Критерии асимптотической устойчивости

Критерии асимптотической устойчивости линейных [c.6]

КРИТЕРИИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 225 [c.225]

КРИТЕРИИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ [c.227]

Гельмгольца теорема 126 Геометрический критерий асимптотической устойчивости 228 Главные колебания 239 [c.298]

Наконец, произведем простое обобщение следствия 2, приводящее к критерию асимптотической устойчивости. Этот критерий требует наложения дополнительного ограничения на определенно-положительную функцию ( О- Любая определенно-положительная функция / ( /) обладает тем свойством, что, как бы мало ни было е > О, существует такое положительное и = к (е), что если г С и, то / у) С е. Правда, в общем случае это утверждение неверно ), однако мы будем рассматривать только такие функции g у <), которые обладают указанным свойством для всех t-, т. е. функции, для которых неравенство г < к влечет за собой g (у t) < е для всех t. Если определенно-положительная функция обладает этим свойством, то говорят, что она имеет бесконечно малую верхнюю грань. [c.475]

Аналогично по критерию асимптотической устойчивости почти наверное [94] [c.253]

Анализ расположения корней характеристического уравнения (7.2.5) на комплексной плоскости составляет чисто алгебраическую задачу. Для развертывания характеристического определителя существует ряд оригинальных методов. К их числу следует отнести метод Крылова, метод Данилевского, метод Фаддеева и др. [52, 54]. С использованием этих методов средства вычислительной техники позволяют непосредственно находить коэффициенты характеристических полиномов сколь угодно высокой степени с наперед заданной точностью. Остаются весьма полезными критерии, которые могли бы давать ответ о размещении корней на комплексной плоскости, не прибегая к решению полной задачи о собственных значениях. К таким критериям относят критерий асимптотической устойчивости Рауса-Гурвица и родственные алгебраические критерии. [c.464]

Для этой системы существует положительно определенная на всей плоскости функция Ляпунова у х, у) = х / 1х )у , полная производная которой V = —4[ж /(1 + отрицательно определена во всей плоскости. Принципиальное значение этого примера состоит в том, что он показывает, что выполнение критерия асимптотической устойчивости Ляпунова во всем пространстве может не обеспечивать асимптотической устойчивости нулевого решения системы в целом, т. е. при любых начальных отклонениях. В связи с этим показать, что траектории системы не будут выходить из области, определенной неравенствами [c.285]

Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчивости равновесия консервативной системы. Критерии устойчивости, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело в том, что у характеристического уравнения линейного приближения для консервативной системы все корни чисто мнимые ) и асимптотическая устойчивость не может иметь места. Выделить устойчивые положения равновесия в консервативной системе позволяет [c.225]

Выполнен критерий (2.10), и, следовательно, производная V — определенно-отрицательная функция относительно и х (тем самым и относительно и х ). На основании последней теоремы Ляпунова невозмущенное движение (xj = О, = 0) асимптотически устойчиво. [c.41]

Доказательство. При отсутствии диссипативных сил ij = О и, следовательно, не выполнен критерий Гурвица, необходимый для асимптотической устойчивости линейной автономной системы. [c.201]

Ответ на него и дает критерий Найквиста. Оказывается, об асимптотической устойчивости замкнутой системы [c.291]

Отметим важный частный случай, когда асимптотическая устойчивость положения равновесия предопределена и нет необходимости прибегать к критериям устойчивости, изложенным в 39. [c.262]

Предыдущие результаты в сочетании с методом инерциальной кривой позволили решить задачу об исследовании и распределении инерционных сил в машинных агрегатах между перманентным и начальным движениями в смысле Н. Е. Жуковского [7]. Доказано, что предельным законом этого распределения служит характеристический критерий первого рода [8 ] асимптотически устойчивого предельного режима движения машинного агрегата. Исследованы законы распределения инерционных сил в наиболее важных для практики режимах движения и предложены достаточно эффективные методы их нахождения с любой степенью точности. Полученные результаты позволяют усовершенствовать динамические расчеты машинных агрегатов путем учета не только инерционных сил перманентного движения, но и сил, вызванных неравномерностью их движения в любом положении главного вала. [c.9]

Возникает вопрос о том, может ли существовать такой режим Т=Т (tp), отличный от асимптотически устойчивого предельного режима Г=7 о( )> характеристический критерий которого t ( )) тождественно совпадает с у [ (ф) [c.116]

Среди всевозможных характеристических критериев, соответствующих различным возможным энергетическим режимам движения, особая роль принадлежит характеристическому критерию [ о( р)1 асимптотически устойчивого предельного режима Т=Тд < ) движения машинного агрегата. [c.117]

Доказательство. Пусть Т=Т (ср) — любой из воз-можных энергетических режимов, Т=Т ( ) —асимптотически устойчивый предельный режим в смысле определения 1.2 3, гл. I и X (т) и Z [ 0 (т) — им соответствующие характеристические критерии. [c.118]

Таким образом, какой бы из возможных энергетических режимов Г=7 (ср) движения машинного агрегата ни взять, соответствующий ему характеристический критерий х (т) достаточно больших значениях угла поворота ф звена приведения окажется как угодно близким к характеристическому критерию у [Го(ф)1 асимптотически устойчивого предельного режима. [c.119]

Как уже было замечено, для отыскания характеристического критерия X [ 0 (ф) и учета влияния инерционных сил начального движения в общем случае требуется знание асимптотически устойчивого предельного режима Т=Т(, (tf) движения машинного агрегата. Но эта, последняя, задача разрешима в квадратурах лишь в редких случаях и поэтому критерий [ о ( )]> вообще говоря, не вычисляется в конечном виде. [c.120]

Описанная выше процедура усреднения на текущем периоде колебаний по сути дела привела к тому, что относительно новых переменных Л о, Л/, В,- система стала автономной (т. е. не зависящей в явном виде от времени). Этой системе соответствуют уравнения в вариациях с постоянными коэффициентами (2.44). Тогда, применяя к системе (6.101) критерий Гурвица (см. п. 6), получаем условия, при которых исследуемое периодическое решение оказывается асимптотически устойчивым [c.289]

Для широкого класса операторов с помощью (7.1.1) и (7.1.2) можно показать, что при внешних нагрузках, исчезающих с течением времени, невозмущенное движение асимптотически устойчиво, т.е. возмущения при t со стремятся к нулю. Это, однако, не означает, что возмущения остаются произвольно малыми в любой момент времени. При некоторых условиях амплитуды возмущений на этапе переходного процесса могут стать достаточно большими. Таким образом, на практике критерий устойчивости должен заключаться в назначении верхней границы для тех или иных параметров напряженно-деформированного состояния. Этот подход идентичен концепции устойчивости на конечном интервале времени. [c.511]

При конструировании механических систем часто возникает проблема выбора таких параметров у, при которых тривиальное решение х = О будет устойчивым. В частности, если система (30) автономна, то условия асимптотической устойчивости могут быть найдены по критерию Рауса-Гурвица [c.427]

Грузы массы тх и Ш2 (см. рисунок), связанные между собой и с неподвижными опорами пружинами, как показано на рисунке, могут перемещаться по вертикали, причем па один из грузов действует сила вязкого трения — Рг (Р > 0). Используя критерий Рауса-Гурвица, показать, что положение равновесия этой системы будет асимптотически устойчивым при любых и. [c.179]

Эти критерии означают, что если неустановившееся движение Xg = = О асимптотически устойчиво в линейном приближении и если при этом возмущенные двин ения Xg (t, о) линейного приближения удовлетворяют оценке (9.6), характерной для асимптотической устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами, то имеет место асимптотическая устойчивость в силу полной. системы уравнений (9.3) при условиях (9.5), где т — i. Н. Н. Красовский (1959) обобщил этот критерий на задачи устойчивости по первому приближению и в тех случаях, когда правые части уравнений первого приближения (9.4) представляют собой однородные формы от Xg произвольного порядка щ > 1 с переменными по t непрерывными и ограниченными коэффициентами. Именно, справедлива следующая теорема. Пусть решение а == О системы уравнений (9.4) удовлетворяет неравенству [c.48]

И. 3. Штокало (1946) дал критерий асимптотической устойчивости нулевого решения (при достаточно малом е) линейной системы [c.47]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Из критерия Рауса Гурвица и теоремы 2.1 следует, что невоз-мущеннос движение асимптотически устойчиво независимо от членов высших порядков в уравнениях возмущенного движения, если при До б нее опредетгители Гурвица положительны. [c.100]

На плоскости и, v построим вектор R, выходящий из точки (— Ик, 0) и оканчивающийся в точке (и (со), v (со)), лежащей на годографе частотной характеристики. При изменении со угол <р междцг этим вектором и осью абс1 исс будет меняться. Критерий Найквиста утверждает, что для асимптотической устойчивости замкнутой сист.емы (9.10) необходимо и достаточно, чтобы приращение Аф угла ф при изменении <л от О до -Ьоо равнялось нулю. На 9.3, а, очевидно, Дф = О, а на рис. 9.3, б А(р = 2л. [c.291]

Для частотной характеристики, изображенной на рис. 9.2, Аф = О, если точка (—1/Л, 0) лежит вне диаметра полуокружности, и Аф = л, если эта точка леишт на интервале (О, 1/3). Таким оПрамом, для асимптотической устойчивости уравнения (D.11) необходимо и достаточно, чтобы —Ик < О либо —Мк 1/3, Отсюда получаем неравенство к —3, установленное ранее из элементарных соображений. Доказательство сформулированного критерия Найквиста можно найти в книге Е. П. Попова [44]. [c.292]

По причинам, которые будут выяснены в дальнейшем, особо важное значение имеет задача исследования поведения или отыскания характеристического критерия х (т)] асимптотически устойчивого предельного режима Т Т (tf) движения машинного ягрегата. [c.113]

Матрицу фундаментальных решений Х( системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.2.21), удовлетворяющую начальному условию Х(0)=Е, строят путем численного интегрирования методом Рунге - Кутта. Конечный результат - матрица монодромии К=Х(7). Принадлежность рассматриваемой точки из пространства параметров к области устойчивости или асимптотической устойчивости устанавливают либо путем непосредственного вычисления мультипликаторов, либо на основании анализа норм матрихщг монодромии К и ее возрастающих положительных степеней (критерии (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6)). [c.492]

Критерий устойчивости (асимптотической устойчивости) по части перемеииых. Представим систему (2.2.2) в векторном виде [c.101]

Критерий устойчивости (асимптотической устойчивости) по части переменных. Пусть ЛСПРАК имеет вид [c.105]

Критерий И. Г. Малкина (1934). Если для уравнений первого приближения существует допускающая бесконечно малый высший предел знакоопределенная функция V x, t), производная от которой есть знакоопределенная функция противоположного знака, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любом выборе функций i 5, удовлетворяющих условиям (9.5) при m = 1, если только постоянная А достаточно мала. [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...