Распределения математической статистики

Кроме закона нормального распределения математическая статистика использует и ряд других законов распределения случайных величин. Обзор различных законов распределения случайных погрешностей см. [13]. [c.20]

Кроме закона нормального распределения, математическая статистика использует и некоторые другие законы-I распределения случай- [c.59]

Распределения математической статистики [c.21]

Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивание (с точностью до долей процента) укладывается на участке т За. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием правило трех сигм (рис. 29). [c.108]

МЕШАЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ в математической статистике и в теории распознавания образов - параметры распределения вероятностей, такие, что гипотеза, подвергаемая статистической [c.38]

Такая трактовка позволяет указать оригинальный способ вычисления интеграла (6.17). Вспомним, что в математической статистике математическое ожидание случайной величины оценивается по среднеарифметическому значению из совокупности результатов ее наблюдений, которые берутся из эксперимента. В методе Монте-Карло применяется такая же оценка, но результаты наблюдений берут не из эксперимента, а получают путем статистического моделирования на ЭВМ. Для этого реализуется специальная процедура генерирования последовательности значений независимых реализаций Xj,. .., xn случайной величины X с функцией плотности распределения р (х). Имея набор Xj,. .., хц, рассчитывают значения X,,. .., Я.Д, реализаций случайной величины Л Я,/ = f Xi) p Xi) и далее находят оценку математического ожидания Л по формуле [c.187]

Планирование объема испытаний, При планировании испытаний на надежность одним из основных вопросов является установление необходимого и достаточного объема испытаний. Для получения достоверных и достаточно точных результатов необходим, как показывают расчеты с применением методов математической статистики, достаточно большой объем и длительное время испытаний. Так, если известно, что отказы подчиняются нормальному и экспоненциальному законам распределения, то надо оценить необходимое число наблюдений (испытаний) для определения ма- -тематического ожидания Л1н (О и среднеквадратического отклонения а для нормального закона и математического ожидания [c.496]

О статистических методах обработки результатов испытаний. Результаты испытания на надежность при достаточном числе данных обрабатываются методами математической статистики. Характеристики надежности изделия получают по полной выборке — если известна наработка (срок службы) до отказа для всех испытываемых изделий (все реализации являются полными), или п6 сокращенной выборке (когда имеются полные и условные реализации). При этом в зависимости от поставленной задачи (например, надо или нет оценивать надежность изделия при значениях ресурса, больших, чем установленное ТУ), от объема и качества статистических данных, полученных при испытании, могут применяться различные варианты статистической обработки результатов. Если нет необходимости (или возможности) в определении вида закона распределения сроков службы (наработки) до отказа, то оценивается вероятность безотказной работы изделия для фиксированного значения t = Т, т. е. точечная оценка (см. выше). Если из построения модели отказа известен вид функции распределения / (/), то по результатам испытания определяются параметры этой функции. При неизвестном законе распределения на основании опытных данных строят гистограмму или полигон распределения и высказывается гипотеза о применимости того или иного закона распределения. Для подбора теоретического распределения, достаточно близко подходящего к полученному эмпирическому, часто применяют метод наименьших квадратов и метод максимума правдоподобия [183]. В инженерной практике также широко применяются графические методы выявления закона распределения с применением вероятностной бумаги , на которой нанесена специальная сетка для наиболее распространенных законов распределения [186]. [c.500]

Математическая статистика дает методы проверки статистических гипотез, способы оценки параметров различных законов распределения и определения доверительных интервалов, а также решает другие вопросы, связанные с основной задачей статистики — как по частным результатам эксперимента сделать выводы об-общих закономерностях, характеризующих генеральную сово- [c.500]

Любой анализ по выявлению указанных зависимостей должен проводиться на основе методов математической статистики. Опыт показывает, что большая часть полученной в эксплуатационных хозяйствах информации подчиняется закону нормального распределения, т. е. плотность распределения признака может быть определена по формуле Ляпунова [6] [c.14]

Приемы математической статистики следует использовать при установлении законов распределений и при расчете корреляционных зависимостей [6]. [c.15]

Для практических целей, видимо, естественно принять для большинства строительных и механических элементов и конструкций нормальное распределение наработки. Параметры этого распределения могут быть легко найдены по широко известным в математической статистике формулам [c.363]

Для выявления общих закономерностей пользуются методами выравнивания эмпирических распределений, подбирая к ним теоретические распределения. Этим обеспечивается возможность типизации спектров и их экстраполяции в область малых вероятностей и на весь ресурс работы детали. Схема подбора аналитических зависимостей, описывающих эмпирические распределения, и проверка их соответствия достаточно полно рассмотрены в работах по теории вероятностей и математической статистике [21, 15, 34], а также в работах по анализу эксплуатационных нагрузок [II, 14, 24, 25]. [c.22]

На первых шагах применения математической статистики в технологии, когда всевозможные причины, отклоняющие признак качества от заданного уровня, валили в одну кучу , принимающую иногда форму нормального распределения [28], сохранился миф, будто допуск выполним, если он равен шестикратному мгновенному среднему квадратическому отклонению [c.225]

Метод разработан А. Б. Яхиным [18]. В математической статистике доказывается, что если распределение размеров партии деталей подчиняется нормальному закону со средним квадратическим отклонением ог, то при разбивке партии на группы по п деталей распределение групповых средних подчиняется тому же [c.118]

Метод математической статистики может быть широко использован при разработке размерных рядов и параметрических стандартов на машины и оборудование. Статистическая обработка исходных данных дает возможность найти функции распределения параметров, установить их взаимосвязь и обоснованно принять некоторые интервалы изменения размеров, параметров или других характеристик в зависимости от общего объема исследуемой продукции. Для ускорения такой аналитической работы и упрощения вычислений используются так называемые гистограммы и кумулятивные кривые. Применяемость в практических условиях большинства стандартизованных параметров подчиняется нормальному закону распределения или приближается к нему. Это дает возможность пользования специальной (вероятностной) бумагой, имеющей прямоугольную координатную сетку, на которой нормальный закон распределения выра- [c.67]

Для расчета по уравнениям (14) — (16) необходимо знать распределение выборочной характеристики . В математической статистике установлено, что величина х имеет распределение хи-квадрат с математическим ожиданием [c.194]

В математической теории надежности рассматриваются методы расчета и анализа, связанные с оценкой степени надежности изделий, с контролем их качества, обработкой опытных данных по надежности, выбором оптимальных решений, резервированием, оценкой происходящих процессов потери качества, анализом законов распределения показателей надежности и долговечности. В этом разделе изучаются теория вероятностей и математическая статистика, основы теории массового обслуживания, элементы теории информации, математической логики, методы оптимизации и другие применительно к задачам надежности, а также математические методы расчета надежности (имеется в виду расчет сложных систем и резервирование, контроль качества и т. д.). [c.282]

Математическая статистика широко пользуется понятием распределение . Как будет показано дальше, знание законов распределения в ряде случаев уже содержит в себе решение поставленной задачи. Для того чтобы хорошо представить себе сущность этого понятия, разберем несколько примеров. [c.50]

Математическая статистика широко использует первую производную функции распределения [c.52]

При рассмотрении общих законов распределения мы привели три принципиально различные по форме кривые. Математике известно очень большое количество распределений, и привести их все вряд ли возможно. Ниже мы подробно рассмотрим только одно наиболее универсальное и хорошо изученное, так называемое нормальное распределение. Даже в тех случаях, когда закон распределения отличается от нормального, оно с той или иной степенью приблин<ения может быть приравнена к нему. Математическая статистика располагает аппаратом, позволяющим достаточно строго определить принадлежность исследуемого параметра к тому или иному виду распределений. Однако в рамках настоящей работы мы ограничимся чисто логическими критериями. [c.61]

В последние годы все более широко начали применяться количественные методы прогнозирования ремонтопригодности машин. Предпосылкой этого процесса явилось распространение методов теории вероятностей и математической статистики на решение задач качества и надежности при проектировании, производстве и эксплуатации машин. Характеристики качества и надежности машин, в том числе и характеристики ремонтопригодности, рассматриваются как случайные величины, описываемые определенными законами распределения. Такой подход позволил прежде всего разрешить с необходимой математической строгостью вопросы оценки характеристик ремонтопригодности на стадиях испытаний или по данным эксплуатации машин. Таким образом была конкретизирована задача прогнозирования — появились количественные величины, значения которых необходимо предсказывать. [c.142]

Гамма-распределение является также обобщением так называемого -распределения хи-квадрат распределения )), весьма часто используемого в математической статистике (см. п. 4.4). [c.117]

В математической статистике при изучении распределений эмпирических характеристик, являющихся случайными величинами, а также при решении других статистических задач используются различные распределения. К ним относятся, например, распределения Стьюдента (-распределение), -распределение, распределение Фишера (г-распределение), бета-распределение ф-рас-пределение), распределение размахов и т. п. [c.118]

Большое практическое значение в задачах математической статистики имеет так называемое % -распределение, относящееся к сумме квадратов независимых слагаемых распределенных по закону Гаусса с одинаковыми значениями параметров = О, О = (Го ...... L. [c.135]

В математической статистике широко используется/распределение Фишера для величины г, связанной с величиной U следующим соотношением [c.141]

В настоящее время имеется достаточно сведений, полученных нами и другими исследователями, которые позволяют рекомендовать следующие законы распределения для приложения математической статистики к технологии машиностроения . [c.332]

Математическая статистика предлагает большой арсенал методов расчета параметров оценок вероятностей, характеристик распределений, коэффициентов зависимостей со сколь угодно высокой степенью точности. Для этого вычислительные центры машиностроительных предприятий и объединений имеют пакеты прикладных программ статистической обработки данных. Однако для целей управления производством важнее не сложность [c.105]

Исходя из результатов проведенных исследований можно сделать заключение, что изменение высот неровностей литой поверхности происходит по кривой нормального распределения и подчиняется закону больших чисел. Использование методов математической статистики позволяет обрабатывать данные экспериментальных замеров высоты микронеровности литой поверхности. [c.133]

Если XJ не подчиняются нормальному закону распределения и если дисперсии примерно однородны, то, согласно теореме о пределах из математической статистики, по мере увеличения количества составляющих звеньев к распределение у быстро приближается к нормальному. Если необходимо учесть неравное распределение допусков при комбинации приведенных ниже условий распределение х не является нормальным величина к имеет небольшие значения [c.211]

Это отклонение играет важную роль в теории вероятности и математической статистике. Физический смысл нормированного отклонения таков. Величина и является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с нулевым средним значением и = О п квадратичным отклонением 0 =1. [c.219]

Если величина Xj не подчиняется нормальному закону распределения и если дисперсии а] примерно однородны, то, согласно теореме о пределах из математической статистики, по мере увеличения количества составляющих звеньев к распределение у быстро приближается к нормальному. Если необходимо учесть неравное распределение допусков при комбинации приведенных ниже условий распределение х не является нормальным величина к имеет наибольшие значения дисперсии распределения х не являются однородными, то должно быть применено свойство теоремы комбинации независимых случайных переменных. В соответствии с выводами свойства теоремы для определения допуска замыкающего размера при произвольном законе распределения вводят коэффициент относительного рассеяния к. Коэффициент к характеризует отличие распределения допусков звеньев размерной цепи от распределения по закону Гаусса. Каждый закон распределения имеет свое значение к, например для закона нормального распределения к = I, для закона равной вероятности к = 1,73, для закона треугольника (Симпсона) к = 1,22. [c.83]

В генеральной совокупности случайных величин статистические показатели последних не зависят от числа определений этих величин. При нормальном распределении случайных величин они хорошо поддаются анализу с помощью основных положений теории вероятности и математической статистики. При этом вероятностный характер погрешностей результатов измерений предопределяет использование при их оценке двух показателей доверительной погрешности 2Ах (где Дх — полуширина доверительной погрешности) и доверительной вероятности Р, т. е. вероятности того, что будет отличаться от на величину не большую, чем Ах. При обработке данных лабораторных экспериментов обычно принимают / =0,95 или 95%. [c.33]

Подход к вопросам тарировки с позиций математической статистики позволил избежать произвольных оценок и формализировать получаемые результаты. Слабым местом сделанной оценки является априорное принятие гипотезы о типе распределения. Строгое решение потребовало бы произвести проверку характера распределения. Математическая статистика отвечает и на этот вопрос, однако решение его выходит за рамки настоящей книги. [c.78]

Пользуясь методами математической статистики, можно установить закономерность как случайных, так и систематических погрешностей, возникающих при обработке. Для наглядного представления производят измерение фактических размеров деталей всей партии. По полученным данным строят кривую распределения. При небольшом числе деталек в партии пг)сгр0сиис кривой ведут непосредственно по полученным размерам деталей. Для крупных партий разность между наибольшим и паимепьип1м фактическими размерами измеренных деталей разбивают на равные интервалы и определяют число деталей, размеры которых находятся в пределах данного интервала. [c.61]

Влияние случайных погрешностей на точность изделий можно оценить методами теории вероятностей и математической статистики. Многочисленными опытами доказано, что распределение случайных гюгрешпостей чаще всего приближается к закону нормального распределения, который характеризуется кривой Гаусса (рис. 3.2, а). Максимальная ордината кривой соответствует среднему значению данного размера х ((при неограниченном числе измерений называется математическим ожиданием и обозначается Л4 (х)1. По оси абсцисс откладывают случайные погрешности или отклонения от х Длгг = — х. [c.32]

Для проверки соответствия экспериментальных данных выска-аанной гипотезе о теоретическом распределении в математической статистике разработаны специальные критерии согласия (Критерий хи-квадрат Пирсона, критерий Колмогорова и др.), позволяющие ответить на этот вопрос 11831. [c.221]

Поэтому стендовым испытаниям должны подвергаться лишь те узлы, механизмы и системы, к которым предъявляются высокие требования надежности, а затраты на испытание экономически обоснованы. Чем сложнее испытываемый объект, тем большим числом выходных параметров оценивается его работоспособность и тем труднее провести такое число испытаний, т оторое позволило бы применить статистические методы для определения показателей надежности. Поэтому все стендовые испытания делятся на две категории. Для сравнительно простых узлов и механизмов, выпускаемых в массовом или крупносерийном производстве , проводится такое число испытаний, при котором может быть определен закон распределения сроков службы (наработки) изделия или его числовые характеристики. Для сложных изделий обычно такая возможность отсутствует и стендовым испытаниям может быть подвергнуто одно-два изделия. В этом случае методика испытания не может опираться на обычные (как их иногда называют —> классические) ме-. тоды математической статистики (см. гл. 11, п. 5). Свою специфику в обе категории испытаний вносят ускоренные методы испытаний (см. гл. 11, п. 4). При стендовых испытаниях с применением статистических методов для накопления данных стремятся одновременно испытывать несколько изделий и хотя бы часть из них доводить до отказа (см. ниже о планах испытания). [c.492]

Для получения достоверных сведений по усталостной прочности титановых сплавов конкретной структуры не(обходима количественная оценка разброса результатов циклических испытаний. При этом предел выносливости определяют с заданной вероятностью неразрушения, т.е. оценивают его надежность. Уже первьге статистические обработки результатов усталостных испытаний титановых сплавов показали высокие значения коэффициента вариации условного предела выносливости [96— 98]. Учитывая большой разброс, наиболее правильно для анализа усталостных свойств титановых сплавов применять методы математической статистики и теории вероятности. Для этого строят полные вероятностные диаграммы, например по системе, предложенной Институтом машиностроения АН СССР [99, 100]. Эта система основана ра разделении процесса усталостного разрушения на две стадии до появления макротрещины и развитие трещины до разделения образца на части. При анализе предела выносливости гладких образцов это разделение не имеет принципиального значения, так как долговечность до появления трещины Л/ и общая долговечность до разрушения образца Л/р близки. Часто Jртя построения полных вероятностных диаграмм усталости за основу берут наиболее простой метод, предложенный В. Вейбуллом [ 101 102, с. 58 — 64]. Для построения полной вероятностной кривой необходимо испытать достаточно большие партии образцов (30—70 шт.) на нескольких уровнях амплитуды напряжений, которые должны быть выше предела выносливости (см., например, рис. 92). На каждом из этих уровней по гистограмме определяют вероятность разрушения при данной амплитуде напряжений. Далее ст ят кривую Веллера по средним значениям долговечности. По гистограммам строят кривые равной вероятности в тех же координатах (а — 1дЛ/). Затем строят семейство кривых, определяющих не только зависимость долговечности от амплитуды напряжений, но и вероятности разрушения от заданных амплитуды напряженйй и долговечности. Далее, принимая математическую форму распределения вероятности, на данном уровне напряжений можно строить кривые зависимости либо от амплитуды напряжений при заданной базе испытаний Л/, [c.141]

Принимая во внимание, что рассеивание показаний приборов типа МТА подчиняется нормальному закону распределения [2], вероятность попадания результата измерения толщины покрытия h в диапазон hep — бдоп ср + бдоп или выполнения неравенства бизг + Аатт — бдоп б < б зг + б тт + бдоп, полученного из предыдущего неравенства вычитанием йдейст на основании соотнощений математической статистики, запишется следующим образом [c.149]

Выражение (3.3) используют только для оценки точности вычисления математического ожидания выходной координаты нелинейной динамической системы в результате выполнения N опытов. В математической статистике для более полного и точного определения необходимого числа опытов применяют формулы, в которых используют доверительные пределы и доверительные вероятности [66, 67]. В работе [66] для различных законов распределения вероятностей случайных величин приведены формулы, с помощью которых можно определить необходимый объем испытаний при заданных доверительных пределах или доверительных вероятностях. Разработаны также последовательные алгоритмы оценок, которые дают возможность определить число испытаний N непосредственно в ходе процесса моделирования. По мере выполнения опытов вычисляются оценки М Ixi (i)] и Dx. (t), а по формуле (3.3) — D [М [xi (f)]]. Решение о прекращении моделирования принимается только при выполнении условия D [М [xi ( )]] < Zx. (где — заданная погрешдость вычисления математического ожидания выходной координаты xi нелинейной системы). [c.146]

Записи и сообщения по качеству 342 Стандарты и методы контроля 343 Планы поощрений 344 Показатели качества 345 Системы проверки качества 346 Контроль изменений в чертежах 350 Экономика контроля качества 351 Отношения между потребителями и поставщиками 352 Стандарты качества 353 Стоимость контроля качества 400 Математическая статистика и теория вероятностей 410 Теория оценки и статистических выводов 411 Точечная оценка 412 Доверительные интервалы 413 Проверка гипотез 414 Теория решений 420 Свойства функций распределения 421 Нормальное распределение 422 Распределение Пуассона 423 Биномиальное распределение 424 Сложное (многомерное) распределение 425 Сглаживающие функции распределени ] [c.85]

Распределенне повторяемости — единственная форма задания, позволяющая вести обработку материалО В методами математической статистики. Правда, для рел<имного анализа такая форма задания требует дифференциации задания внутригодового периода по сезонам. Без этого невозможно использование такой формы задания для расчетов по календарным балансам. [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...