Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений

Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев Наукова думка, 1968. Габдулхаев Б.Г., Душков П.Н. О прямых методах решения сингулярных интегральных уравнений первого рода.- Изв. вузов. Математика, 1973, с. 1-24. [c.256]

Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев Наукова думка, 1968. [c.251]

В работе [72] с привлечением сингулярных интеграль- ных уравнений (1.80) решена задача о концентрации напряжений около двух круговых отверстий одинакового радиуса в плоскости, соединенных узкой щелью. При этом полагалось, что щель имеет ширину /г>0 и, таким образом, рассматривалась задача теории упругости для бесконечной пластины, ослабленной криволинейным отверстием с негладкой границей. В предельном случае (при h- 0) численное решение этой задачи не могло быть получено. Поэтому оно находилось путем экстраполяции. Аналогичный результат получен также в работе [31] на основе сингулярных интегральных уравнений второго рода методом последовательных приближений. [c.124]

Метод сингулярных интегральных уравнений оказался эффективным также при решении задач теории трещин для кусочно-однородных тел [18, 19, 32, 77, ПО, 121, 152, 173]. Предлагаемая модификация интегральных уравнений при наличии кругового отверстия применяется в данной главе при исследовании составных кольцевых областей с трещинами. В качестве примера решена первая основная задача теории упругости для кусочно-однородно -го кругового кольца с краевыми трещинами решение получено в приближенной и строгой постановках. [c.183]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Несобственные интегралы в уравнении (6) понимаются в смысле своих предельных значений. Если заданы граничные условия, соответствующие корректно поставленной задаче, то уравнение (6) может рассматриваться как сингулярное интегральное уравнение относительно Т или дТ 1дп на тех участках границы, где не задана какая-либо одна из этих величин. Решение этого уравнения осуществляется приближенными численными методами, некоторые из них описываются в одном из следующих разделов этой статьи. После того как определены неизвестные значения на границе, величину тран- [c.32]

Задачи приведены к сингулярным интегральным уравнениям первого рода относительно контактного давления р(х). Для построения их приближенных решений использованы асимптотические методы и метод ортогональных многочленов. [c.462]

Предлагаемая книга посвящена применению методов потенциала к основным граничным задачам теории упругости. Исследования на эту тему занимали автора и раньше [13 а, г, е], но настоящая работа отличается от прежних тем, что в ней впервые, наряду с однородными телами, рассматриваются также кусочно-неоднородные и доказываются теоремы существования для основных граничных задач таких тел. Второй особенностью книги является построение всей теории граничных задач на базе теории сингулярных интегральных уравнений. Это позволило, с одной стороны, расширить круг исследуемых граничных задач (контактные задачи, смешанные задачи) и, с другой стороны, обнаружить новые возможности метода При точном и приближенном решении многих задач Наконец, третья особенность книги заключается в том, что в ней впервые излагаются два новых способа приближенного решения граничных задач. [c.7]

Как правило, интегральные уравнения решают численно методом последовательных приближений или методом механических квадратур [231]. Ясно, что в любом случае требуется численно вычислять сингулярные интегралы. Существуют два основных подхода к решению этого вопроса. [c.97]

Приведем теперь результаты решения задач по определению коэффициента интенсивности напряжений экстраполяционным методом ГИУ (см. 14). Для численной реализации были написаны программы решения плоских и пространственных задач теории упругости методом интегральных уравнений (14.9), полученных на основе решения Кельвина [77]. Решение уравнения осуществлялось методом последовательных приближений с предварительной регуляризацией сингулярного интеграла по формуле (14.14). [c.112]

Для решения полученного эквивалентного граничного интегрального уравнения используются, как правило, два основных метода решения — метод механических квадратур и метод последовательных приближений. В теории интегральных уравнений для случая одномерных уравнений доказано, что приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма (не расположенных на спектре), получаемое методом механических квадратур, сходится к точному решению при уменьшении размеров элементарных областей [152]. Вопрос о сходимости метода механических квадратур для сингулярных уравнений в двух измерениях остается открытым, в то время как сходимость последовательных приближений для уравнений теории упругости доказана. [c.50]

Хорошо известен способ сведения ИУ к системе линейных алгебраических уравнений путем замены интегрального члена конечной суммой в соответствии с той или иной квадратурной формулой (см., например, [47]). Этот метод, очевидно, непосредственно неприменим для решения сингулярных ГИУ. Он используется в [5] для решения функциональных уравнений (см. выше п. 1.1). Отметим, что в [5, 12] обсуждаются и некоторые другие методы приближенного решения интегральных и функциональных уравнений. Исследования по методам численного решения функциональных уравнений подытожены в [59], где имеются ссылки на более ранние работы. [c.198]

При рассмотрении контактной задачи для балки с учетом сил трения допущения (3.9) можно принять только при условии, если вертикальная нагрузка вызывает нормальные контактные напряжения одного знака, а горизонтальная нагрузка, приложенная к одному из концов балки, равна главному вектору вертикальной нагрузки, помноженному на коэффициент трения. Использование решения соответствующего дифференциального уравнения из (3.1) в форме (3.6) через функции Грина, а также (3.10) позволяет в этом случае свести задачу к интегральному уравнению с той же сингулярной частью, что и для штампа, и получить приближенное его решение методом ортогональных многочленов (1, 4, 3). [c.306]

Согласно (25), ИУ (24) можно решать при малых Л, как и уравнение (16), методом последовательных приближений, отбрасывая в нулевом приближении интеграл в его правой части. При этом на каждой итерации вновь будет решаться ИУ Винера-Хопфа (18). Решение третьего ИУ (20) находится применением теоремы о свертке для интегрального преобразования Фурье. Таким образом сингулярное асимптотическое разложение решения ИУ (1) при малых Л в форме (21) может быть реально построено с любой желаемой точностью. [c.14]

Трещина по дуге эллипса или параболы. Полученные в предыдущем параграфе аналитические решения имеют удовлетворительную точность лишь при малых значениях параметра X (в среднем X С 0,6). Увеличение числа приближений приводит,с одной стороны, к довольно громоздким выкладкам, а с другой — несущественно расширяет диапазон применимости решения. Поэтому приведенные асимптотические решения могут служить лишь первыми оценками, позволяющими получить представление о порядке исследуемых величин, характере их изменения и т. д. За исключением крайне редких случаев, когда возможны точные аналитические решения, для получения точных результатов необходимо обращаться к численным методам решения интегральных уравнений с использованием ЭВМ. В качестве иллюстрации применения квадратурного метода решения сингулярных интегральных уравнений рассмотрим задачу о распределении напряжений около гладкой криволинейной трещины в пластине при всестороннем растяжении ее на бесконеч- [c.54]

Для решения сингулярного интегрального уравнения первого рода (21) могут быть использованы любые известные приближенные методы [30, 31]. Здесь отдадим предпочтение методу коллокации по чебышевским узлам, известному как метод Мультоппа-Каландия [8, 21, 32]. [c.116]

В работе А. И. Каландия [10] предлагается способ, позволяющий находить приближенное решение некоторых задач об изгибе тонких пластинок, а также плоских задач теории упругости, когда упругая среда занимает полукруг. Задача решается приведением к некоторому сингулярному интегральному уравнению и последующим применением к этому уравнению численного метода решения в работе способ изложен применительно к задаче изгиба пластинки, имеющей форму полукруга, когда пластинка заделана но полуокружности и свободна по диаметру. [c.600]

К. Е. Егоров (1960) применил сходную методику к случаю неосевого вдавливания штампа. В статье В. А. Пупырева и Я. С. Уфлянда (1960) и в монографии последнего (1967) дано решение общей смешанной задачи для упругого слоя, а также рассмотрен случай сцепления слоя и основания. Существенно указать, что метод парных интегральных уравнений позволил эффективно рассмотреть и более сложную осесимметричную задачу о сжатии слоя двумя штампами различных радиусов (Ю. Н. Кузьмин и Я. С. Уфлянд, 1967). И. И. Ворович и Ю. А. Устинов (1959) получили сингулярное интегральное уравнение непосредственно для функции Ф (А,) и разработали приближенный метод его решения путем разложения в ряд по степеням а к. Аналогичный метод был применен Д. В. Грилицким к задаче о кручении многослойной среды при помощи сцепленного с ней штампа, а также к ряду сходных контактных задач. Метод парных интегральных уравнений позволил ряду авторов (см., например, Г. М. Валов, 1964 [c.37]

Вопрос о том, относить те или иные задачи к классическим и неклассическим, является су0ъективным. Классическими будем считать задачи динамической механики разрушения, рассматриваемые в рамках идеализированной линейно-упругой модели хрупкого динамического разрушения, которые допускают точные или приближенные аналитические решения. Это задачи для областей, содержащих бесконечно удаленные точки (пространство, полупространство, слой в трехмерном случае плоскость, полуплоскость, полоса в двумерном). Такие задачи могут быть сведены к смешанным краевым задачам для уравнений с частными производными. Для их решения применяются простые и хорошо разработанные методы интегральные преобразования, дуальные интегральные уравнения, теория функций комплексного переменного, метод Винера — Хопфа, интегральные уравнения Фред-гольма второго рода, сингулярные интегральные уравнения. Эти методы подробно изложены в известных курсах математической физики 121, 56, 208, 209, 249, 259, 260 и др.], а также более специальных руководствах [265, 266, 278, 288, 299, 313, 350, 352 и др.]. [c.35]

Решение трех совместных интегральных уравнений становится теперь математической задачей. Необходимо применить метод итерации, использовав в качестве первого приближения некоторое выбранное распределение для еа(х), еа(г) и еа(г). Последуюище приближения сходятся при условии, что приняты меры предосторожности, чтобы избежать трудностей, вызванных сингулярностями, которые возникают в интегралах при х=Хо и на стыках цилиндрических стенок с дном. Ряд авторов, особенно Спэрроу и сотр. [79] и Пиви [64], обсуждали различные методы преодоления этих трудностей. Позднее Бедфорд и Ма [9] разработали значительно лучший метод. Воспользовавшись плавным характером изменения величин Ео(л ), Еа(г) и ба(2), они преобразовали интегралы из уравнений (7.38) — (7.40) в суммы по большому числу (п 100) зон [c.331]

В ряде случаев (например, при нелинейном законе изменения коэффициента подъемной силы сечения крыла по углам атаки) при решении интегро-дифференциального уравнения желательно применять метод последовательных приближений. Однако М. В, Келдыш показал, чтЬ процесс последовательных приближений расходится, если применять его к исходному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению. В работах Г. И. Майкапара (1944) и Г. Ф. Бураго (1947) рассматриваются различные формы обращения интегро-дифференциального уравнения и сведения его к интегральному уравнению с интегрируемым ядром, при решении которого можно использовать метод последовательных приближений. В теории несущей линии был также получен ряд частных точных решений. Г, Ф. Бураго (1947) и И. Н, Векуа (1947) получили точные решения для закрученного эллиптического крыла и для некоторого класса крыльев, являющихся обобщением эллиптического, а Я, М. Серебрийский (1944) получил точные решения для эллиптического крыла при произвольной нелинейной зависимости коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки. [c.93]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...