Конечно-разностный метод (метод сеток)

В связи с широким использованием вычислительных машин по-новому оцениваются возможности численных методов решения дифференциальных уравнений, таких, как конечно-разностный метод (метод сеток). [c.189]

Конечно-разностный метод (метод сеток) [c.206]

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД (МЕТОД СЕТОК) 203 [c.209]

Приближенная замена дифференциальных уравнений системами конечно-разностных уравнений метода сеток означает переход от континуальной расчетной модели с непрерывным распределением материала к дискретной модели с концентрацией материала в отдельных точках, стержнях, сечениях. [c.66]

В работе [238] использован конечно-разностный численный метод сеток (см. раздел 1.2.6) для рассмотрения стационарного течения по степенному закону. [c.88]

Конечно-разностный численный метод сеток 88 [c.352]

В связи с интенсивным развитием вычислительной техники в последнее время получил большое распространение конечно-разностный метод решения задач нестационарной теплопроводности, или метод сеток. Методом конечных разностей может быть решена практически любая задача теплопроводности с произвольными начальными и фаничными условиями и переменными физическими параметрами тела. [c.115]

Основной метод решения уравнений, описывающих процессы в лазерах, — метод разностных схем [89, 901, называемый также методом конечных разностей или методом сеток. В соответствии с методом конечных разностей вместо точного решения исходной задачи ищется ее приближенное решение в отдельных точках (узлах сеточной области), называемое сеточными функциями. Система дифференциальных уравнений при этом заменяется системой алгебраических уравнений для сеточных функций. [c.38]

Подавляющему большинству практических задач, возникающих в инженерном деле и прикладных науках, присуща чрезвычайная нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам, так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов и решения, как правило, приходится так или иначе искать численно. Наиболее распространенные численные методы основываются на достаточно мелком подразделении изучаемой области либо путем введения линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах, как в конечно-разностных методах, либо путем разбиения области на большое число дискретных элементов простой структуры, как в методах конечных элементов. [c.9]

Легко показать, что уравнения, полученные в результате объединения выраженных в явном внде жесткостей треугольных элементов для регулярных сеток (фиг. 15.3,о), совпадают с уравнениями, полученными известными конечно-разностными методами [Ю]. Очевидно, что и решения, полученные этими ме- [c.324]

При вычислении нерегулярных границ конечно-разностными методами можно использовать специальные приемы. Один из таких подходов заключается в использовании специальных уравнений вблизи границ, например характеристических соотношений. Можно применять неравномерные сетки вблизи границ тела и записывать уравнения для неравномерных сеток. При этом можно использовать координатные преобразования, при которых граница переходит в одну из координатных линий. Если преобразуется только одна координата, то в этом случае все достаточно просто. [c.53]

Универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений и их систем является разностный метод, называемый еще методом конечных разностей или методом сеток. Сущность этого метода заключается в том, что в области изменения переменных величин вводят некоторую сетку, а все производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяют алгебраическими комбинациями от значений функции в узлах сетки. Рещая полученную в результате такой замены систему [c.58]

Уравнения (8.53) образуют замкнутую систему относительно функций Q и 1>. В численном методе сеток эту систему записывают в конечно-разностной форме, заменяя производные их разностными аналогами по формулам численного дифференцирования. Для этого область течения покрывают сеткой со сторонами Ах и Ау по координатным направлениям. Расчетный интервал времени делят на отрезки At. Каждой узловой точке сетки приписывают пару индексов i, k, определяющих ее координаты Xi = = iAx, r/ft = kAy. Момент времени характеризуется временной координатой nAt. [c.319]

Выбор конечно-разностной схемы для численного решения уравнения теплопроводности. Уравнение теплопроводности при переменных граничных условиях и наличии лучистого теплообмена на границе тела может быть решена методом сеток. При решении задачи по явной разностной схеме допустимый шаг по времени [c.194]

Вторая группа — математическое моделирование — реализуется методом взаимосвязанных контуров (МВК) и методами сеток (конечно-разностным — МКР и с помощью конечных элементов — МКЭ) с привлечением относительно мощных ЭВМ. [c.78]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Наибольшей универсальностью обладает метод конечных разностей (сеток) [Л. 54], пригодный для решения как линейных, так н нелинейных уравнений в частных производных с различным числом независимых координат. Метод сеток основан на замене производных по всем направлениям конечными разностями, подсчитываемыми по значениям искомых функций в узлах многомерной координатной сетки, покрывающей всю область решения. Шаг изменения координат должен быть приспособлен к границам области. Аппроксимируются соответствующими разностными операторами и граничные условия. В результате система уравнений в частных про-82 [c.82]

Численный метод часто называют методом конечных разностей (разностным методом) или методом сеток. [c.36]

Иногда сгущение конечно-разностной сетки выполняется только в области с большими градиентами вычисляемого неизвестного параметра. Такой подход носит название метода адаптивных сеток. [c.488]

Метод конечных разностей (МКР), или метод сеток целесообразно рассматривать как вариационно-разностный метод, основанный на аппроксимации функционала. Он удобен тем, что для вычисления интеграла нужно знать значе-ния подынтегральной функции только в узлах 1 сетки, так что для вычис- [c.176]

Решение дифференциальных уравнений на ЦВМ в частных производных производится разностными методами и методом конечных элементов. К наиболее широко используемым разностным методам относится метод сеток и метод прогонки. Для расчета температурного поля шпинделя используем уравнение (43) с краевыми и начальными условиями более общего вида [c.134]

Применяемый ранее метод численного решения уравнений по конечноразностной схеме, или метод сеток, дает существенную дисперсию результатов, особенно вблизи фронта волны разгрузки. Условие, исключающее численную дисперсию результатов, состоит в равенстве шагов по 2 и по Г, т.е. при Ь = I, что соответствует границе устойчивости решения [7]. В силу сказанного наряду с методом сеток для решения систем уравнений (1) применялся также метод характеристик, т.е. также конечно-разностная схема расчета, но вдоль характеристик. При этом условие (2) вьшолняется автоматически [150]. [c.125]

Система уравнений (24.9) решалась методом сеток характеристик дифференциальные соотношения вдоль характеристических направлений заменялись разностными уравнениями. При помощи рекуррентных формул для ячейки сетки характеристик при заданных граничных условиях определено дискретное поле напряжений, скоростей и деформаций как в упругих, так и в вязкопластических областях. Числовые расчеты проводились с помощью ЭВМ. Решения имеют локальный характер и дают хорошие результаты в достаточно малой окрестности цилиндрической поверхности и для малых времен. Для больших значений г и времени / погрешность, связанная с применением метода конечных разностей вдоль характеристик, становится значительной. [c.220]

Понятие устойчивости. Другой источник ошибок, вносимых в численное решение, связан с погрешностью округления, возникающей непосредственно при решении разностной задачи на ЭВМ. Ошибки округления неизбежны, так как любая вычислительная машина может оперировать лишь с конечным числом значащих цифр. Хотя в момент возникновения они невелики, однако п-ри расчете больших рекуррентных формул, какими являются алгоритмы метода сеток, первоначальная величина этих ошибок может вырасти настолько, что полностью исказит смысл окончательного результата. Если это происходит, то говорят, что численный метод (алгоритм) неустойчив. При достаточно длительном счете неустойчивость метода приводит к авосту — переполнению арифметического устройства машины. Если же в процессе счета ошибки округления затухают или хотя бы не возрастают, такой вычислительный алгоритм называют [c.37]

Поэтому приведенные дифференциальные уравнения обычно используют для численного рещения задач конвективного теплообмена [19]. Именно на их основе строятся конечно-разностные аналоги для расчетов методом сеток. Больщинство же важнейших практических задач решены на основании экспериментальных исследований с привлечением для организации опытов и обработки результатов этих экспериментов основ теории подобия. [c.100]

Наличие градиента давления во внешнем потоке, а значит, и в пограничном слое, значительно усложняет задачу расчета последнего. Но ввиду практической значимости вопроса он привлекает внимание многих исследователей, и в настоящее время разработаны разнообразные методы решения, опирающиеся на приближенные допущения и эмпирические зависимости. В последние годы получили развитие численные методы решения дифференциальных уравнений (9.3), которые дополняются выражениями турбулентных напряжений согласно одной из полуэм-пирических теорий. Для приведения полученной таким путем системы уравнений к виду, удобному для численного решения, используют безразмерные переменные. При этом в некоторых методах применяют специальные преобразования координат для создания более равномерного распределения параметров потока по толщине в принятых переменных формулируют граничные условия и систему решают на ЭВМ одним из конечно-разностных методов (например, методом сеток или прямых). [c.374]

Решение нестащюнарной задачи конечно-разностными методами сеток, конечных элементов и тд. [28, 77] при значительной неопределенности теплофизических свойств изоляции, грунта и воздуха в канале не отвечает требованиям к моделированию. [c.118]

А. Я. Сагомонян [61]). При этом применяются конечно-разностные методы как на подвижных, так и на неподвижных сетках. Решениям, полученным на неподвижных сетках (А. Я. Сагомонян [61]), вследствие замены погружения тела обтеканием расширяющейся пластины (диска) присущи те же ограничения, что и приближенным аналитическим методам. В случае использования подвижных сеток решение находится в более точной постановке (не требуется замена погружения обтеканием), что позволяет исследовать процесс взаимодействия оболочки с жидкостью до больших глубин погружения. Постановка задачи при применении подвижных сеток может проводиться в лагранжевых, смешанных лагранжево-эйлеровых и эйлеровых переменных. При этом во всех этих постановках используются основные характерные черты лагранжевого описания. [c.395]

При методе конечных разностей ([5], гл. XXVIII) заданную систему с помощью сеток разделяют на отдельные элементы, составляют конечно-разностные уравнения и определяют значение искомой функции (перемещения, функции напряжений и т. д.) в узлах сетки. [c.15]

Уравнения (8-52) и (8-53) образуют замкнутую систему для оире-деления функций О и В численном методе сеток эту систему записывают в конечно-разностной форме, заменяя ироизводные согласно формулам численного дифференцирования. Для этого область течения покрывают сеткой с шагами Ал и А / по координатным направлениям (рис. 174). [c.355]

Решение получить G помощью ЗБМ методом сеток, применяя неялую конечно->раз йгтукх схему. Для того чтобы показать, как втвпат-параметры разностной сетки на toi-ность численного решения, выполнить расчеты на сетка < с числом узлов, равным 3, 7, 13 и 29. Шаг по времени принять равным 0 01 с. Сравнить полученные результаты с точным аналитическим решением. [c.201]

Современные вычислительные цифровые машины позволяют без особого труда решать большие системы линейных алгебраических уравнений. Для их решения имеются стандартные программы. Поэтому метод конечных разностей (метод сеток) получил в настоящее время широкое распространение для решения многих прикладных задач. Этот метод применяется для интегрирования не только линейных дифференциальных уравнений, но также и нелпыейиых. В последнем случае в результате конечно-разностной аппрокспмацпи дифференциальных уравнений получаются системы нелинейных алгебраических уравнений. [c.211]

Для решения системы нелинейных уравнений параболического типа (1.8). .. (1.11) с краевыми условиями (1.12). ... .. (1.14) может быть применен метод сеток с использованием явной схемы, согласно которому система уравнений приводится к безразмерному виду и записывается в конечных разностях. Вид конечно-разностных аналогов исходных уравнений и метод их решения применительно к рассматриваемой задаче представлены в [9]. Алгоритм решения этой задачи бьш реализован в виде программы расчета на БЭСМ-4М. При расчете задаются геометрические размеры пучка, параметры потока теплоносителя на входе в пучок, распределение тепловыделения (теплоподвода) у по длине и радиусу пучка и физические свойства теплоносителя. Для замыкания системы уравнений из эксперимента определяются эффективные коэффициенты турбулентной теплопроводности Хдфф, вязкости эфф п коэффициент гидравлического сопротивления % в виде зависимотей от критериев подобия, характеризующих процесс [39]. [c.16]

Для решения ур-ний П. с. используются разл. методы, среди к-рых можно выделить две осн. группы — численные конечно-разностные) и интегральные. Первая группа методов основана на численном интегрировании исходных ур-ний П. с. методом сеток, или конечных разностей. Совр. ЭВМ позволяют это делать практически без внесения существенных упрощающих предположений, с учётом всех особенностей геометрии, физ.-хнм. процессов и т. п. Широкое распространение в численных расчётах получил анализ ур-ний П. с. для раэл. частных случаев, когда, вводя спец, переменные и опуская нек-рые несущественные члены, с одной стороны, получают упрощение исходной системы ур-ний, а с другой — ездми результаты получаются в более обобщённом виде. К ним относятся разл. автомодельные решения, для к-рых имеет место понижение размерности задачи (напр., случаи П. с. на плоской пластине и конусе, в окрестности критич. точки затупленного тела, на клиновидных телах в дозвуковом потоке). См. А втомидельпое течение. [c.663]

Линеаризованные краевые задачи решают методами конечных разностей 19В, 148, 49, 227], вариационно-разностным [103], конечных элементов [182, 193], методами Ритца [113] и Бубнова — Галерки на [154]. Перечисленные методы сводят задачу к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и удобны для оболочек сложной формы. Особый интерес представляют направленные на подавление погрешности, вызываемой жесткими смещениями элементов оболочки, метод криволинейных сеток [76—79] и моментная схема конечных элементов [182]. Эти методы позволяют существенно увеличить шаги сетки по пространственным координатам при сохранении высокой точности результатов [27]. [c.24]

Как известно, для двумерных областей в настоящее время имеется ряд алгоритмов автоматического расчета сеток при сложных формах границ областей [1 7]. В основе этих алгоритмов лежат различные подходы, в частности, подходы, основанные на те-ории конформных или квазиконформных отображений [1, 2, 7], использующие те или иные геометрические конструкции [5], подходы, позволяющие строить сетки со специ-альными свойствами, например, близкие к равномерным, ортогональным [3, 4]. В то же время алгоритмы автоматического построения трехмерных сеток для широких классов областей (для каждой конкретной области обычно можно придумать индивидуальный способ построения сетки) развиты очень слабо, несмотря на то, что решение слож-ных трехмерных задач математической физики разностными методами или методом конечных элементов стоит в повестке дня. [c.499]

Метод сеток, или метод конечных разностей, является эффективным инструментом теоретического изучения конвективных процессов. Основная идея метода такова. В области определения дифференциальной задачи выбирается конечное множество точек (узлов), называемое сеткой. Функции и производные в каждом узле приближенно заменяются (аппроксимируются) некоторыми линейными комбинациями значений соответствующих функций, входяищх в уравнения и краевые условия, в узлах сетки. В результате этих замен нелинейная дифференциальная задача ЕК сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций в узлах. Такую систему принято называть разностной задачей, или разностной схемой. Несмотря на нелинейность и большое, как правило, число неизвестных, разностная задача более предпочтительна для решения, чем исходная дифференциальная, так как допускает применение вычислительной техники. Найденное на ЭВМ решение разностной задачи (разностное решение) принимается за приближенное решение исходной задачи в узлах сетки. Оно имеет вид числовой таблицы, размер которой пропорционален количеству узлов. [c.28]

Потребности вычислительной практики при решении двумерных задач математической физики, в частности, задач газовой динамики и теории упругости в сложных областях, требуют автоматизации расчета криволинейных разностных сеток. К таким сеткам в ряде случаев предъявляются специальные требования. Обычно желательно, чтобы расстояния между соседними узлами сетки несильно отличались между собой и углы в элементарной четырехугольной ячейке невырождались (т.е. не были близки к О и тг). Первое требование связано с точностью аппроксимации производных, входящих в соответствующие диффе ренциальные уравнения, и также как и второе, — с обусловленностью систем разностных уравнений, полученных после аппроксимации. В частности, для метода конечных элемен-тов применительно к задачам упругости [1] в оценку для числа обусловленности матрицы соответствующей системы линейных уравнений в знаменатель входит sin а, где а — минимальный угол между сторонами элементарной ячейки сетки. Кроме того, в ряде слу-чаев в зависимости от особенностей краевых условий на части границ области требуется иногда сгущать узлы. Последнее третье требование в сочетании с двумя первыми создает [c.494]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...