Важнейшие формулы интегрирования

Выведем две важные формулы интегрирования, которые понадобятся при решении задач. Это формулы вида ([29] с. 400) [c.313]

ВАЖНЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [c.102]

Важно не упускать из виду, что в формуле (7-104) точка с координатами х у лежит в вихревом слое, а точка с координатами X, у— где угодно в потоке. Формулой (7-104) определяется значение функции тока именно в этой точке интегрирование по координате з (т. е. по х , у ) распространяется на весь вихревой слой. [c.293]

Аналитическое решение задачи, т. е. расчет теплоотдачи по формулам, полученным в результате интегрирования системы уравнений конвективного теплообмена и определения постоянных интегрирования из условий однозначности. Интегрирование точных уравнений конвективного теплообмена, возможное в весьма немногочисленных случаях, используется в основном для учебных целей или для грубой оценки теплоотдачи в более сложных случаях. Достигнутые на этом пути успехи связаны с упрощенной физической схематизацией процесса (при которой сохраняются, однако, важные факторы) и использованием приближенных уравнений примером может служить теория пограничного слоя. [c.327]

Мы сейчас докажем это важное предложение, установленное впервые Пуассоном для случая динамики. Но прежде заметим, что для употребления формулы (88) нужно вычислить тп (2тп — 1) значений символа (я,., я ). Для этого, найдя интегралы уравнений (14), полагаем 1 равным его начальному значению. Это дает все соотношения, которые могут быть между введенными при интегрировании переменными я , а тп и начальными [c.381]

Этот интеграл породил множество проблем среди специалистов по задачам динамики [2.42—2.44]. Например, если (по ошибке) положить А и т постоянными, то получим, что перемещение w t) будет существовать при. < О, что означает нарушение принципа причинности. Однако, если k v. х соответствуют реальным числам, полученным в эксперименте при исследовании жесткости и демпфирования для реального материала, то при численном интегрировании по формуле (2.75) (как это и следует делать) этот кажущийся парадокс исчезает. Важно разобраться с этим вопросом, который был предметом полемики в течение [c.97]

Весьма важным параметром профилометров является длина трассы интегрирования Ь. В современных цеховых приборах величина I находится в пределах 1,8—2,5 мм, в то время как шаг наибольших неровностей, учитываемых при измерении Д —0,3 мм. Для подобных приборов значение может быть подсчитано по формуле (55). [c.109]

Здесь область интегрирования распространяется на всю плоскость движения, кроме поперечного сечения цилиндра. Но важно заметить, что интеграл сходится не абсолютно и может принимать разные значения в зависимости от порядка интегрирования. В настоящем случае, без сомнения, должно быть выполнено сначала интегрирование по ф, а после — по 1( . Так как вдали от цилиндра функция if— Ux, — Uy (что видно из ( рмул (2) и (3)], TO в последнем интеграле формулы (9) первым должно быть выполнено интегрирование по х. Это означает, что величина D [c.230]

Для тонких тел, однако, существенно, сопротивление трения, которое превышает волновое или соизмеримо с ним и почти не зависит от формы образующей. Важна лишь ее длина, в этих случаях практически равная длине тела. Поэтому найденное уменьшение сопротивления тонких тел с задним торцом, как и результаты работы [5], рассчитанные по формулам линейной теории, на самом деле могут оказаться не столь внушительными. С учетом этих соображений было выполнено профилирование достаточно толстых тел. Хотя само профилирование осуществлялось в рамках ньютоновской и линейной моделей, коэффициент Сх построенных тел рассчитывался затем численным интегрированием уравнений Эйлера по монотонной разностной схеме второго порядка с выделением головной ударной волны. [c.505]

Важно отметить следующее. Имея приведенные выше универсальные уравнения, которые полностью и точно решают в конечной форме любую задачу основного класса, можно во всех конкретных случаях определять большие упругие перемещения при изгибе тонких стержней (полосок) по готовым формулам без составления и интегрирования дифференциальных уравнений. [c.41]

Важными показателями процесса резания являются коэффициент укорочения (усадка) стружки кс и длина контактной площадки по передней поверхности режущего клина 1. Обе эти величины, в частности, входят в формулы для расчета температур в зоне резания. Определить коэффициент укорочения стружки при ПМО можно, используя приведенные выше теоретические формулы. Выполнив интегрирование выражения (60) с учетом условия (61) и приняв далее у=а (см. рис. 32), найдем толщину стружки аь Относя ее к толщине среза а, получим выражение для коэффициента укорочения стружки [c.75]

Интересно отметить, что уже при N 2 величины т , определяемые по приближенной формуле (205) и по графикам, изображенным на рис. 48, полученным посредством численного интегрирования, сравнительно мало отличаются друг от друга. Следовательно, во многих случаях, когда не требуется высокой точности расчета, можно для определения использовать формулу (205). Особенно важно это тогда, когда параметры исследуемого устройства выходят за пределы графика например, для случаев, когда Л/ > 10 (они довольно редки, но могут быть) или если значения нагрузки т а не совпадают с показанными на графиках. [c.136]

Формулы (IV.8) имеют второй порядок точности. Первые производные по t аппроксимируются конечными разностями таким образом, что в выражения для давления не входят значения потенциала скорости на т + 1)-м слое. Это важно, так как позволяет построить явную схему решения волнового уравнения (IV.5) для пузырьковой жидкости. Поэтому представления (IV.8) позволяют избежать совместного решения уравнения Рэлея и волнового уравнения на каждом шаге интегрирования уравнений пузырьковой жидкости, сводя задачу к последовательному решению этих уравнений. [c.98]

Задача об эволюции орбиты в атмосфере сведена к интегрированию двух уравнений (8.3.24), правые части которых выражены через определенные интегралы от функций (р, е, и) и Ф(р, е, и). Важно подчеркнуть, что правые части (8.3.24) не зависят от характеристик ИСЗ. Поэтому достаточно один раз проинтегрировать систему (8.3.24) с учетом принятой модели изменения относительной плотности Д по высот е. Затем легко совершить переход от к по формуле N = п1 20х), т. е. вычислить количество оборотов любого ИСЗ с учетом его коэффициента аэродинамического сопротивления Сх, массы т и площади миделева сечения 8. [c.369]

Приведенный метод вычисления (Д ) может быть распространен практически без изменений на более общие и важные случаи. Выделим, например, малую часть (подсистему) изотропной среды (жидкости или газа), находящуюся в статистическом равновесии со всей средой, температура Т которой поддерживается постоянной. По отношению к выделенной подсистеме окружающая среда играет роль термостата. Из-за обмена энергией между термостатом и подсистемой энергия последней будет непрерывно флуктуировать. Беспорядочные изменения энергии подсистемы подчиняются статистическому закону, вполне аналогичному максвелловскому закону распределения кинетической энергии между молекулами. Поэтому среднее значение энергии подсистемы будет выражаться прежней формулой (97.13), где а имеет прежнее значение, а интегрирование в выражении (97.12) производится по многомерному пространству координат и импульсов подсистемы. В этом единственное отличие рассматриваемого случая от предыдущего. Но оно совсем не отражается на последующих выкладках. Поэтому окончательный результат (97.15) применим к рассматриваемой подсистеме без всяких изменений. [c.595]

Гиперболические операторы образуют важный класс дифференциальных операторов в частных производных простейший его представитель — волновой оператор второго порядка. Фундаментальное решение любого гиперболического оператора в неособой точке задается интегральной формулой, контур интегрирования которой — компактный (вообще говоря, относительный) цикл в СР зависящий от этой точки. Это позволяет исследовать качественное поведение фундаментального решения методами теории монодромии и определяет сходство такого исследования с материалом предыдущего параграфа. Вот краткий словарь параллельных понятий в этих двух теориях. [c.189]

В важной работе Брауэра [3] показано, что при двукратном интегрировании вероятная ошибка равна 0,1124/г , где п — число шагов (величина ошибки выражена в единицах, соответствующих последней значащей цифре). Так, например, после 100 шагов численного интегрирования уравнений второго порядка, описывающих движение спутника, мы с вероятностью 50% можем ожидать, что ошибка округления будет меньше 112,4. В этой работе также показано, что средние ошибки оскулирующих элементов орбиты, полученных численным интегрированием уравнений движения планет в форме Лагранжа (уравнений первого порядка) или при помощи обычных формул по компонентам х, у, г) и х, у, 2), будут пропорциональны Исключением является средняя орбитальная долгота, для которой средняя ошибка опять-таки пропорциональна га . Правда, следует заметить, что она получается в результате двукратного интегрирования. [c.224]

Важно отметить, что разложение (5.7)-(5.8) и разложение 4 для падающей волны представляют одну и ту же волну. Отсюда следует, что, переходя в формулах (5.7),(5.8) к координатам (У, V в области (4Л), мы получим то же разложение, которое имеет место для падающей волны 4. Таким образом, продолжением выражения 4, связанного с интегрированием вдоль [c.97]

Основная особенность формулы (10.79) состоит в том, что интегрирование по д не имеет смысла, если не исключить сингулярность функции С в начале координат (вместе с тем оно играет важную роль, выделяя значения волнового числа д = к ъ полюсах подынтегрального выражения). К счастью, атомные сферы с центрами в точках Гг и Ку- не перекрываются, так что вектор (К г — — Ку — г ) никогда не может оказаться нулевым для точек, в которых, согласно условию (10.75), оператор пути рассеяния (г, г ) не обращается в нуль. Именно на этом этапе рассмотрения существенно используется условие о ячеечном виде потенциала. [c.491]

Численное интегрирование становится все более важной частью метода конечных элементов. На ранних стадиях метода одно из основных его преимуществ заключалось как раз в обратном, а именно интегрирование полиномов на треугольниках и прямоугольниках было основано на точных формулах. В настоящее время, по-видимому, особая простота полиномов более не играет существенной роли и рациональные функции, и функции даже еще более общего вида так же удобны. Фактически же нет ничего более неверного залог успеха численного интегрирования в методе конечных элементов — присутствие полиномов. [c.213]

Основная трудность здесь заключается в том, что интегрирование в формулах должно производиться по всей области, где п—1) и у, отличны от нуля, тогда как реальные измерения проводятся в весьма ограниченном спектральном интервале, обычно не включающем, например, мощные полосы поглощения в дальнем ультрафиолете (Я,<2000 А). Поэтому основная проблема здесь заключается в разумной экстраполяции данных за пределы, в которых проведены измерения, в том интервале частот, где отражение существенно зависит от частоты, и в корректном учете возникающих отсюда погрешностей и внесении соответствующих поправок. Весьма важно при этом иметь хотя бы качественное представление об общем виде спектра или грубо приближенные измерения поглощения в широком интервале. В литературе рассмотрены процедуры экстраполяции, оценка погрешностей и допустимости экстраполяции, методы подбора оптимальных пределов интегрирования [178— 180], а также возможности выбора дискретных опорных точек [181]. По-видимому, в ряде случаев можно практически добиться точности 0,5—1%. Наиболее приемлема, видимо, экстраполяция, использующая определенные предположения об асимптотическом поведении коэффициента отражения (см. [182, а также 183]). [c.290]

Во-вторых, следует отметить важную роль операции интегри рования по частям. В методе взвешенных невязок до применени этой операции рассматривается лишь внутренняя область элемента В результате интегрирования по частям благодаря появлению ин тегралов по границе можно учесть граничные условия. Повторно применение формул интегрирования по частям дает возможное [c.148]

Однако обычно приходится довольствоваться менее полным решением. Но даже в том случае, когда не представляется возможным получить явные формулы, определяющие величины q как функции 2и -f 1 параметров 910, 2о, 9по, 107 20, Mnoi все я<0 можно установить общий характер движения и выяснить некоторые важные характеристики его. Кроме того, с помощью численных методов интегрирования или разложения в степенные ряды ( 21.4) можно получить приближенные решения, справедливые для достаточно малых значений t. [c.124]

Сделаем теперь следующее важное замечание. С точки зрения классической физики энергия, так же как и любая другая динамическая величина, изменяется непрерывно, принимая любые промежуточные значения. При выводе статистических распределений мы лишь искусственно сделали ее дискретно меняющейся величиной, вводя разбиение на энергетические слои (ящики). Будем теперь считать энергетические слои достаточно тонкими, что позволит нам перейти в формулах, определяющих химический потенциал и внутреннюю энергию, от суммирования по ящикам к интегрированию. Заметим при этом, что поскольку переменный множитель во всех трех распределениях зависит только от энергии, то числа изображающих точек в равных фазовых объемах, находящихся в одном и том же энергетическом слое, равны, и мы можем ввести для статистического описания газа число частиц dN в элементе фазового пространства Л" = П dqi с1р1, [c.189]

Главная цель, которую ставил перед собой Гамильтон, состояла в развитии метода интегрирования уравнений динамики эта цель была достигнута указанием системы формул, определяющих характеристики движения с помощью одной главной функции. Помимо этого, мемуар Гамильтона содержит еще один важный результат, на котором, однако, он, Гамильтон, долго не задерживается. Вариационная формула (7) дает приращение действия V за время t при переходе от функций ж ( ), у (t), z (t), t (О,. У jMi (0 определяющих истинное движение, к некоторой системе функцийДюдвдняющейся [c.16]

Важным достоинством интеграла столкновений Балеску-Ленарда является то, что он не имеет особенностей при малых к. Действительно, из выражения (3.4.52) видно, что б(к,а ) оо при А О, поэтому поляризационные эффекты обеспечивают сходимость интеграла по волновому вектору в формуле (3.4.63). Отметим, однако, что при кго диэлектрическая проницаемость мало отличается от единицы. Следовательно, интеграл столкновений Балеску-Ленарда содержит ту же самую логарифмическую расходимость при больших А , что и интеграл столкновений Ландау, в связи с чем приходится ограничивать верхний предел интегрирования в формуле (3.4.63) условием к < Almax, где Almax 6 . [c.229]

Стоит отметить, что интегрирование в этой формуле проводится на участках постоянного значения Pj н F в двух интегралах соответственно с носледуюш им суммированием полученных результатов. Важное значение этой формулы для v состоит в том, что она позволяет подсчитать конечную скорость как простой, так и составной ракеты. [c.84]

Как указывалось ранее, исключительно трудно провести эксперимент с истинно тепловым излучением так, чтобы время наблюдения было намного меньше времени когерентности падающего света. По этой причине важно исследовать распределение числа фотоотсчетов при времени наблюдения, сравнимом с временем когерентности или превышающем его. Предположение о том, что падающий свет полностью поляризован, мы пока сохраним. Распределение числа фотоотсчетов будем искать так же, как и выше. Сначала найдем плотность распределения pw W) интегральной интенсивности, а затем подставим ее в формулу Манделя и выполним требуемое интегрирование. [c.447]

Для внешнего интегрирования могут применяться явные и неявны формулы, В частном случае при интегрировании по неявной формуле Эйлера на шаге внешнего интегрирования Я = ЛТо получим систему (6.9), поэтому ВИМС можно рассматривать как обобщение предыдущего метода. Важной отличительной особенностью ВИМС является алгоритм выполнения неявного шага внешнего интегрирования, основанный на следующих положениях. Внутреннее интегрирование выполняется только одношаговыми, А (л/2) — [c.145]

Для исследования движения искусственных спутников Земли используются все методы небесной механики численные, аналитические и качественные. Особое место среди них занимают аналитйческие методы, которые могут конкурировать по точности с методами численного интегрирования, а вместе с качественными позволяют нарисовать довольно полную картину движения спутника на больших интервалах времени. Очень важно, что они дают возможность просто и наглядно охарактеризовать влияние каждого фактора, действующего на движение спутника. Эта книга посвящена аналитической теории движения искусственных спутников. В ней мы не будем касаться численных методов, но затронем некоторые качественные вопросы. Основное внимание мы уделим выводу и анализу рабочих формул, необходимых для практических вычислений. [c.7]

Возмущения первого порядка. Мы даем здесь формулы для случая, когда за независимую переменную принимается истинная анома-лпя / вследствие простоты аналитических выражений. Однако не следует это понимать так, что в численных приложениях обязательно следует предпочитать только эту независимую переменную. Применение эксцентрической аномалии делает ряды более быстро сходящимися, что представляет важное преиму1Т1ество в случаях, когда эксцентриситет орбиты возмущаемого объекта велик с другот стороны, использование средней аномалии облегчает вычисление положений возмущаемого объекта пупрс-щает процесс интегрирования. Однако легко понять, какие видо- [c.335]

В связи с переходом от формулы (2) к формуле (4) необходимо сделать одно важное замечание. В формуле (2) интегрирование ведется вдоль положительной части оси абсцисс, при этом в точке к = V подынтегральная функция не обрахцается в бесконечность. Не изменяя значения интеграла (2), мы можем сместить путь интегрирования в плоскость комплексного переменного, обходя точку к = V сверху небольшой полуокружностью. Основываясь на этом замечании, мы можем считать, что в каждом из двух интегралов формулы (4) путь интегрирования идет по плоскости комплексного переменного к, обходя сверху точку к = v. [c.322]

Отметим, однако, что неточное численное интегрирование иногда может даже улучшить качество решения. Известен один пример (другой — для несогласованных элементов), в котором вычислительные эксперименты приводят к результатам, противоречащим положениям математического анализа, но с вычислительной точки зрения верным и важным. Улучшение для конечного шага Л вытекает отчасти из следующего эффекта точный метод Ритца всегда соответствует слишком жесткой аппроксимации и ошибки квадратурных формул уменьшают эту избыточную жесткость., [c.120]

Важной особенностью этого соотношения является то, что интегрирование здесь проводится не по всему проводу (—оо, г , а лишь по его части (—оо, г,), где функция (г — г) описывает ток уже с хорошей точностью. Интегралы, входящие сюда, вычисляются так же, как в формуле (30.09). В результате поле, излучаемое полубе-сконечным проводом (—оо, г ), будет равно [c.209]

Чтобы сравнить результаты с реальной ситуацией для 2п и М , формулу (П14.9) необходимо несколько модифицировать. Во-первых, следует учесть вклад от электронных орбит, проходящих по внутреннему пояску монстра . В слабых полях (Н < Н ) эти электроны вместе с электронами на орбитах вокруг игл или сигар точно компенсируют вклад от дырок на гексагональных орбитах. Поперечная проводимость а,, должна в этом случае изменяться как (если поле Н достаточно велико, так что > 1), а холловская проводимость 02 должна стремиться к нулю. Чтобы удовлетворить требованиям, накладываемым этими соображениями, необходимо в (П14.9) добавить а/Н (а — действительная величина) к коэффициенту при Е и заменить член 1тг/3 на Другое важное обстоятельство, которое необходимо учесть, связано с тем, что поверхность Ферми в действительности не является цилиндром, как это до сих пор неявно предполагалось. Так можно было считать потому, что идеализированная двумерная картина справедлива лишь в очень узком диапазоне значений которые значительно меньше полного размера иглы или сигары . Чтобы учесть это обстоятельство, следует провести интегрирование по к с учетом зависимости вероятности В от импульса вдоль поля. Однако вполне разумной аппроксимацией является замена множителя Ъпес/ж эмпирическим коэффициентом 6. И наконец, необходимо принять во внимание конечное значение времени г его роль качественно рассмотрена в тексте книги. [c.630]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...