ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Конечно-разностный метод (метод сеток) из "Основы теории упругости и пластичности " Таким образом, мы получили для некоторой точки О выражения для первых четырех производных, представленных через значения функции /(а ) в соседних точках. Расстояние между соседними точками (шаг аргумента) принято равным к. Особенностью полученных выражений для производных является то, что они получены через так называемые центральные разности, через разности значений функции пли ее производных справа и слева от точки О. [c.207] Пусть IV — т х, у) является функцией двух переменных. Нанесем на область вблизи точки О, для которой определяются производные, сетку с шагом к в направлении осей х п у (рис. 8.5). Шаги сетки в паправле-нпп осей X п у могут быть различными. [c.208] Граничные условия задачи выражаются в конечно-разностной форме. Для казкдой точки контура можно записать два граничных условия. В эти уравнения помимо значений прогибов внутри контура п па контуре входят значения прогибов в законтурных точках. В итоге получается система линейных алгебраических уравнений, пз которых определяются значения прогибов во всех узловых точках. Зная величины прогибов в каждой точке, можно определить, далее, через них вторые производные д и 1дх и д юЮу и, следовательно, величины изгибающих моментов Мх и Му. Точность полученных результатов решения задачи зависит от размера шага к. По мере уменьшения шага точность возрастает, но одновременно возрастает и число уравнений, которые нужно решать для определения прогибов в узловых точках. При замене производных конечными центральными разностями ошибка пропорциональна Поэтому точность вычисления быстро возрастает с уменыненпем шага. Вместе с тем примерно пропорционально 1/к возрастает число уравнений. [c.211] Современные вычислительные цифровые машины позволяют без особого труда решать большие системы линейных алгебраических уравнений. Для их решения имеются стандартные программы. Поэтому метод конечных разностей (метод сеток) получил в настоящее время широкое распространение для решения многих прикладных задач. Этот метод применяется для интегрирования не только линейных дифференциальных уравнений, но также и нелпыейиых. В последнем случае в результате конечно-разностной аппрокспмацпи дифференциальных уравнений получаются системы нелинейных алгебраических уравнений. [c.211] Для сокращения количества уравнений, подлежащих решению, целесообразно использовать условия симметрии, если они имеют место. [c.211] Как видно из уравнений (8.40), коэффициенты при прогибах в прилегаюш 11х к центральному узлу точках располагаются так, как показано на схеме рис. 8.7. Для прогибов в блия айших точках слева, справа, сверху п снизу коэффициенты равны —8, для ближайших по диагонали точек +2, а для прогибов точек, отстоящих через один узел от центрального, + 1. Коэффициент при прогибе центрального узла равен -Ь20. Используя схему рнс. 8.7, мо 1 но составить уравнения равновесия в конечно-разностной форме для точек 1 -н 10 рис. 8.6. [c.212] Метод сеток оказывается эффективным такгке при решении плоской задачи теории упругости. Будем исходить из основного уравнения плоской задачи V V p = 0. [c.213] Решение задачи сводится к решению системы линейных уравнений, из которой определяются значения функции ф для каждой узловой точки сетки. Затем, используя известные вырагкения для производных через значения функции в узловых точках (8.39), определяются нормальные о и 1 асательные Хху напряжения в каждой точке области. [c.214] Изложим суть рамной аналогии, следуя В. А. Киселеву ). Пусть на пластину по контуру действуют нормальные распределенные усилия дп н касательные д, (рис. 8.8, а). Гра-пинные условия для верхней кромки пластины будут Оу — = (,д (р1дх ) — дп(х), Тху —— д Ц)/дх ду) = д1(х). Аналогично можно записать граничные условия и для других кромок. Пусть к контуру рамы такой же конфигурации и размеров. [c.215] Будем иметь в виду, что от добавления лпиейного трехчлена к функции ф напряженное состояние не изменится. [c.215] оказывается, что значения функции ф в контурных точках равны величинам изгибающих моментов в соответствующих сечениях рамы, а частная производная от функции ф по направлению нормали к контуру для рассматриваемой контурной точки равна продольной силе N в том я е сечении рамы. [c.216] Заметим, что для определения М в N ъ сечениях стержней может рассматриваться любая статически определимая кинематически неизменяемая рама. [c.216] После того как определены значения ф п д /ду пли йф/йх в контурных точках, можно все значения в законтурных точках выразить через известные значения р в контурных точках и частные производные от функции ф по направлению, нормальному к контуру. [c.216] Вернуться к основной статье