип максимума Понтрягина, развивающий и обобщающий задачи вариационного исчисления. [c.458]

Таким образом, теорема Якоби доказана. Интегрирование уравнений движения сведено, следовательно, к нахождению полного интеграла уравнения (4). Наоборот, если бы мы пожелали классическими методами проинтегрировать уравнение Якоби, то нам пришлось бы сначала проинтегрировать канонические уравнения. Можно, сказать, что две задачи анализа интегрирование канонических уравнений и нахождение полного интеграла уравнения (4) — эквивалентны в том смысле, что решение одной задачи влечет за собой и решение другой. [c.476]

В предлагаемом методе при добавлении нового пролета (аналогично тому, как в расчете крутильных колебаний по методу цепных дробей при присоединении дополнительной массы к кру-тильно колеблющейся системе) сложность расчетов не возрастает в геометрической прогрессии, как при применении прямого классического метода, ведущего к решению определителей высокого порядка. При выполнении расчетов по изложенному методу при добавлении каждого нового пролета вычисления увеличиваются всего лишь на две простые операции (нахождение жесткости на поворот на одной опоре и определение по соответствующему частотному уравнению жесткости на поворот на другом конце участка). Изложенный метод последовательных приближений обладает быстрой сходимостью. Чтобы воспользоваться указанным процессом, необходимо рассчитывать систему в такой последовательности, чтобы последний пролет имел возможно простое частотное уравнение, т. е. желательно, чтобы в последнем пролете не было нагрузки. Поэтому ротор, представленный на фиг. 61, начали считать с консольного участка, загруженного диском. [c.147]

Если уравнение теплопроводности (1.20) имеет решение, удовлетворяющее граничному условию (1.21) и начальному (1.24), то это решение (общий интеграл) единственное. Для его нахождения используем классический метод, указанный Фурье, согласно которому сперва ищется частное решение уравнения (1.20) в виде произведения двух функций [c.22]

В первом из них случайные функции достаточно гладкие и большинство вопросов, связанных с исследованием свойств решения, можно решить классическими методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, за исключением вопросов, связанных с нахождением вероятностных характеристик решения (нахождение конечномерных распределений решения, математического ожидания, дисперсии и т. д ) [c.129]

Решение в рядах по функциям нагружения. Упомянутые выше и не рассматриваемые в классической тео,рир балок методы определения перемещений и напряжений являются довольно трудными.Другой тип решения, который особенно удобен для нахождения наиболее существенных поправок к классической теории, состоит в представлении прогибов и напряжений для прямоугольного поперечного сечения балок с непрерывными нагрузками в виде рядов по функциям, описывающим распределение нагрузки по верхней и нижней поверхностям балки ). В Подобных рядах первые -члены дают величины, соответствующие классической теории балок, следующие члены представляют собой наиболее существенные поправки к ним и содержат производные высших порядков от функции нагружения (т. е. детали, уточняющие характер изменения нагрузки), следующие далее члены содержат производные еще более высоких порядков и т. д. Вычисление всех членов ряда позволяет в пределе получить точное решение уравнений теории упругости для плоского напряженного состояния. Это, по существу, является применением общего метода последовательных прибли ний. [c.163]

Интефальные преобразования. Классические методы решения краевых задач, изложенные выше, обладают рядом недостатков они требуют определенной изобретательности, дают решения, мало пригодные для числовых расчетов, и т. п. Методы интегральных преобразований обладают рядом преимуществ перед классическими методами они стандартны, позволяют получать решения в уДобном для расчета виде (например, для малых и больших значений независимой переменной) использование таблиц изображения функций ускоряет и упрощает процесс нахождения решения и т. д. Наряду с очевидными достоинствами интегральные преобразования имеют общий существенный недостаток они применимы лишь к линейным уравнениям. [c.114]

Вслед за работой Фредгольма применению его метода для исследования статических задач было посвящено много известных работ, некоторые из которых справедливо считаются выдающимися. Несмотря на это, даже теорию статических задач, за исключением некоторых ее разделов, все еще нельзя признать разработанной с достаточной полнотой ни с точки зрения общей теории, ни с точки зрения нахождения решений отдельных задач. Одной из причин такого положения, по нашему мнению, является недостаточность теории интегральных уравнений Фредгольма в ее классическом виде для исследования второй основной граничной задачи (на границе заданы напряжения) и третьей и четвертой основных граничных задач (на границе заданы значения некоторых комбинаций смещений и напряжений). [c.9]

При описании взаимодействия спина частицы с произвольным внешним магнитным полем метод нахождения точных решений уравнения Дирака с разделением по спиновым состояниям оказывается сложным в силу того, что в большинстве случаев точных решений таких задач не существует. Более удобным при этом явился другой подход, в котором движение спина описывается классическими (неквантовыми) уравнениями. [c.76]

В классической динамике рассматривается поведение довольно простых систем, находящихся во вполне определенных состояниях. Движение таких систем может быть детально прослежено с помощью решения соответствующих уравнений движения. Однако динамические системы, изучаемые в статистической механике, являются значительно более сложными, чтобы их можно было исследовать таким методом, поскольку они обычно представляют собой макроскопические системы с числом степеней свободы от 10 до 10 или еще больше. Вместо того чтобы определять точное значение каждой из степеней свободы, разумнее довольствоваться несколькими приближенно известными параметрами, такими, как масса, энергия и давление. Ввиду того что мы отказываемся от точного динамического описания состояния таких систем, мы приходим к необходимости введения понятия вероятности нахождения системы в области определенных состояний. Это можно сделать различными способами, но все они приводят к одним и тем же конечным результатам. [c.197]

Стремление сделать книгу как можно более физической диктовало также и выбор предпочтительных методов исследования. Уравнения турбулентного движения всегда оказываются незамкнутыми (содержащими больше неизвестных, чем уравнений), и поэтому задачи теории турбулентности обычно не могут быть непосредственно сведены к нахождению единственного решения некоторого дифференциального уравнения (или уравнений), определяемого известными начальными и граничными значениями. В этих условиях неизбежно приходится привлекать помимо уравнений движения какие-то дополнительные соображения. Нам представляется, что среди таких дополнительных соображений наиболее отчетливый физический смысл имеют соображения подобия (опирающиеся на инвариант ность условий задачи относительно некоторых групп преобразований) и соображения размерности (основанные на выделении физических параметров, влияющих на исследуемое турбулентное течение). Поэтому мы старались наиболее подробно осветить именно выводы из соображений размерности и подобия, которые могут применяться в теории турбулентности значительно шире, чем это обычно предполагается. Соответственно полуэмпирическим теориям турбулентности, использующим более специальные гипотезы, в книге уделено сравнительно немного места особенно кратко здесь изложены классические применения полуэмпирических теорий к течениям в трубах, каналах и пограничных слоях, подробно изложенные в известных монографиях С. Гольдштейна (1938), Л. Г. Лойцянского (1941) и Г. Шлихтинга (1951) (вместе с полуэмпирическими теориями свободной турбулентности , вовсе опущенными в нашей книге). Однако мы включили все же некоторые сравнительно новые и м цее известные применения полуэмпирических теорий и рассмотрен ряд применений полуэмпирической теории турбулентной [c.29]

Теоретические методы изучения взаимодействия электромагнитного излучения с атомами основаны на тех или иных приближениях для решения уравнения Шредингера для системы атом + поле излучения . Так как поле электромагнитного излучения включается и выключается, то нестационарное уравнение Шредингера с начальным условием, соответствующим отсутствию электромагнитного поля, представляет собой задачу Когии (т.е., задачу нахождения решения уравнения, удовлетворяющего определенным начальным условиям). Ее решение раскладывается по невозмущенным собственным волновым функциям системы после выключения поля, и определяются вероятности различных переходов. При этом поле электромагнитного излучения предполагается классическим, что соответствует реальной постановке экспериментов по взаимодействию лазерного излучения с атомарными системами. [c.27]

В тех случаях, когда специалист может дать полную оценку принимаемых решений, например, в баллах, и указать, что одно решение имеет балл, например, 4, а второе - 5. Это, конечно, наилучший вариант оценивания решений. Если при этом еще известны точки экстремума некоторой функции, которые являются оптимальным решением данной задачи, и они могут быть найдены традиционными методами, например, решением системы дифференциальных уравнений, то нахождение оптимального решения сводится к хорошо разработанным традиционным методам, которые здесь рассматривать просто нет смысла. Однако, как уже отмечалось, очень часто, может быть, даже в большинстве случаев, свести задачу оценки нахождения оптимального решения к классическим методам не удается. Поэтому в последнее время усиленное внимание теоретиков и прикладников уделялось разра- [c.142]

Классический метод решения задач теплопроводности заключается в нахождении решения в виде ряда частных решений дифференциального уравнения и некоторых граничных условий, причем коэффициенты ряда определяются из теории рядов Фурье или аналогичных им рядов. Этот метод вполне пригоден для задач с ограниченными областями. Однако при рассмотрении неограниченных областей соответствующий метод с использованием интегралов Фурье следует считать чисто формальным вследствие трудностей, связанных со сходимостью. (Весьма важные функции, например единица, не имеют преобразования Фурье.) Тем не менее эта формальная теория действительно дает правильные результаты, которые могут быть проверены а posteriori ее можно сделать строгой путем обобщения [1] теории преобразования Фурье на комплексную плоскость. Кроме того, все чаще используется не интеграл Фурье, а эквивалентный метод преобразования Фурье <см. 3 гл. И). [c.445]

Многогранное развитие современной теории дифракции прежде всего связано с освоением новых диапазонов электромагнитных колебаний н решением ряда прикладных задач науки и техники. С математической точки зрения целью теории дифракции является, во-первых, разработка аналитических и вычислительных методов нахождения решения краевых задач для волновых уравнений, во-вторых, изучение и классификация свойств решений этих задач, отражающих поведение волн в различных условиях. Выбор конкретных задач теории дифракции и появление новых направлений обусловливаются внутренней логикой развития теории и потребностями разделов физики и техники, связанных с волновыми движениями. Трудно перечислить все те многообразные области человеческого знания, в которых основу явлений и процессов составляют периодические структуры и волноведущие системы. Задачи рассеяния волн на периодических структурах в свободном пространстве н неоднородностях в прямоугольных волноводах относятся к числу классических задач теории дифракции. Они являются весьма сложными с математической точки зрения и ввиду большого практического значения для радиофизики сверхвысоких частот, антенной техники, оптики на протяжении многих лет находятся в центре внимания исследователей. В данной работе изучаются и классифицируются явления дифракции волн иа целом ряде периодических структур (т. 1) и волноводных неоднородностей (т. 2), широко применяемых в физике и технике наших дней. [c.3]

С математической точки зрения квантовомеханическое рассмотрение задач дифракции не слишком сильно отличается от классического, так как операторы пол11 должны удовлетворять тем же самым линейным дифференциальным уравнениям и граничным условиям, что и классические поля. Задача построения таких операторов сводится к нахождению подходящей системы собственных функций, по которым можно их разложить (т. е. системы функций, удовлетворяющей волновому уравнению вместе с соответствующими граничными условиями на любой данной поверхности). Для нахождения собственной функции мы, естественно, прибегаем к известным методам классической теории решения граничных задач, т. е. эта задача вообще не является квантоводинамической. С другой стороны, тот факт, что такое решение представляет собой хорошо исследованную классическую задачу, не означает, как известно, что она обязательно будет простой. [c.44]

Мауэ решил оба уравнения аналитически для круговых цилиндров при произвольных kR. Это решение, полученное с помощью рядов Фурье, снова приводит к классическому решению методом разделения переменных (разд. 15.33) и поэтому не дает преимущества для численных расчетов. Франц и Депперман рассматривали оба уравнения в предельном случае больших / . Числовые результаты ограничиваются бегущей волной, т. е. асимптотическим видом v P) в теневой части поверхности далеко от края (разд. 17.32), а также нахождением путем итерации значеиия в краевой точке. Совпадение с результатами Фока для случая II превосходно, а именно о( ) = 1,399 Опад.( )- На основании вариационного принципа Кодис (1956) получил для [c.417]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...