Математическое описание динамических систем

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.441]

Анализ физики явлений и известные методы математического описания динамических систем (с использованием диссипативной функции, уравнений кинетической и потенциальной энергий, а также Лагранжа) приводит нас к двум системам нелинейных дифференциальных уравнений. Первая из них с достаточным приближением описывает поведение ползуна в неподвижной системе координат XOV. [c.280]

Во многих технологических процессах в качестве рабочего тела используют двухфазные среды такие, как жидкость — газ, жидкость — твердые частицы и т. п. Для математического описания таких систем могут быть использованы упрощенные модели, которые являются частными случаями модели (28). Например, при решении задач дегазации или аэрирования жидкостей достаточно рассмотреть двухфазную среду жидкость — газ, динамическое поведение которой описывается системой (28), если индексы /, / принимают значения 1 и 2. При изучении закономерностей процессов очистки жидких сред от твердых примесей либо их диспергирования в жидкости, целесообразно рассматривать двухфазную среду жидкость — твердые частицы, сохранить в уравнениях (28) для индексов / и / значения 2 и 3, отбросив все уравнения, в которых фигурируют величины г и рд. [c.109]

Системы функций (21,. .., г ), В (21,. .., 2 ) совместно с (34) могут быть использованы, например, при математическом описании сложных систем, нелинейных динамических систем и широкого класса ЛДС. Причем логические функции соответствуют аппарату математической логики и могут быть использованы для их синтеза. [c.145]

Особенность данной книги состоит в том, что в ней осуществлена систематизация задач теоретического исследования динамических свойств технологических аппаратов и способов их рещения. Технологический аппарат и процесс, который в нем осуществляется, с самого начала рассматриваются как технологическая система, т. е. ее математическое описание представляется в форме оператора, связывающего входные и выходные параметры процесса. Такой подход весьма удобен при построении моделей сложных систем, состоящих из нескольких связанных между собой технологических аппаратов. В связи с этим изложение динамики химико-технологических процессов дается на основе общих понятий теории операторов. Элементы этой теории, используемые при исследовании динамики, изложены во второй главе. [c.4]

Условимся систему уравнений, определяющую функциональную связь метрических, кинематических и динамических параметров механизма, называть его математическим описанием. Это описание может иметь аналитическую или графическую форму. [c.47]

Необходимо иметь в виду еще и следующее. Расчетная схема, описываемая системой дифференциальных уравнений, составлена при известной идеализации физических систем. Поэтому не всегда можно быть уверенным, что математическое описание охватывает все стороны реального процесса. В этом случае требуется проверка либо на действующей машине, аналогичной проектируемой, либо на динамически подобной физической модели. Последняя является единственным и достаточно надежным средством проверки и уточнения методики расчета в случае создания новых машин. [c.105]

Учет с необходимой полнотой факторов, влияющих на динамические свойства механической системы, приводит к динамической модели этой системы такой сложности, что математическое описание и изучение динамических процессов на ее основе оказывается практически неосуществимым. В инженерной практике при построении динамических моделей физических систем обычно упрощают эти системы, учитывая лишь главные факторы, оказывающие решающее влияние на динамические свойства этих систем при рассмотрении определенного класса процессов. При этом можно говорить о корректных моделях, подразумевая под этим максимально допустимые по простоте модели, правильно отображающие те особенности динамического поведения реальной системы, которые подлежат изучению. [c.6]

Схематизация диссипативных свойств различных элементов является одним из наиболее сложных вопросов при построении динамических моделей механических систем и объясняется отсутствием достоверных математических описаний диссипативных явлений. Существующие предложения могут рассматриваться только как правдоподобные аппроксимации сложных нелинейных законов диссипативных сил. [c.11]

В книге рассматриваются методы динамического расчета механизмов циклового действия (кулачковых, рычажных, мальтийских и т. п.) и их приводов при учете упругости звеньев. Освещаются вопросы, связанные с выбо]зом динамической модели механизма и ее математическим описанием. Наряду с линейными динамическими моделями с постоянными параметрами в книге существенное внимание уделяется задачам динамики механизмов, требующим рассмотрения колебательных систем с переменными параметрами и нелинейными элементами. При решении этих задач используются некоторые новые методы анализа и динамического синтеза механизмов. Изложение иллюстрируется инженерными оценками, примерами, расчетным и экспериментальным материалом. [c.2]

Математическая модель парогенератора в целом включает в себя модели всех теплообменников условия, отражающие последовательность их расположения ио трактам рабочей среды и газа уравнения, описывающие смешение потоков модель топки уравнения граничных условий, описывающие связь между координатами системы и внешними возмущающими воздействиями в граничных сечениях моделирующей системы. Для описания линейных динамических систем с большим числом звеньев наиболее удобна векторно-матричная форма уравнений, в которых векторами являются входные и выходные координаты элементов системы, а матрицы составляются из их передаточных функций [Л. 75, 77]. Такая форма описания необходима для составления унифицированных алгоритмов и программ решения систем. Как указывалось в предыдущей главе, линейная модель парогенератора для поставленных целей должна составляться и реализовываться на основе частотных методов расчета. [c.138]

Математическая модель, пригодная для расчетов динамических свойств САР, должна включать в себя описание объекта, датчиков, регуляторов, а также информацию о связи между ними. При составлении модели САР мы, как и для объекта, будем пользоваться векторно-матричной формой описания, имеющей наибольшую общность и наглядность и естественной для линейных динамических систем. Математическая модель объекта в нашем случае может быть представлена в форме, разрешенной относительно выходных координат [c.165]

Статистическая динамика и родственные вопросы. Предметом статистической динамики является математическое описание и методы анализа стохастических моделей систем самой общей природы. Это могут быть модели механических, электрических, биологических и тому подобных систем. Теорию случайных колебаний можно рассматривать как приложение статистической динамики к системам определенного класса. Для расчета случайных колебаний необходимо иметь статистические данные о нагрузках и о свойствах системы. Поэтому к теории случайных колебаний примыкает теория статистической обработки опытных данных, а также теория идентификации динамических систем. Интерпретация вероятностных выводов о колебаниях требует применения методов теории надежности. [c.268]

Параллельно с развитием теоретического направления, обсуждавшегося в предыдущем разделе, развивалось и иное направление. Еще в 30-х годах группой математиков, ведущими среди которых были фон Нейман, Биркгоф и Хопф, был предложен новый подход к исследованию динамических систем. Этот подход полностью отличается по своему стилю и основным идеям от описанного в предыдущих разделах. Исследования, рассмотренные выше, были отчасти стимулированы астрономическими проблемами недаром первые основы такой теории заложил еще Пуанкаре в своем классическом Трактате о небесной механике . Здесь же нам предстоит обсудить направление, стимулированное непосредственно статистической механикой математики упорно стремятся обосновать некоторые предположения, сформулированные еще Больцманом и Гиббсом. Эти предположения считаются фундаментальными для статистической механики, однако им не было придано математической формулировки. [c.372]

Смешанные квантовые ансамбли. Описание многочастичных систем на основе решения уравнения Шредингера является столь же безнадежной задачей, как и описание классических многочастичных систем на основе решения уравнений Гамильтона. С математической точки зрения ясно, что точные решения уравнения Шредингера в большинстве случаев не могут быть получены в явном виде. Физическая же причина невозможности динамического описания состоит в том, что невозможно экспериментально привести макроскопическую систему в чистое квантовое состояние. Кроме того, реальные системы не являются полностью изолированными и в гамильтониане никогда не удается учесть вклад всех степеней свободы, связанных с внешним воздействием на систему. Поэтому в квантовой статистической механике приходится вводить ансамбли более общего типа, чем чистые ансамбли, а именно, — смешанные ансамбли (или смеси ), которые основаны на неполном наборе данных о системе. [c.26]

Перейдем к описанию математических моделей распределенных динамических систем. Разнообразие их столь велико, что едва ли можно говорить о сколько-нибудь обозримом наборе основных типовых моделей. Все же некоторые из них стали предметом пристального внимания и позволили существенно продвинуться в вопросах исследования волновых и диффузионных явлений, в изучении ламинарных и турбулентных гидродинамических и конвективных течений жидкостей и газов. [c.27]

Развитие методов динамического исследования механизмов с распределенными параметрами звеньев. Во многих машинах, применяемых в металлургии, горном деле, обогащении, в промышленности строительных материалов и в строительном производстве, представление звеньев в виде-систем, обладающих дискретными параметрами, т. е. сосредоточенными массами и жесткостями, во многих случаях не позволяет объяснить и количественно оценить явления, сопровождающие работу машины. Требуется более тщательный анализ стационарных и переходных процессов, возникающих в результате действия рабочих и инерционных нагрузок. В связи с этим приобретает большое значение развитие точных методов расчета,, основанных на математическом описании систем с учетом распределения параметров — массы и жесткости звеньев. [c.396]

Протекание процесса во времени, переход системы из одного состояния в другое называют динамикой процесса, причем для математического описания происходящих при этом явлений используются, как правило, интегродифференциальные уравнения. В ряде случаев при расчетах систем автоматического управления система СПИД, как некоторый динамический комплекс, может быть представлена так называемой передаточной функцией, [c.423]

Ниже проводится математическое описание нелинейных коэффициентов систем (3.1) и (3.2). Одновременно устанавливается связь между выходными переменными Уж, Ут, Е, е и новыми, более необходимыми в практике динамических расчетов станков. Кроме того, уточняются выражения для возмущающих воздействий (правые части уравнений). [c.281]

Теория динамических систем является фундаментальной математической дисциплиной, тесно связанной с большинством основных областей математики. Ее математической сердцевиной является изучение глобальной структуры орбит отображений и потоков, в особенности свойств, инвариантных относительно замен координат. Понятия, методы и представления теории динамических систем существенно стимулируют исследования во многих других отраслях знания, что уже привело к появлению обширной новой науки, называемой прикладной динамикой (а также нелинейной динамикой или теорией хаоса). Теория динамических систем включает несколько основных дисциплин, но мы рассматриваем в первую очередь конечномерную дифференциальную динамику. Эта теория тесно связана с рядом других дисциплин, в особенности с эргодической теорией, символической динамикой и топологической динамикой. До сих пор не существовало достаточно полного изложения дифференциальной динамики, в полной мере отражающего взаимосвязи с этими областями. Данная книга представляет собой, попытку заполнить этот пробел. Она содержит последовательное и исчерпывающее описание основ теории гладких динамических систем, а также связанных с этой теорией областей из других разделов динамики как фундаментальной математической дисциплины. В то же время исследователи, заинтересованные в приложениях, смогут найти здесь описание нужных им методов и представлений. Данная книга содержит введение и последовательное развитие центральных понятий и методов теории динамических систем и их приложения к широкому и разнообразному ряду тем. [c.12]

Теория гладких динамических систем, или дифференциальная динамика. Как показывает название, фазовое пространство в соответствующей теории обладает структурой гладкого многообразия, например является областью или замкнутой поверхностью в евклидовом пространстве (более детальное описание см. в 3 приложения). Эта теория, которая является основной темой данной книги, изучает диффеоморфизмы и потоки (гладкие однопараметрические группы диффеоморфизмов) на таких многообразиях и итерации необратимых дифференцируемых отображений. Мы будем рассматривать главным образом конечномерные ситуации. Интерес к бесконечномерным динамическим системам, который в большой степени стимулирован проблемами гидродинамики, статистической механики и других областей математической физики, непрерывно возрастал в течение последних двух десятилетий и продолжает расти. Несколько направлений бесконечномерной динамики успешно разрабатываются в значительной степени по аналогии с различными направлениями конечномерной динамики. [c.22]

Подавляющее большинство двумерных динамических систем, встречающихся в теоретической и математической физике при описании нелинейных эффектов, отвечают в рамках рассматриваемой конструкции выбору т+ = т- 1. В этом случае уравнения (1.4) существенно упрощаются [c.116]

Анри Пуанкаре (1854—1912) — французский математик, физик и философ, который был свидетелем как великого века классической механики, так и века революционных идей теории относительности и квантовой механики. Работа в области небесной механики привела его к вопросам динамической устойчивости и задаче нахождения точных математических выражений для описания динамической эволюции сложных систем. В процессе этих исследований он открыл метод сечений , ныне известный как сечение, или отображение, Пуанкаре. [c.12]

Предлагаемая вниманию читателей книга является монографией, посвященной описанию двумерных решеточных моделей в статистической физике, допускающих аналитическое решение. Анализ свойств решений таких моделей оказался чрезвычайно полезным для понимания поведения сложных реальных систем. Прежде всего следует напомнить о той важнейшей роли, которую исторически сыграло решение Онсагером модели Изинга. Эта модель, которая в пятидесятых годах рассматривалась как некоторая модель ферромагнетизма и интересный объект для математических упражнений, в шестидесятых годах после работ Янга и Ли стала важнейшим источником информации о свойствах фазовых переходов. Начиная с семидесятых годов представления и результаты теории модели Изинга и других двумерных решеточных систем, такие, как скейлинг, универсальность и т. д., стали плодотворно использоваться в теории поля. В самое последнее время указанные представления стали активно использоваться в теории нелинейных динамических систем при описании хаоса. [c.5]

Частотные характеристики ЖРД. Частотная характеристика наряду с математической моделью, примером которой может служить система уравнений (1.3.2), является эффективной и удобной формой описания динамических свойств линейных систем. [c.29]

Несмотря на рост в математической экологии числа моделей, использующих для описания уравнения в частных производных, все же модели, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений, остаются по-прежнему очень популярными. Очевидно, что в силу теоремы существования и единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений это описание (в противоположность вероятностному, стохастическому описанию, о котором речь пойдет в гл. Х1-ХП) является детерминистским. И если детерминистские модели значения переменных определяют однозначно, то стохастические дают распределение возможных значений, характеризуемое такими вероятностными показателями, как математическое ожидание (среднее), дисперсия и т.д. Не касаясь вопроса о возможностях каждого метода или предпочтения одного другому, заметим, что если при вероятностном подходе некоторый элемент неопределенности воспринимается как естественное следствие метода, то отнощение к детерминистскому, динамическому подходу обычно несколько другое. Считалось, как правило, что несовпадение данных наблюдений, реальных данных с теоретическими, полученными из модели, говорит о неадекватности, неполном соответствии динамической модели реальному процессу, и если построить более точную модель, то и соответствие будет большим. Конечно, с этим утверждением трудно спорить, однако в связи с возможностью появления динамического хаоса все оказалось гораздо сложнее. Выяснилось, что существует целый класс динамических систем, которые, несмотря на их полную детерминированность, демонстрируют типичное стохастическое поведение. И многие экологические модели попадают в этот класс. [c.242]

При современном развитии средств вычислительной техники ценность машинного моделирования в инженерных и научных исследованиях динамических систем определяется в первую очередь тем, что оно наилучшим образом помогает осмыслить связь между физической сущностью и математическим описанием процесса при его изучении. Машинные модели служат при этом своеобразным зеркалом , проверяющим гипотезы исследователя, позволяя наиболее гибко использовать его логику и интуицию. [c.5]

Для математического описания и оптимизации складских систем удобно воспользоваться понятием агрегата, своеобразного модуля, на которые можно расчленить сложные динамические, в том числе и иерархические системы [4]. Представление элементов системы в виде агрегатов неоднозначно например, в качестве агрегата можно представить функционирование грузового фронта, экспедиции отправления и прибытия, секции комплектации и т. д. В более обобщенном виде агрегат может интерпретировать работу склада (рис. 4.3). [c.199]

Эффективность и конструктивность данного метода получаются ценой отказа от некоторой общности в выборе моделей. динамических систем и случайных воздействий. Однако используемые модели довольно типичны, с ними обычно встречаются в задачах статистического описания динамических систем при случайных воздействиях. Естественно, что метод не исчерпывается рассмотренными примерами. Например, очевидны возможности применений к гораздо большему числу задач, в которых фигурируют не скалярные, а многомерные случайные процессы. Дальнейшее в этом плане обобщение на случайные поля (а не процессы) представляет интересную, но пока не разработанную область. В настоящее время рабочими моделями поля случайных воздействий являются лишь дельта-коррели- рованные гауссовские поля, а используемым математическим аппаратом — аппарат функционального интегрирования и диф- ференцирования. [c.156]

В настоящее время для исследования этих систем используются два разных подхода, отличающихся типом математической модели, которая отражает поведение динамической системы. При одном подходе математическая модель динамической системы 5 основывается на понятии состояния X, под которым понимается описание системы 5 в некоторый момент времени ), и на понятии оператора Т, определяющего изменение этого состояния х во времени. Оператор Т указывает процедуру, выполняя которую можно по описанию л (О в момент времени t найти описание л (/ + А ) той же системы в некоторый следующий момент времени t + Af. Если оператор Т не зависит явно от времени, то система S называется автономной, в противном случае — неавтономной. Состояние л системы S можно рассматривать как точку некоторого пространства Ф, называемого фазовым пространством системы 5. Изменению состояния х отвечает в фазовом пространстве Ф движение соответствующей T04i y, которая называется изображающей. При этом движении изображающая точка описывает кривую, назы- [c.8]

Таким образом, мы приходим к идее статистаческого описания системы многих тел. Здесь математический объект, представляющий систему,— это уже не некоторая точка в фазовом пространстве, а совокупность точек в фазовом пространстве, причем каждая из них характеризуется определенным весом, выраженным некоторым числом. Такая совокупность точек, каждой из которых приписывается определенный вес, будет далее называться ансамблем. Наблюдаемое значение динамической функции отождествляется со средним по ансамблю значением микроскопической функции. Значение, полученное таким способом, интерпретируется как усредненный результат большого количества идентичных экспериментов. [c.50]

Математическая модель играет в теории колебаний двоякую роль это и идеализированное описание реальных динамических систем, и математическая модель, отображающая различные колебательные явления гармонические колебания, нарастающие и затухающие колебания, автоколебания, жесткий и мягкий режимы их возникновения, вынужденные колебания, резонанс, параметрическое возбуждение колебаний, стохастические и хаотические колебания, различные волновые явления, бегущие и стоячие волиы, возникновение ударных волн, различные типы взаимодействия волн и многое другое. [c.7]

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ И МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ОДНОГО КЛАССА ЛОГИКО-ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.127]

Существенным является то, что ограничения (3) часто нельзя представить в удобном аналитическом виде часть из этих ограничений может содержать графические, табличные соотношения, логические операторы, функционалы. Вследствие этого при исследовании и разработке технических систем естественным представляется объединение двух концепций а) представление. технических систем в виде логико-динамических моделей б) алгоритмизация процесса исследования математической модели. В частности, последнее обусловливает необходимость разработки алгоритма логики анализа , который затем осуществляется вычислительной машиной. В связи с изложенным выше далее дана классификация технических систем по виду их математического описания. [c.132]

Проводится математическое описание поведения гидродомкрата, функционирующего в САКСД несущих систем станка. Разработана динамическая структура и получены передаточные функции по различным возмущающим воздействиям. Экспериментально подтверждена допустимость использования теоретически полученных результатов при синтезе САКСД. Библ. 5 назв. Илл. 4. [c.524]

Наиболее эффективными методы символической динамики оказываются в тех ситуациях, где изучаемые детерминированные системы обнаруживают аналогию со случайными процессами. К настоящему времени накопился ряд примеров и даже целые классы динамических систем, в том числе п с конкретным физическим содержанием, которым присущи черты квазнслучайного поведения и для описания которых удобно пользоваться топологическими аналогами некоторых понятий вероятностного происхождения, Подчеркнем, что речь здесь вовсе ие идет о рассмотрении моделей, в которых эволюция явно или неявно подвержена воздействию Случая (в виде случайных параметров, случайных начальных условий или случайного внешнего шума). Мы по-прежнему остаемся в рамках математического детерминизма, т. е. един- Мир , 1979 [c.196]

Понятия о колебательных движениях и волнах сформулировались в начале XIX в. В то время получены линейные решения уравнений теоретической механики и гидродинамики, описывающие движения планет и волн на воде. Несколько позднее благодаря наблюдательности Д. С. Рассела [186], теоретическим исследованиям Б. Римана [97, 99] и других исследователей сформировалось понятие о нелинейных волнах. Однако, если линейные колебания и волны были весьма полно изучены в XIX в., что нашло отражение в фундаментальном курсе Д. Рэлея [177], то этого нельзя сказать о нелинейных колебаниях. Сознание того, что нелинейные уравнения содержат в себе качественно новую информацию об окружающем мире пришло после разработки А. Пуанкаре новых методов их изучения. Созданные им и другими исследователями методы интегрирования нелинейных уравнений нашли широкое применение в радиофизике [6] и механике твердых тел [73]. Более медленно нелинейные понятия и подходы входили в механику жидкости и твердого деформируемого тела. Показательно, что первые монографии, посвященные нелинейному поведению деформируемых систем, были опубликованы на-рубеже первой половины XX в. [39, 72, 107, 153]. В это же время резко возрос интерес к нелинейным колебаниям и волнам в различных сплошных средах. Сформировались нелинейная оптика, нелинейная акустика [97, 173], теория ударных волн [9, 198] и другие нелинейные науки [184, 195, 207]. В них рассматриваются обычно закономерности формоизменения волн, взаимодействия их друг с другом и физическими полями в безграничных средах. Нелинейные волны в ограниченных средах исследованы в значительно меньшей степени, несмотря на то что они интересны для приложений. В последнем случае важнейшее значение приобретает проблема формирования волн в среде в результате силового, кинематического, теплового или ударного нагружения ее границ. Сложность проблемы связана с необходимостью учета физических явлений, которые обычно не проявляют себя вдали от границ, таких как плавление, испарение и разрушение среды, а также взаимодействия соприкасающихся сред. В монографии рассмотрен широкий круг задач генерации и распространения нелинейных волн давления, деформаций, напряжений в ограниченных неоднородных сплошных средах. Большое внимание уделено динамическому разрушению и испарению жидких и твердых сред вблизи границ, модельным построениям для адекватного математического описания этих процессов. Анализируется влияние на них взаимодействия соприкасающихся сред, а также механических и тепловых явлений, происходящих в объемах, прилегающих к границам. [c.3]

Существенной чертой уравнений в вариационных производных для характеристического функционала является их линейность. При этом задача вероятностного описания нелинейных распределенных динамических систем сводится к решению линейных, но на классе уравнений большей размерности. Аналогичная ситуация имеет место при анализе нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенньти дифференциальными уравнениями. Их статистический анализ, как мы видели, может быть проведен в рамках стохастических уравнений Лиувилля, т. е. линейных уравнений в частных производных. Следует, однако, сказать, что математические средства (функциональный аппарат) решений уравнений в вариационных производных развиты цока недостаточно. [c.148]

Здесь не место рассматривать в деталях биологические теории, однако мы можем сделать один принципиальный вывод если Хайек прав в своих взглядах на природу рыночной конкуренции и эволюции социальных институтов, то математические метафоры, используемые для построения моделей, описывающих подобные процессы, должны в корне измениться. Естественным языком для описания подобных систем будут теория информации, равновесная и неравновесная статистическая термодинамика. Изменения в языке описания не могут не привести к коренному изменению теории. Модели рыночного равновесия должны полностью изменить и свой смысл, и свой аппарат. Метафоры механического равновесия, динамической системы, обратной связи здесь уже вряд ли будут пригодными. [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...