Операторы и некоторые их свойства

ПЗ.1.3. Операторы и некоторые их свойства. Пусть физическая величина / характеризует некоторое состояние квантовой системы. Принимаемые / значения (непрерывные или дискретные) называются собственными значениями, которые образуют спектр собственных значений. [c.461]

Первые разделы данной работы посвящены подробному описанию когерентных состояний и изучению некоторых их свойств. В разделах 4 и 5 дается разложение произвольных состояний и операторов по когерентным состояниям. Раздел 6 посвящен рассмотрению некоторых свойств операторов плотности и тому, как эти свойства учитываются новым методом. Применение развитого формализма к физическим задачам начинается в разделе 7, где вводится определенный вид оператора плотности, который, по-ви-димому, наиболее подходит для описания излучения макроскопических источников. Такая форма оператора плотности приводит к особенно простому способу описания суперпозиции полей излучения. Далее в разделе 8 рассматривается оператор плотности, кото- [c.67]

Начнем с некоторых общих свойств гидродинамических процессов и их описания методом неравновесного статистического оператора. Для определенности мы ограничимся классическим случаем, хотя дальнейшие рассуждения легко обобщить и на квантовые системы. [c.158]

Определив указанным образом числа а , найдем затем из неоднородных систем (5.27), (5.28) а), и построим функции 5 (ж), 8 п х). Отметим, что указанные системы в силу свойств оператора ( 3.10) и теоремы Гильберта [14] однозначно разрешимы в пространстве квадратично суммируемых последовательностей 1г при любых значениях параметров Я,, х е (О, < ), и для их решения может быть использован метод редукции. При известных а находим также б . Наконец, счетное множество постоянных уо и к>1) определим из условия асимптотического совпадения функций у+ 1) вида (5.18) и у-(1) вида (5.11) в окрестности некоторой точки 1 = о. Для практических целей достаточно как-то зафиксировать, постоянные (например, положить /, = 1) и найти Уо из условия +( 0) = -( о)- Определение о и завершает построение решения задачи в форме (,5.11), (5.19). [c.472]

Для определения степени соответствия собираемых изделий и их свойств техническим требованиям их подвергают контролю и испытаниям на различных этапах процесса сборки. Одновременно контролируются содержание и режимы выполнения операций технологического процесса, а также параметры средств технологического оснащения производства, влияющие на качество сборки изделия. Контроль качества и испытания собираемых изделий являются частью общей программы разработки методов оценки качества продукции. Основным элементом контроля качества и испытания является измерение контролируемых параметров. Измерение — это процесс получения информации в виде численного соотнощения между значением измеряемой величины в конкретный момент времени и некоторым ее значением, принятым за единицу. В результате измерения получается абсолютное значение величины, которое само по себе не дает возможности определить уровень качества данного параметра. Поэтому при контроле переходят к относительному показателю — оценке степени отклонения измеренной величины от некоторого ее эталонного значения. Оценка может выполняться контролером или оператором, который сравнивает показания приборов с базовыми значениями — например, с номиналом измеряемого параметра, с полем допуска и т. п. Оценки могут выполняться и с применением средств автоматизации, когда базовые значения измеряемой величины реализуются в виде эталонов, а сравнение с измеряемой величиной происходит с помощью специальных устройств. [c.89]

Неравенство (3.42) означает, что оператор Ws , ех есть оператор сжатия. Используя это свойство оператора W ]ex, нетрудно показать, что сходимость последовательности векторов eV) влечет сходимость в метрике векторного пространства k размерности т. Роль операторов сжатия в построении эффективных итерационных процедур хорошо известна в вычислительной математике (см., например, монографию [22]). Этим важным свойством обладают и некоторые операторы теории светорассеяния полидисперсными системами частиц, что позволяет их эффективно использовать в программных комплексах обработки оптической информации. [c.169]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

До некоторой степени гладкая и ядерная теории объединяются в рамках общей стационарной схемы (см. гл. 5), называемой также аксиоматической) теорией рассеяния. В этой теории существование нужных пределов резольвент Ro z) и К х) предполагается, хотя пределы и понимаются в весьма слабом смысле. При этом предположении получаются формулы для стационарных волновых операторов, изучаются их свойства, устанавливается связь с нестационарными определениями. Таким образом общая схема позволяет избежать дублирования однотипных рассуждений в различных конкретных ситуациях. Само существование пределов резольвент в разной аналитической обстановке может проверяться (и пониматься) по-разному. [c.20]

Следующая операция — выделение таких признаков сигнала, которые несут наибольшую информацию, важную для решения данной конкретной задачи. Способность выделять информативное содержание, адекватно поставленной задаче, требует специального обучения. Примером, в котором отчетливо наблюдается процесс такого выделения, может быть дешифрирование аэрофотоснимков. В этой операции наблюдатель выделяет некоторые свойства сигналов (изображения) в качестве наиболее информативных с целью последующего опознания объектов. Причем выделенные свойства как бы превращаются в оперативные единицы восприятия [30], с которыми в дальнейшем и работает оператор. Иными словами, оператор отсеивает часть первоначально выделенных признаков, группирует их, выделяет новые одни признаки как бы подчеркиваются и усиливаются, другие затушевываются. Наблюдатель непрерывно сравнивает воспринимаемые сигналы с некоторыми эталонами, хранящимися в памяти в форме представления. [c.19]

Для успешного проведения любого технологического процесса необходимо определенное сочетание параметров (температур, давлений, скоростей, концентраций и т.п.). Эти параметры не являются стабильными и их изменения вносят возмущения в ход процесса. Состояние некоторых из этих параметров не зависит от воли оператора (изменения напряжения в сети, отклонения в свойствах или размерах заготовки и др.), и последний может их только учитывать. Для восстановления нормального хода процесса оператор воздействует на другую группу параметров, связанных с первой группой, и управляет процессом, оценивая его результат (например, качество изделия). Оценивая результаты работы, оператор отбирает те действия, которые при данном состоянии входных параметров дают наибольших эффект. Таким образом оператор накапливает опыт и совершенствует свое мастерство. [c.126]

Формирование программы для решения имеющейся системы уравнений и неравенств основывается в данной работе на следующих соображениях. Всем системам свойственна одна важная особенность как только по отношению к ним ставится какой-либо вопрос, одни свойства объектов исследования оказываются важными для ответа на вопрос, а другими можно пренебречь. Пусть по отношению к некоторому классу систем уравнений и неравенств ставится вопрос об извлечении из текста систем уравнений и неравенств способа их решения. Следует на время отвлечься от многих конкретных свойств системы, выделив из нее лишь существенную для решения поставленного вопроса информацию, т. е. построить некоторую модель этой системы. Далее к этой модели можно применить некоторый алгоритм, справедливый для любой модели систем изучаемого типа, получить модельное решение поставленного вопроса (получить модель программы) и затем интерпретировать полученное решение в терминах конкретных операторов (получить конкретную программу). В соответствии со сказанным схема преобразований должна иметь вид, представленный на рис. 3.3. [c.63]

В отличие от полных ДХ по частным ДХ нельзя вычислить динамическую составляющую погрешности измерений. Используя их, можно лишь ориентировочно соотнести динамические свойства СИ с условиями измерений. Вместе с тем в некоторых случаях нормирование частных ДХ предпочтительнее. Например, для стрелочных СИ, предназначенных для измерения постоянных или медленно меняющихся величин, указания времени реакции достаточно для того, чтобы оператору оценить время считывания показаний. Это же относится и к ЦСИ, для которых необходимо знать, через какое время после подачи сигнала можно считывать показание, а также к ЦСИ, у которых все переходные процессы и [c.163]

Реономные свойства анизотропных тел существенно зависят от ориентации. Для их описания при самом общем подходе могут быть применены, например, соотношения теории термовязкоупругости анизотропных сред, полученные в [10]. Связь между напряжениями и деформациями, записанная в интегральном виде, определяется некоторыми интегральными операторами. Для этих операторов справедливы те же законы преобразования и симметрии, что и для тензора упругости. [c.55]

В работах [17, 55, 66, 73] приводятся решения некоторых плоских и осесимметричных контактных задач о вдавливании без трения жесткого штампа в двухслойное стареющее вязкоупругое основание. Предполагается, что верхний слой тонкий относительно области контакта, неоднородно-стареющий реологические свойства нижнего слоя описываются уравнениями линейной теории ползучести стареющих материалов слои жестко сцеплены между собой область контакта не изменяется с течением времени. В зависимости от соотношений между модулями упругомгновенных деформаций слоев смешанные задачи сводятся к интегральным уравнениям первого или второго рода, содержащим операторы Фредгольма и Вольтерра. Используемый для их решения аналитический метод (см. 9, гл. 1) позволил построить разложения для основных характеристик контактного взаимодействия при произвольным образом меня- [c.465]

До сих пор мы обсуждали линеаризованные уравнения возмущенного движения для упругого тела. Аналогично могут быть составлены уравнения для тел, материал которых обладает неупругими свойствами. Так, уравнения для линейного вязко-упругого материала получаются из уравнений для упругого материала, если произвести замену упругих постоянных соответствующими вязко-упругими операторами. Однако в случае упруго-пластического материала возникают существенные трудности. Поведение упруго-пластического материала весьма чувствительно к малым изменениям пути деформирования, что проявляется, в частности, в необходимости различать сколь угодно малые нагружения и разгрузку. Уравнения деформирования упруго-пластических систем, вообще говоря, не допускают линеаризации. Линеаризация возможна лишь при некоторых дополнительных предположениях (например, при предположении, что всюду происходит нагружение). Предположения такого рода сужают класс рассматриваемых возмущенных движений поэтому результаты, полученные на их основе, имеют ограниченный или условный характер. [c.333]

Такой подход позволил обобщить экспериментальные закономерности изменения коэффициентов трения р- = / (/ ) и = / (у). Эти зависимости являются основными, так как внешние механические воздействия Р к V определяют степень и градиенты упруго-пластической деформации, температуру в зоне трения, уровень активизации металла и ряд характеристик производных явлений. Показано также влияние состава и свойств среды в зоне трения, свойств трущихся материалов и их технологической обработки и других параметров. Коэффициент трения рассматривается как некоторый оператор = А Р, V, с], определяемый воздействиями Р и и и вектором С, характеризующим влияние приведенных параметров. [c.122]

Математические модели динамических систем можно классифицировать в зависимости от структуры их фазового пространства Ф и вида оператора Т. Различают случаи непрерывного и дискретного фазового пространства в зависимости от того, какой ряд значений могут принимать величины X, характеризующие состояние динамической системы непрерывный или дискретный. Изменение состояигя X во времени также может быть непрерывным или дискретным. Изменение непрерывно во времени, если h.t — произвольное неотрицательное число, и дискретно во времени, если может принимать лишь некоторые дискретные положительные значения. Операторы Т принято различать по их свойствам и по форме задания. Если оператор Т обладает свойством суперпозиции, то он называется линейным. [c.9]

С технологической точки зрения однородными операторами вписываются те объекты, свойства которых не меняются с течением времени, т. е. эти объекты реагируют одинаково иа одинаковые возмущения, подаваемые в разное время. Такие объекты принято называть стационарными. Заметим, что в реальных условиях никакой физический объект нельзя описывать, строго говоря, однородным функциональным оператором. Любая технологическая установка меняет свои свойства с течением времени. Так, например, в теплобменнике коэффициент теплопередачи со временем уменьшается из-за образования накипи, ржавчины и т. п. Однако такие изменения свойств объектов со временем происходят весьма медленно, и поэтому, как правило, технологические объекты в пределах некоторого промежутка времени можно считать стационарными и описывать их однородными операторами. [c.56]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

Так как эти функции — основные математический объекты в теории линейной реакции, имеет смысл хотя бы кратко остановиться на их свойствах ). Для определенности мы рассмотрим квантовые системы и будем считать, что равновесное состояние описывается большим каноническим ансамблем со статистическим оператором (5.1.2). Тогда в (5.1.27) A t) и B t ) — некоторые квантовые операторы в представлении Гайзенберга с эффективным гамильтонианом 7/, т. е. [c.345]

В главе 4 описывакэтся те существенные свойства двумерного движения, которые можно рассматривать, не применяя комплексного переменного. Содержание главы 5 отклоняется от темы книги — в ней вводится комплексное переменное, определяемое как векторный оператор, и доказываются некоторые теоремы, применяемые впоследствии. В частности, здесь рассматриваются свойства конформного отображения с некоторыми подробностями ввиду их существенного значения для дальнейшего изложения. [c.10]

Эти функции были названы дробно-экспоненциальными. Если принять 5-функцию за ядро ползучести и релаксации, то, как оказывается, существенные особенности ядер (6.1) и (6.2) сохраняются. Однако операторы с ядрами, сконструированными из -функций, обладают некоторой специальной алгеброй, резольвенты их образованы из функций того же класса с параметрами, вычисляемыми по простым правилам. Свойства с -опера-торов изучались в работах М. И. Розовского, И. И. Круша, Н. Н. Долининой, Е. С. Синайского был установлен ряд теорем о произведениях этих операторов, о нахождении обратных операторов и т. д. М. И. Розовский (1959) установил связь 5-функций с функциями Миттаг-Леффлера. Асимптотика -9-функций изучалась Б. Д. Анниным (1961). Г. И. Брызгалиным [c.150]

Работа состоит из шести глав. Первая глава посвящена разбору возможностей, предоставляемых классической механикой для решения названной основной задачи, и критике относящихся сюда работ, основанных на классической механике. Вторая глава посвящена аналогичному рассмотрению в квантовой механике. В третьей главе разбирается вопрос об описании немаксимально полных опытов, в частности об условиях применимости понятия статистического оператора матрицы плотности). В четвертой главе выводятся некоторые ограничения, которые накладываются на возможности измерений, производимых над макроскопическими системами, условием сохранения их заданной макроскопической характеристики. Значительная часть вопросов, затронутых в третьей и четвертой главах, заключается в получении свойств релаксации, Я-теоремы и т. д.— утверждений макроскопических, т. е., казалось бы, не связанных с вопросами о возможностях измерения. Поэтому, чтобы при решении поставленной в работе задачи не казалось странным возникновение этих вопросов, отметим сразу же, что самая суть поставленной задачи заключается в выяснении связи макроскопических утверждений с микромеханикой, а уравнениям последней можно, как известно, придать физический смысл лишь в связи с возможностями измерений. Пятая глава посвящена общим понятиям о релаксации физических систем, об j/У-теореме и о средних во времени значениях физических величин. В шестой главе выясняется связь между существованием релаксации и определенными свойствами гамильтониана системы. [c.16]

Это заключение дает возможность представлять любую статистическую совокупность (заданную как дискретным, так и непрерывным законом распределения в функциональном пространстве) как смесь систем, находящихся в чистых состояниях 9i, 92-.., причем доли общего числа систем в этих состояниях равны соответственно w , W2... Таким образом, любой непрерывный закон распределения эквивалентен некоторому дискретному закону распределения, заданному для соответствующей системы ортогональных функций (мы называем эквивалентными такие распределения, для которых матехматические ожидания любых операторов одинаковы). Свойство статистических совокупностей быть представпхлшми в виде смесей счетной последовательности состояний 9 , 9.2... позволяет определять их как такую смесь. Это определение часто берется за исходное, хотя последовательнее было бы получать его как следствие, не сужая исходного определения статистической совокупности предположением о том, что в эту совокупность входят лишь Т-функции некоторой счетной последовательности — заданной ортогональной системы функций. [c.155]

Математическое обоснование аппарата, развитого в главах I и И, связано с привлечением некоторых разделов современного функционального анализа. В Дополнении, написанном М. С. Аграновичем, кратко изложены необходимые сведения из этих разделов и на этой основе проведено исследование свойств операторов, связанных с важнейшими из рассмотренных в книге задач. Эти операторы — несамосопряженные (что связано с сущностью исследуемых задач), и особенностью применяемого в книге аппарата является использование рядов по собственным функциям этих несамосопряженных операторов. Однако эти операторы, как показано в Дополнении, очень близки к самосопряженным. Это позволило доказать, что дифрагированное поле допускает разложение в нужные ряды, причем при правильном способе их суммирования они быстро сходятся и их можно почленно дифференцировать. В Дополнении указана также асимптотика собственных значений и выведены априорные оценки для решений рассматриваемых задач. Подробнее содержание Дополнения объяснено в 30. [c.16]

Остановимся на смысле функций 01 и Р, введенных нами в процессе вывода уравнений Дайсона. Эти функции, а также 31 другие средние от хронологи-зированных произведений большего числа операторов поля называют многочастичными функциями Грина. Сами функции ОиО называются поэтому одночастичными функциями Грина. Многочастичные функции Грина, так же как и одночастичные, определяют макроскопические свойства систем. В частности, двухчастичная функция Грина 0 определяет поведение системы электронов во внешнем электромагнитном поле (см. гл. VI). Ввиду того, что эти функции зависят от большого числа аргументов, анализ их аналитических свойств представляет значительные трудности. Проще обстоит дело, когда некоторые аргументы считаются равными. Например, если в функции 0 считать х, = х , Х2= х , то аналитические свойства фурье-преобра-зования этой функции по переменной х, — 2 те же, что и у гриновской функции фононов 0(ш, к). Так как обычно представляют интерес именно такие частные случаи, то прощ определять аналитические свойства соответствующих конкретных гриновских функций, не прибегая к изучению общего случая. [c.132]

В квантовой механике часто встречаются неограниченные операторы примером таких операторов могут служить операторы, определяемые соотношениями (2.16)—(2.18). Такие операторы, а также некоторые другие, которые нам, вероятно, встретятся, обладают тем свойством, что значения их матричных элементов Тпт мажорируются выражением типа Мп т для некоторых фиксированных положительных значений М, / и й. В этом случае двойной ряд (5.4) сходится в конечных областях плоскостей а и Р и представляет собой целую функцию обеих переменных. [c.83]

Отсюда следует одно очень интересное (с теоретической точки зрения) свойство некоторых кинетических уравнений. Как мы видели в 5, подстановка Рг = Р, Р, приводит первое уравнение цепочки Боголюбова к кинетическому уравнению Власова. На основании сказанного выше это уравнение содержит не только те представляющие интерес решения, которые мы обсуждали в S и которым посвящен следующий параграф раздела задач, но и ча-стицеподобное решение, описывающее движение всех частиц системы в соответствии с их механическими траекториями (это было замечено самим Власовым в 1950 г.). Если при выводе какого-либо более сложного уравнения из цепочки уравнений Боголюбова мы используем помимо принципа ослабления корреляций еще и операторы сдвига во времени 5т (сдвига вдоль траекторий механического движения системы), который, естественно, не нарушает частицеподобных конструкций, то полученное таким образом уравнение тоже будет иметь помимо статистических также и решения, воспроизводящие механическое движение частиц системы. По отношению к уравнению Больцмана (при выводе которого как раз и используется оператор 5г) эту теорему доказал Боголюбов в 1975 г. (мы не будем вновь отдельно воспроизводить все детали ее доказательства, ограничившись сделанным выше общим заключением). > [c.404]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...