Условие сходимости устойчивости

Это требование к разностной схеме называют условием сходимости. Для сходимости разностной схемы необходимо и достаточно выполнения двух других условий — аппроксимации и устойчивости, которые будут пояснены ниже на примере схем Эйлера. [c.28]

Уровень максимальный устойчивых стационарных колебаний 102 Усилитель гидравлический 37 Ускорение программное 72 Условие сходимости 78 [c.350]

Данное условие является также условием устойчивости решения дифференциального уравнения типа (F). При этом под выражением величина следует понимать л = 1- Ь . если >ь=а+/й. Очевидно, условие сходимости выглядит следующим образом [c.120]

Предложенный подход может быть использован и для решения задач устойчивости оболочек в экстремальных условиях температурного и силового нагружения. В этом случае критерием потери устойчивости оболочки может служить невозможность выполнения второго условия сходимости (8.22), т. е. неустойчивость по геометрической нелинейности. Дробление прираш ения силового и температурного нагружения позволяет уточнить верхнее критическое значение нагрузки [9], или критическое значение времени и числа циклов нагружения. [c.160]

Это соотношение следует из условия сходимости и устойчивости решения. Если шаги интегрирования выбраны согласно соотношению (2-63), то расчет температурного поля в стенке производится по зависимости (2-62). Схема расчета показана на рис. 2-16. [c.71]

На рис. 2 приведены результаты расчета температурного поля, когда (0, т) = 1,1, а все остальные исходные данные сохраняются неизменными. Расчеты, проведенные также для других значений h, I, I, показывают, что нарушение условий сходимости (9) — (12) приводит к потере устойчивости счета. [c.119]

При выборе пространственных и временных интервалов можно не учитывать условия сходимости и устойчивости разностного уравнения [5—7], так как оно решается в неявной форме. [c.401]

Таким образом, положительный алгебраический знак определителя (670) является достаточным условием сходимости переходного процесса, и следовательно, устойчивости системы регулирования. Критерий устойчивости в форме определителя [c.491]

Первые два неравенства являются необходимыми условиями сходимости. В соответствии с ними сходящиеся процессы располагаются в первом квадранте диаграммы, приведенной на фиг. 279. Последнее неравенство, являясь развернутым определителем Гурвица, представляет собой необходимое и достаточное условие сходимости процессов и устойчивости систем. Если это неравенство не выполняется, процессы становятся расходящимися, а система регулирования неустойчивой. [c.498]

С математической точки зрения рассматриваются дифференциально-разностные аппроксимации динамической системы уравнений Ламе, имеющие вид уравнений Ньютона, и устанавливаются условия сходимости данной аппроксимации. Разностные схемы, изученные О. А. Ладыженской в работе [29], не входят в рассматриваемый класс приближений, но при исследовании устойчивости используется предложенный там метод Фурье. [c.239]

Разностные методы должны гарантировать сходимость к точному решению дифференциальных уравнений. Необходимым условием сходимости является устойчивость этих методов. [c.65]

Корректность и устойчивость схемы. Принятым методом проверки сходимости разностной схемы является теоретическое исследование ее свойств аппроксимации и устойчивости, наличие которых оказывается необходимым и достаточным условием сходимости. [c.154]

Остановимся далее на вопросах устойчивости и сходимости разностных схем. Сходимость разностных схем является следствием правильной аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и устойчивостью последних. В настоящее время разработаны строгие методы анализа устойчивости разностных схем (см., например, [3—5]). Воспользуемся, однако, упрощенным, но физически более понятным способом для определения условий устойчивости явных разностных схем. В качестве примера исследуем разностное уравнение (3.17). Очевидно, что в процессе решения устойчивой разностной схемы искомая функция должна всегда оставаться ограниченной по величине. Применительно к соотношению (3.17) это условие будет заведомо выполнено, если функция йг, ь+1 В любой момент времени т удовлетворяет условию [c.64]

Система разностных уравнений (7.55), (7.57) устойчива к малым возмущениям правой части уравнения и граничных условий, что обеспечивает вместе с аппроксимацией сходимость разностной схемы, т. е. [c.249]

Требование сходимости приводит, в свою очередь, к требованию выполнения для разностной схемы двух условий—аппроксимации и устойчивости. Можно доказать (см. ниже), что при наличии аппроксимации и устойчивости всегда будет иметь место и сходимость. Остановимся на понятиях аппроксимации и устойчивости подробнее, начав с первого. [c.75]

Иначе говоря, различие между уравнениями разностной схемы и точными уравнениями должно уменьшаться при уменьшении шагов Ат и h. Стремление к ну 1Ю отличительных членов и позволяет надеяться на сходимость к Т/ ведь если уравнения почти одинаковы , то н решения, по-видимому, должны быть почти одинаковы . Однако ниже мы увидим, что последний тезис не всегда справедлив, так как и при наличии аппроксимации решения могут быть не близки, если не выполняется условие устойчивости. [c.76]

Теперь рассмотрим связь между аппроксимацией, устойчивостью И СХОДИМОСТЬЮ, при наличии аппроксимации [условия (3.20)1 и устойчивости [условия (3.21)1 всегда имеет место и сходимость. Действительно, из условия аппроксимации [c.78]

Такой подход не является более строгим, но он дает возможность решать задачи при разнообразных краевых условиях, оценить погрешность перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разностях и более просто провести анализ условий устойчивости и сходимости решения. [c.110]

Во второй главе изложена методика отыскания асимптотически устойчивых предельных режимов движения машинных агрегатов. С помощью принципа сжимающих отображений построен равномерно сходящийся итерационный процесс, позволяющий с любой степенью точности находить предельные режимы. Принципиальной особенностью данного метода, отличающего его от других методов, используемых в динамике машин, является то, что он совершенно не связан со случайным выбором начальных условий, величиной промежутка и шага интегрирования, а приближения к искомому режиму находятся в виде функций, определенных на всем промежутке изменения угла поворота главного вала. Исследованы характер и скорость сходимости итерационного процесса. Найдены удобные для инженерных расчетов формулы, позволяющие программировать весь процесс вычислений и на каждом шаге оценивать погрешности, с которыми получаемые приближения воспроизводят предельный режим. [c.8]

В теорию устойчивости большой вклад внес А. М. Ляпунов [29]. Его работу продолжили И. Г, Малкин, Г. Н. Дубошин, В. В. Степанов [37]. В теории линейных фильтров часто применяют интегральный критерий, который основан на свойстве частного интеграла дифференциального уравнения, описывающего движение системы, вызванное единичным импульсом . Если обозначить этот интеграл через А(/), то условием устойчивости является сходимость. [c.383]

Четвертое направление объединяет работы, в которых используются различные приближенные методы. Их можно разделить на пять групп. В первую входят исследования с применением конечно-разностных методов в их различной трактовке. Так, например, в [4, 31, 33, 145, 169, 171, 182, 235] исходные дифференциальные уравнения заменяются разностными с последующим решением полученной системы алгебраических уравнений на -ЭЦВМ. В ряде случаев целесообразно предварительно свести задачу к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое затем решается численно [53, 57]. Возможно также использование методов конечных элементов [133] и коллокаций [8, 104, 105]. Здесь необходимо отметить, что, кроме изучения сходимости этих методов, следует иметь в виду устойчивость вычислительного процесса [6]. Как показывают последние исследования, это условие является весьма существенным при реализации численных методов на ЭЦВМ. [c.42]

Для исследования сходимости численного метода по количеству координатных функций и шагу ведущего параметра, а также для проверки эффективности предлагаемого подхода решен ряд задач упругого деформирования и устойчивости круглых пластин, сферических и конических оболочек. Результаты решений предшествуют анализу соответствующих задач ползучести. Некоторые из них сравниваются с данными литературы. Кроме того, целью предварительных расчетов является также оценка критических нагрузок, знание которых интересно при изучении устойчивости оболочек в условиях ползучести. [c.52]

При решении задач мгновенного деформирования открытых в вершине оболочек вращения сходимость метода по числу координатных функций можно проверять по степени удовлетворения однородных краевых условий для радиальных усилий в срединной поверхности и изгибающих моментов на внутреннем контуре (если он не подкреплен), так как они естественным образом вытекают из исходного вариационного уравнения. На рис. 38 приведены результаты численного решения задачи изгиба и устойчивости жестко защемленной по внешнему контуру сферической оболочки с центральным отверстием а—125 мм, Гк=62,5 мм, h = [c.75]

Таким образом, доказана сходимость как процесса простой итерации, так и процесса Зейделя. Отметим, что в процессе доказательства сходимости шаг сетки не вошел в оценку. Из этого можно сделать вывод о том, что доказательство верно в одинаковой степени для всех h, т. е. разностная схема корректна, и, следовательно, нет необходимости проверять устойчивость по граничным условиям [18]. [c.86]

Сопоставительные расчеты по МКЭ н методам предельного равновесия показали хорошую сходимость. Выполняя такие расчеты для различных условий проектирования, можно в каждом конкретном случае определить предельную устойчивую высоту откоса Нар. Между величинами Я р н Ншр для связных грунтов существует однозначная связь, определяемая свойствами грунта. При различных значениях угла внутреннего трения ф и коэффициента Пуассона р, построены графики Якр н Япр (рис. 5.12). Элементы Якр и Лцр приняты в относительных величинах Ha=yH/O m. Таким образом, при известной величине Якр можно по графику определить и предельную устойчивую высоту откоса. [c.133]

Принципиальным для случайных факторов является вопрос о статистической устойчивости. Исследование вероятностных моделей опирается на гипотезу о постоянстве неизвестной вероятности при данном комплексе условий. Часто неизвестные вероятности оценивают при небольшом числе опытов, связанных с изделиями данного типа, в то время как факт статистической устойчивости проверен на большой статистике изделий близких типов. И именно это дает основание рассчитывать на сходимость частости к неизвестной вероятности. Иногда априорный анализ позволяет установить диапазон возможных значений неизвестной вероятности. [c.487]

В задачах о контакте штампа с элементом тонкостенной конструкции обычно область со априори неизвестна. Тогда на первой итерации вводится допущение о двухстороннем характере связей. После решения задачи в такой постановке и нахождения (Л) избавляются от указанного допущения, исключая из области контакта участки, где условие (1.5) не выполняется. Решение повторяется снова для установленной области (О и так далее до сходимости. Подобный процесс последовательных приближений, основанных на идее спуска в некотором функциональном пространстве [142, 226], получил широкое распространение для решения задач о НДС и устойчивости при одностороннем контакте [41,45,96, П1, 121, 127, 184]. Условие разрешимости интегрального уравнения предложено для определения зон контакта в [48]. [c.14]

В настоящее время получить эффективные достаточные условия сходимости даже для относительно простых уравнений, как правило, не удается. Для практики большое значение имеют простые и вместе с тем близкие к достаточным, необходимые условия сходимости и устойчивости. Существующие методы, при помощи которых можно получить такие условия для некоторых классов разностных схем, например методы разделения переменных и интеграяа Фурье, далеко не исчерпывают все многообразие встречающихся схем. В последнее время широкое распространение получили некоторые практические методы исследования устойчивости разностных схем (например, так называемый метод замораживания коэффициентов для разностных уравнений с переменными коэффициентами). Теоретически они или не обоснованы или обоснованы только для частных случаев, но достаточно хорошо проверены на практике. [c.114]

Попутно оценивались более слабые, чем (5.4), условия сходимости, которые иногда применяются на практике установление трех и четырех значащих цифр в числе Нуссельта. В результате стало возможным провести некоторое сравнение. Так, установление трех знаков в числе Нуссельта при рещении задачи (5.1) на квадратной сетке 21X21 при Ка = 5-10 достигается за 25—30 шагов по времени при временном шаге т = 0,002 (которое близко к максимально допустимому), если применять неявную схему метода установления, предложенную в [43]. Отметим, что по устойчивости и экономичности она является одной из лучших эволюционных схем, применяемых для решения задач ЕК- При этом на каждом временном слое уравнения переноса тепла и завихренности, аппроксимированные с помощью схемы Самарского С, считаются по схеме переменных направлений, а разностное уравнение Пуассона для функции тока — методом последовательной верхней релаксации. [c.141]

О Брайен, Хаймен и Каплан [1950], а также Эдди [1949] определяют устойчивость исходя из роста или затухания ошибок округления. Лаке и Рихтмайер [1956] дают более общее определение устойчивости, устанавливая границу, до которой может возрастать любая компонента начальных данных в процессе численного расчета. Фундаментальную роль здесь играет теорема Лакса. Она устанавливает, что для системы линейных уравнений наличие устойчивости является необходимым и достаточным условием сходимости конечно-разностной схемы, аппроксимирующей систему дифференциальных уравнений. [c.27]

Точный критерий устойчивости в действительности не требуется с математической точки зрения. При исследовании нелинейных уравнений Хикс [1969] предлагает миновать вопросы, связанные с критериями устойчивости, и переходить непосредственно к сути дела, а именно к обеспечению сходимости разностного решения (Лаке и Рихтмайер [1956]). Главное состоит в том, что решение конечно-разностного уравнения должно сходиться к решению дифференциального уравнения в частных производных, а определение устойчивости представляет уже вторичный интерес. В свете сказанного теорема эквивалентности Лакса может применяться для непосредственного исследования сходимости при условии, что устойчивость определена таким образом, что оба эти понятия являются эквивалентными. [c.80]

Брили [1970], Брили и Уоллс [1971]) обнаружил, что условие сходимости для значения вихря на стенке в действительности накладывает ограничение на величину шага по времени вида Д/ а/Дх , где а — некоторое число, зависящее от задачи и от требований сходимости. Несмотря на то что метод фон Неймана указывает на безусловную устойчивость рассматриваемой схемы, оказывается, что неявное определение значений на стенке фактически приводит к ограничению на величину шага по времени, которое аналогично ограничению, имеюшему место для простейшей явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным. Такое поведение присуще пе только неявным схемам метода чередующихся иаправлепий, но и всем неявным схемам. [c.144]

Вернемся к методу установления. Для возмущения специального вида скорость сходимости определяется модулем перехода X, который для явной схемы (5.24) имеет вид (128). Наиболее медленно убывают низкочастотные возмущения, для которых из (5.28) получаем —х са + (И2 ). Условие устойчивости (5.29) огранич1[вает сверху допустимый шаг т положим [c.137]

Разностное уравнение (1.2), имеющее естсстзсниую порыпровку, обеспечивает сходимость рассматриваемого приближенного решения к точному при выполнении известных условий аппроксимации и устойчивости. Модифицированный многослойный разностный метод отличается от известных тем, что число временных слоев k, используемых при решении разностной аппроксимации уравнения (1.1), увеличивается на единицу при переходе к каждому последующему временному слою. При этом k фактически становится порядковым номером временного слоя. Для расчета всех k слоев используется один и тот же алгоритм. Расчет можно вести с переменным временным шагом Ат, предельная величина которого определяется спецификой и, главным образом, требуемой точностью решения конкретных инженерных задач. [c.23]

Желая получить метод исследования сходимости процессов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями высоких порядков, А. Стодола обратился к математику Цюрихского политехникума А. Гурвицу. Перед Гурвицем была поставлена задача отыскания необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять коэффициенты линейного уравнения п-го порядка в том случае, если процессы, описываемые этим уравнением, являются сходящимися, а система, следовательно, устойчивой. Таким образом, задача сводится к определению условий, при которых все действительные корни или действительные части комплексных корней характеристического уравнения имели бы отрицательную величину. [c.14]

Существует целый класс так называемых несовместных конечных элементов, которые образуются на основе функций ф , удовлетворяющих второму и третьему требованиям, т. е. линейной независимости и полноты, и не удовлетворяющих nepBOMv требованию принадлежности к энергетическому пространству Нд. В связи с этим оценки (1.13) —(1.17) непригодны для таких элементов и для доказательства сходимости здесь требуются новые приемы. Впервые доказательство сходимости для конкретного несовместного конечного элемента было получено в работе [83]. Рассматривался прямоугольный элемент плиты (элемент Клафа) с тремя степенями свободы в узле. При доказательстве существенно использовалась геометрия области (прямоугольнан плита) и граничные условия (защемление по контуру). Более общие приемы доказательства сходимости несовместных элементов были получены в работах [45, 69]. Здесь доказательство сходимости сводилось к проверке устойчивости системы (1.5) и выполнения условий кусочного тестирования. [c.11]

Более детальное исследование задачи содержится в работе [23.8], в которой решались уравнения в смещениях. Смещения задавались рядами, уравнение устойчивости решалось методом Бубнова. В результате задача сводилась к вычислению собственных чисел системы линейных алгебраических уравнений. Вычисления на ЭВМ производились с проверкой сходимости решения при увеличении порядка определителей. Наибольший порядок определителей равнялся 31. Погрешность вычислений при этом не превосходила 17о- В табл. 23.1 показаны значения-отношения p = NlN-B, где Л в берется согласно (2.8), для четырех вариантов граничных условий 51—S4 для оболоч-ки с го/Л = 100, V = 0,3. [c.280]

Этой проблеме посвящено много точных аналитических работ, причем исследовалось главным образом уравнение (3.4) с линейными граничными условиями. Следует подчеркнуть, что имеется несколько различных, но взаимосвязанных вопросов, в частности вопрос о сходимости, т. е. о том, стремятся ли решения разностных уравнений к решению нашего уравнения в частных производных, когда s и т -> О, и вопрос об устойчивости, т. е. вопрос о том, уменьшаются ли численные ошибки и ошибки округления с увеличением времени или увеличиваются. Фаулер [15] рассматривает вопрос о сходимости, изучая точные решения разностного уравнения (3.4). В работе [16] устойчивость уравнения (3.4) изучается методом, разработанным Нейманом в ней отмечено характерное превосходство неявных соотношений типа (3.11). В статьях Лойтерта [17] указывается, что сходимость возможна в некоторых случаях, в которых условие устойчивости не выполняется. Соотношения между сходимостью и устойчивостью рассматриваются также в работах [18, 19]. Последняя статья содержит довольно полное обсуждение этого вопроса с интересными численными примерами. В большинстве перечисленных выше работ подчеркивается, что сходимость и устойчивость зависят от формы начального и граничных условий. В них отмечаются трудности, с которыми приходится сталкиваться при исследовании линейных задач. В случае нелинейных задач эти вопросы пока еще практически не затрагивались. [c.460]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...