Приложение С. О принципе виртуальной работы

По этой причине, а также и для того, чтобы следовать историческому ходу развития статики, мы изложим здесь приложение принципа виртуальных работ к аналитической статике, обращаясь к материальным системам, связи которых не зависят от времени-, следует, однако, заметить, что выводы, к которым мы таким образом придем, останутся в силе во всех случаях, если только речь идет о системах без трения. [c.246]

Согласно этому условию виртуальная работа активных сил, приложенных к уравновешенной системе, равна нулю. Принцип, выражаемый уравнением (1.41), часто называют принципом виртуальных работ. Заметим, что коэффициенты при в уравнении (1.41) уже не равны нулю, ибо в общем случае =5 0. Это связано с тем, что перемещения бг,- не являются независимыми, так как они подчинены соотношениям, накладываемым на них связями. Для того чтобы приравнять эти коэффициенты нулю, нужно так записать уравнение (1.41), чтобы в нем фигурировали не виртуальные перемещения бг,-, а виртуальные изменения независимых координат qi. [c.27]

Нам остается теперь сделать лишь один небольшой шаг до общей формулировки принципа виртуальной работы. Мы рассуждаем следующим образом каждая внешняя сила находится в равновесии с реакциями, вызванными ею в ее точке приложения поэтому сумма работ внешней силы и этих реакций при каждом виртуальном перемещении точки приложения силы равна нулю. Это относится и к сумме всех внешних сил, и к сумме всех вызванных ими реакций. Но реакции, взятые в отдельности, не производят никакой виртуальной работы. Поэтому и виртуальная работа взятых в отдельности внешних сил равна нулю если система к которой они приложены, находится в равновесии. Этот принцип делает излишним кропотливое определение реакций. [c.74]

Вместо термина силы реакции можно пользоваться более ясным выражением силы геометрического происхождения . Они задаются геометрическими связями, существующими между различными частями системы, или, как в случае твердого тела, между отдельными материальными точками. Силам реакции мы противопоставляем то, что мы называли внешними силами . Вместо этого можно пользоваться более ясным термином силы физического происхождения или же сторонние силы, приложенные извне . Причина их лежит в физических воздействиях таковы, например, сила тяжести, давление пара, напряжение каната, действующее на систему извне, и т. д. Физическое происхождение этих сил проявляется в том, что в их математическом выражении содержатся особые, поддающиеся лишь опытному определению константы (постоянная тяготения, отсчитываемые по манометру или барометру деления шкалы и т. п.). Трение, о котором мы будем говорить в 14, нужно отнести частично к силам реакции, частично к сторонним силам к первым — если оно является трением покоя к последним — если оно является трением движения (в частности, трением скольжения). Трение покоя автоматически исключается принципом виртуальной работы, трение же скольжения нужно причислить к сторонним силам. Внешне это проявляется в том, что в закон трения скольжения [уравнение (14.4)] входит определяемый экспериментально коэффициент трения /. [c.75]

Вывести кинематические соотношения между угловыми скоростями П, о , o i, и о 2. Далее, с помощью принципа виртуальной работы вывести условия равновесия между моментом М действующим на колесо П (движущий момент), и моментами Mi, М2, приложенными к зубчаткам o i, UJ2- [c.331]

Ниже мы рассмотрим вариационную постановку задачи о динамическом росте трещины в линейно-упругих, а также нелинейных (упругих или неупругих) телах. Вначале исследуем динамику развития трещины в линейно-упругом материале. Рассмотрим два момента времени t и + в соответствии с которыми переменные, описывающие поля, обозначаются индексами 1 и 2. Пусть в момент времени ti объем тела будет l/ , внешняя граница тела с заданными нагрузками Т будет 5<л, поверхность трещины равна 5 . Предположим, что между моментами ti и ta площадь трещины изменяется на AS = S 2 — 5 . Для простоты считаем, что поверхность трещины свободна от приложенных нагрузок. Более общий случай, учитывающий объемные силы и нагрузку, приложенную к поверхности трещины, рассмотрен в [9, 10]. Принцип виртуальной работы, определяющий движение твердого тела между моментами ti и г г, когда происходит рост трещины, определяется следующим образом 19,10 [c.274]

Этот принцип может быть сформулирован и следующим образом если Ь W равна нулю на любых бесконечно малых виртуальных перемещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим связям, то механическая система находится в равновесии. Таким образом, принцип виртуальной работы эквивалентен уравнениям равновесия системы. Однако вариационная формулировка имеет значительно большее поле для приложений в задачах механики. Когда все внутренние и внешние силы обладают потенциалом U, который является функцией координат точек системы ), так что [c.16]

В этом параграфе будет выведен принцип виртуальной работы для рассматриваемого сплошного тела. Предположим, что оно находится в равновесии под действием массовых сил, приложенных на части поверхности внешних сил и при заданных перемещениях на Sj. Пусть точки тела испытывают бесконечно малые виртуальные перемещения fiu из положения равновесия, которые удовлетворяют краевым условиям на Sj. С использованием уравнений равновесия (3.22) и краевых условий в напряжениях (3.40), а также равенства би = fir получаем [c.90]

До еих пор мы выводили принцип виртуальной работы и связанные е иим вариационные принципы для различных упругих задач. В последующих пяти главах эти принципы будут применяться к различным задачам стержней, балок, пластин, оболочек и дискретным конструкциям. В этих приложениях материал тела будем считать изотропным и однородным и будем пользоваться теорией малых перемещений, если обратное не оговорено. Далее в этих задачах мы будем использовать обычные обозначения. В гл. 7—9 вместо будут применяться обозначения и, [c.154]

В этом приложении рассмотрим квазистатическую формулировку динамической задачи, рассмотренной в 5.5. Под квази-статическим понимается такой процесс, в котором заданные массовые силы, поверхностные силы и перемещения меняются со временем столь медленно, что инерционными членами в уравнениях движения можно пренебречь. Очевидно, что принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы можно сформулировать так же, как и в гл. 3, за исключением того, что время t теперь играет роль параметра. Соответственно в квазистатической задаче нас прежде всего будут интересовать скорости напряжений и перемещений считая заданными распределения напряжений и перемещений в теле в начальный момент времени, найти производные по времени от напряжений и перемещений й , индуцированных в теле (точка означает дифференцирование по времени). [c.497]

В 1788 г. Лагранж, обобщая работы своих предшественников сформулировал весьма удобный в приложениях принцип виртуальных перемещений, устанавливающий условия равновесия системы материальных точек с идеальными и стационарными связями. Многие годы это был именно принцип, т. е. положение, принимаемое без доказательства. В настоящее время предпочитают, пользуясь законами Ньютона и их следствиями, все условия этого принципа строго доказывать, иначе говоря, принцип стали рассматривать как теорему. Помня об анахронизме названия, мы сформулируем и приведем доказательство принципа виртуальных перемещений для частного случая, когда связи не только идеальные и стационарные, но и удерживающие ). [c.414]

Тело, имеющее неподвижную ось. — Силами связи являются в данном случае реакции опор, которые удерживают ось неподвижной. Для отсутствия трения, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы эти реакции могли быть приведены к силам, приложенным в точках оси. Тогда, в согласии с леммой, эти силы не будут производить работы при всяком перемещении, совместимом со связями, т. е. оставляющем неподвижными точки оси. Следовательно, принцип виртуальных перемещений применим в этом случае, и условие равновесия может быть из него выведено. Единственное виртуальное перемещение есть вращение ыЫ вокруг неподвижной оси. Уравнение (1) п 238 приводится к виду [c.294]

Принцип виртуальных перемещений. — Для равновесия материальной системы, подчиненной односторонним связям и находящейся в граничном положении, необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ прял о приложенных сил была равна нулю для всех обратимых перемещений и равна нулю или отрицательна для всех необратимых перемещений, если и те и другие совместимы со связями, наложенными на систему. [c.315]

Системы со связями без трения,—Рассмотрим материальную систему, на которую наложены связи без трения, не зависящие от времени. Эти связи могут входить в различные категории, изученные в статике при рассмотрении принципа виртуальных перемещений, например твердые тела, имеющие неподвижную ось или неподвижную точку, твердые тела, сочлененные между собою или скользящие одно по другому, и т. д. Связи могут также выражаться не зависящими от времени уравнениями между координатами различных точек системы или между этими координатами и их вариациями. Такие связи называются связями без трения или идеальными, если работа их реакций равна нулю для всякого перемещения, совместимого со связями. Работа реакций идеальных связей исчезает из уравнения живых сил, так как действительное перемещение совместимо со связями. Достаточно поэтому учитывать лишь работу других сил, представляющих собою силы прямо приложенные, или активные. Теорема живых сил принимает в этом случае следующую форму [c.17]

Легко видеть, что связи, рассмотренные нами в статике при изучении принципа виртуальных перемещений, будут связями без трения в случае ударов, если они представляют собой связи без трения в случае непрерывных сил. Действие и противодействие двух точек, производящие равные и противоположные ударные импульсы, не дадут никакой работы на таком перемещении, при котором расстояние между точками не изменяется. Нормальная реакция неподвижной поверхности или неподвижной кривой может произвести лишь нормальный ударный импульс, она не даст поэтому никакой работы, если ее точка приложения движется по поверхности или по кривой. Точно так же, если различные [c.48]

Принцип виртуальных перемещений утверждает, что данная механическая система будет находиться в равновесии в том и только том случае, когда полная виртуальная работа всех приложенных сил обращается в нуль [c.98]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

Резюме. Принцип виртуальных перемещений требует, чтобы в состоянии равновесия равнялась нулю работа приложенных сил при любой бесконечно малой вариации конфигурации системы, при которой не нарушаются наложенные кинематические связи. Для моно-генных сил это приводит к следующему условию в состоянии равновесия потенциальная энергия должна иметь стационарное значение по отношению ко всем кинематически возможным вариациям. [c.100]

Даламбер обобщил свои рассуждения о равновесии одной частицы на произвольную механическую систему. Принцип Даламбера утверждает, что любая система сил находится в равновесии, если мы добавляем к приложенным (активным) силам силы инерции. Это означает, что полная виртуальная работа всех приложенных сил и сил инерции равна нулю на обратимых перемещениях. Представляется удобным дать особое название силе, получающейся в результате сложения силы инерции 1 и заданной силы F, действующей на частицу. Мы назовем эту суммарную силу эффективной силой 1 и обозначим ее через F [c.114]

Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Принцип Даламбера не связан с понятием минимальности. В нем фигурирует бесконечно малая величина — виртуальная работа приложенных сил, к которой прибавлена виртуальная работа сил инерции, причем последняя величина не есть вариация какой-либо функции. Гаусс (1777—1855) предложил замечательную интерпретацию принципа Даламбера, вводящую в этот принцип понятие минимальности. Идею Гаусса можно изложить следующим образом. [c.130]

Принцип Гамильтона. В принципе Даламбера оперируют с неинтегрируемыми дифференциалами. Приравнивается нулю некоторая бесконечно малая величина — полная виртуальная работа приложенных и инерционных сил. Две составные части совершаемой работы, связанные с этими двумя категориями сил, резко различаются по своему характеру. Виртуальная работа приложенных сил — моногенный дифференциал, получаемый из силовой функции виртуальную работу сил инерции нельзя получить из какой-либо одной функции — ее приходится выписывать для каждой частицы в отдельности. Это ставит силы инерции в очень невыгодное положение по сравнению с приложенными силами. Большое теоретическое и практическое значение имеет тот факт, что это положение может быть исправлено путем преобразования, которое придает принципу Даламбера моногенный характер. Хотя в неявном виде это использовалось еще Эйлером и Лагранжем, Га- [c.136]

Чтобы найти условия равновесия гибкой нерастяжимой нити В fij, обратимся к принципу виртуальных перемещений, причём для общности предположим, что нить разомкнутая. Тогда, если обозначим через виртуальную работу сил и /=,, приложенных к началу В и концу Sj нИти, то получим согласно предыдущему [c.397]

Применим теперь выражение (297) энергии деформации к вычислению деформации, произведенной в цилиндрической оболочке, двумя равными и противоположными силами Р, действующими по диаметру в сечении, отстоящем на расстоянии с от середины оболочки ) (рис. 252). Эти силы производят работу лишь на радиальных смещениях w точек их приложения, т. е. точек д = с, 9 = 0и9 = я. Так как члены с коэффициентами а и в выражениях для w н tPj [см. уравнения (е) и (f)] в этих точках обращаются в нуль, то в выражение для деформации войдут лишь члены с коэффициентами и Пользуясь принципом виртуальных перемещений, пишем [c.556]

Отбрасыванием суммы элементарных работ сил реакций связей на возможных перемещениях точек их приложения (используем современную терминологию) Лаплас получал общую формулу статики Лагранжа, или аналитическую запись принципа виртуальных скоростей, подчеркивая, что эта формула является простым следствием принципов геометрической статики. [c.102]

Такая же трактовка принципа виртуальных скоростей встречается в сочинениях Пуассона. Ученые Парижской Политехнической школы, разрабатывавшие индустриальную или техническую механику, придали энергетическую форму и трактовку величины, называемой ранее полным моментом сил. Г. Кориолис в Трактате о механике твердых тел и о расчете действия машин (1844) называет сумму произведений действующих сил на возможные перемещения точек их приложения по линии действия сил работой движения [8, с. IX]. Автор указывает, что термин работа для той же суммы используется Навье, Прони (можно добавить Понселе, если говорить об ученых первой половины XIX в.). [c.102]

Далее, принцип виртуальных перемещений обычно применяют к стационарным системам. В общем случае приложенные к точкам системы силы зависят от Т, (р — 1, , Тогда, кроме существования равновесного решения, предполагается равенство нулю виртуальной работы на этом решении для каждого момента времени [10]. Приведенное в [13, 14] доказательство соответствующего обобщения принципа повторяет классическое [2, 7-9]. [c.36]

Принцип виртуальных перемещений. Для равновесия стационарной материальной системы, стесненной идеальными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ активных сил, приложенных к точкам системы, была неположительна на любом виртуальном перемещении (неосвобождающем или освобождающем) [c.39]

Согласно принципу виртуальных перемещений для равновесия материальной системы с идеальными, стационарными, голономными и удерживающими связями необходимо и достаточно, чтобы при (0) = О суммарная работа всех активных сил, приложенных к системе, на любом виртуальном перемещении равнялась нулю [c.429]

Согласно принципу виртуальной работы, виртуальная работа Wg внещних сил Р на виртуальных смещениях их точек приложения равна виртуальной работе Wi = FK внутренних усилий F в стержнях на удлинениях X стержней. [c.92]

Две указанные выше классификации сил, действующих на материальную систему, играют ва>1<ную роль в динамике, поскольку с каждой из них связывается целая группа общих теорем и последующих конкретных приложений. Не будет поэтому лишним вспомнить, что аналогичные обстоятельства имели место в статике, где сначала, разделив силы на внешние и внутренние, мы пришли к основным условиям равновесия (т. I, гл. XII), приложимым в качествь необходимых к всевозможным типам материальных систем (например, к стержневым системам, нитям и т. д., гл. XIV) и, в частности, являющимся достаточными для равновесия твердого тела (гл. Х1П) затем в общей статике (гл. XV), отправляясь от разделения сил на активные силы и реакции и присоединяя ограничительные предпо--ложения о природе связей (отсутствие трения), мы пришли, примени принцип виртуальной работы, к исключению неизвестных реакций н условий равновесия. [c.256]

Общее соотношение динамики установлено при явном предположении, что система находится исключительно под действием заданных активных сил и заданных связей без трения, т. е. реакций, З довлетворяющих принципу виртуальных работ. Но может случиться (и это будет даже более общим случаем), что наряду с этими реакциями действуют другие (в виде пассивных сопротивлений или, в частности, трения, происходящего от шероховатых связей, и т. п.), которые не подчиняются принципу виртуальных работ. В этом предположении способ, посредством которого приходят к общему соотношению динамики, можно повторить с единственным изменением, что в числе сил, прямо приложенных к точке Р,-, наряду с результирующей Fi активных сил в собственном смысле рассматривается и результирующая ф,- указанных выше действий, которые не упоминаются в принципе виртуальных работ. Таким способом приходят к символическому соотношению N [c.269]

Когда твердое тело имеет неподвижную точку, то силы связи представляют собою реакции тех внешних тел, которые обеспечивают неподвижность этой точки. Условие отсутствия трения заключается в том, что реакции эти приводятся к одной результирующей, проходящей через неподвижную точку, без пары. Влияние трения равносильно действию пары, стесняющсй свободное вращение вокруг неподвижной точки. В том случае, когда пары нет, сумма виртуальных работ реакций приводится, как мы видим (п° 237), к работе их результирующей, приложенной к неподвижной точке эта работа равна нулю, так как точка приложения силы неподвижна. Таким образом, в согласии с леммой (п 232) работа сил связи равна нулю для всех перемещений, совместимых со связями, и потому принцип виртуальных перемещений применим к данному случаю. [c.293]

Предположим теперь, что поверхность 5, связанная с телом, вынужден катиться и вертеться без скольжения по неподвижной поверхности S. Силы связи в этом случае, как и в предыдущем, представляют собою реакции, производимые неподвижной поверхностью. Попрежнему говорят, что трения нет, если эти реакции имеют равнодействующую, проходящую через точку касания при этом принимают, что равнодействующая приложена в этой точке твердого тела. Но так как скорость точки касания, по предположению, равна нулю при всяком перемещении, со-нместимом со связями, то работа равнодействующей, приложенной к этой точке, также равна нулю, что согласуется с основной леммой. Следовательно, в этом случае можно применить принцип виртуальных перемещений к выводу условий равновесия тела. [c.295]

Для отсутствия трения необходимо, чтобы реакции, производимые на поверхность движущегос/i твердого тела бесконечно малым элементом неподвижной поверхности, имели равнодейсгвующую, проходящую через этот элемент и нормальную к общей касательной плоскости. Эта равнодействующая, будучи приложена в точке твердого тела, которая может скользить по элементу неподвижной поверхности, нормальна к перемещению точки приложения и не производит работы. Таким образом, основная лемма верна, и принцип виртуальных перемещений применим. [c.297]

Мы можем теперь дать физическую интерпретацию принципа виртуальных перемещений. Согласно механике Ньютона, состояние равновесия требует, чтобы результирующая сила, действующая на любую частицу системы, была равна нулю. Эта результирующая сила есть сумма приложенных сил и сил, обеспечивающих выполнение наложенных связей. Последние обычно называются силами реакции . Так как условие равновесия требует, чтобы сумма приложенной силы и рез,ультирующей сил реакции равнялась нулю , то виртуальная работа приложенных сил равна виртуальной работе сил реакции, взятой с обратным знаком. Следовательно, принцип виртуальных перемещений можно сформулировать в несколько другом виде, который мы будем называть постулатом А [c.99]

Принцип возможной (виртуальной) работы может быть выведен из уравнений равновесия и наоборот, что указывает на их взаимозаменяемость. Представим себе, что тело заменяется эквивалентной системой частиц, соединенных невесомыми упругими пружинами. Пусть и, v, w — перемещения характерной частицы в направлении осей х, у, z, а du, dv, dw — изменения этих перемещений. Затем для каждой частицы запишем уравнения равновесия 2 /х = 2 /у = 2 /г = умножим каждое из этих урав-, нений соответственно на перемещения du, dy, dw каждой частицы и сложим все уравнения. В получающемся при этом выражении произведения компонент нагрузок на компоненты перемещений (в направлении нагрузок и в месте их приложения) складывают-, ся в pa6oTyj совершаемую нагрузками когда соответствующие произведения, включающие силы, возникающие из-за действия пружин, складываются с отрицательным по знаку изменением "энергии упрулЬй деформации, их сумма получается равной нулю. [c.25]

Не следует думать, что И. Бернулли, поделившись с Вариньоном своими соображениями, больше к принципу не возвращался. Наоборот, он придавал ему большое значение. Это видно из того, что в работе, представленной в Парижскую академию наук в 1724 г. на соискание премии используется принцип виртуальных скоростей. В этой работе дано определение виртуаль-ной скорости, в котором уже с полной определенностью говорится о малых смещениях точек системы (соответственно о малых приращениях скоростей). Виртуальная скорость — это элемент скорости, который каждое тело приобретает или теряет от уже имеющейся скорости по направлению силы за бесконечно малое время В этой редакции, подчеркивающей малость приращения скоростей, можно усмотреть влияние рассуждений Декарта о трудностях, возникаюпщх при немалых смещениях точек приложения сил. [c.137]

Обычная процедура нахождения матриц жесткости для отдельных элементов, на которые разделена конструкция, основана на предположении, что перемещения можно представить в виде степенных рядов (по координатам). В этом случае деформации находятся путем дифференцирования, а матрица жесткости получается из условия равенства виртуальных работ для внутренних и внешних сил. Если используют принцип минимума полной потенциальной энергии, то приходят к известному методу перемещений. Другой известный метод — метод сил — основан на принципе минимума дополнительной энергии. В каждом из этих подходов могут возникать трудности, связанные с возможным появлением разрывов исследуемых величин в узловых точках. Нагрузка от распределенного по поверхности элемента давления должна быть сведена к сосредоточенным силам, приложенным в узлах при этом вычисление внутренней энергии элементов может быть сложным. Если с большой математической строгостью подойти к вопросам обобщения метода, проверки его основных положений, исследования сходимости и т. д., то его еще не сразу можно применить к расчетам реальных консг-рукций. [c.106]

Весьма широкое обобш,ение и суш.ественное углубление в понимании принципа виртуальных скоростей содержится в работах выдаюш е гося русского ученого М. В. Остроградского (1801 —1861). В 1834 г. он закончил (и доложил результаты) исследование под названием Обш,ие соображения относительно моментов сил (опубликовано в 1838 г.). Рассматривая сумму произведений величин сил на величины возможных перемеш,ений точек их приложения и на косинус угла между ними, т. е. ту величину, которую ученые индустриальной механики называли работой силы, Остроградский пользовался архаичным названием момент сил , хотя от полного момента сил в смысле Лагранжа, Фурье и других ученых XVIII в. полный момент сил по Остроградскому отличался знаком. Таким образом, полный момент сил в смысле Остроградского соответствует суммарной работе сил на возможных перемещениях. [c.103]

Все энергетические теоремы теории упругости основаны на принципе возможной (виртуальной) работы. Существуют различные интерлретации этого принципа, которые приводят к теоремам, имеющим большое значение для приложений (см. схему на стр. 90). [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...