Численное решение уравнений в частных производных

Задачи динамики стержней являются более сложными, чем задачи статики, так как их решение часто требует определения статического напряженно-деформированного состояния, от которого зависят уравнения движения. Кроме того, уравнения движения стержней — это уравнения в частных производных, решение которых существенно сложнее, чем решение уравнений в обыкновенных производных, с которыми приходится иметь дело при решении задач статики, поэтому при подготовке специалистов задачам динамики стержней уделялось мало внимания, несмотря на то что в инженерной практике они и.меют очень широкое распространение. Только с развитием вычислительной техники и новых методов численного решения уравнений в частных производных появились реальные возможности решения задач динамики сплошной среды и в том числе задач динамики стержней. В настоящее время при численном решении уравнений в обыкновенных и частных производных используются различные методы и их комбинации, выбор которых и эффективность зависят от опыта исследователя и конкретных особенностей задачи. [c.276]

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.224]

В отличие от систем с запаздыванием, исследования распределенных систем, описываемых уравнениями в частных производных, чрезвычайно ограничены. Здесь можно указать лишь работы [51, 165], в которых аналитически произведена оценка размерности аттрактора для некоторых типов уравнений в частных производных, работы [25, 38, 41, 123, 213, 306], в которых исследуются цепочки, моделирующие одномерные диссипативные среды, а также немногочисленные работы, в которых были обнаружены хаотические режимы при численном решении уравнений в частных производных. Об одной из таких работ уже говорилось в 7 [300]. К ним относятся также [687], в которой решались уравнения, подобные уравнению Кортевега-де-Вриза, и [396, 406, 509, 524], в которых моделировалось уравнение си-нус-Гордона с затуханием и внешней силой. Имеется, правда, сравнительно большое количество экспериментальных работ, посвященных наблюдению и исследованию хаотических колебаний в гидродинамике (см., например, [395, 411, 469, 470, 561, 569]), в лазерах [376—378, 488, 492, 505, 525, 592, -674, 675], нелинейной оптике [431, 454, 525, 591, 594] и некоторых других системах [2]. Однако большинство из этих работ еще требует осмысливания. [c.380]

Применение метода сеток к решению уравнений движения. Решение отдельных уравнений (1а)-(1с) можно получить с применением аналитических методов, но их совместное решение с учетом условий стыковки возможно только путем применения численных методов. Одним из наиболее распространенных методов численного решения уравнений в частных производных является метод сеток, или метод конечных разностей [7]. [c.112]

В главе 1П даются краткие сведения из теории пространств Соболева и коэрцитивных форм, необходимые для применения развиваемой теории метода конечных элементов к численному решению уравнений в частных производных. Здесь же на двух примерах рассмотрены вопросы существования и единственности обобщенных решений уравнений в частных производных. [c.6]

Многие задачи тепло- и массообмена сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Примером таких задач являются рассмотренные в данном пособии задачи о течении Куэтта (в том числе многокомпонентной среды), о расчете пограничного слоя в автомодельном случае и др. При построении численного алгоритма решения уравнений в частных производных параболического типа (алгоритм рассмотрен ниже) задача также по существу сводится к последовательному решению на каждом шаге вдоль обтекаемой поверхности обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки. [c.96]

Теория численных методов решения уравнений в частных производных представляет собой весьма обширный и достаточно сложный раздел математики, называемый теорией разностных схем, с которым можно познакомиться, например, по книгам [4, 14, 24, 26]. В данном учебном пособии основное внимание уделяется практическим вопросам построения и реализации на ЭВМ различных численных методик, а не их теоретическому исследованию и обоснованию. Как правило, будем ограничиваться лишь объяснением основных понятий, которые понадобятся в дальнейшем, причем некоторые вопросы рассмотрим не вполне строго с позиции математики. [c.70]

Построение криволинейной системы координат является ключевым моментом "при создании численного алгоритма решения уравнений в частных производных в областях с произвольно заданными границами. [c.49]

Описанные результаты относятся к наиболее простым случаям течения в ламинарном пограничном слое. При более сложной форме обтекаемой поверхности и произвольном распределении параметров внешнего потока необходимо решать систему уравнений в частных производных (31), (32) численными методами. Наряду с разработкой численных методов были сделаны попытки создать приближенные методы расчета, основанные на решении интегральных соотношений, составленных для всего пограничного слоя. Составим интегральное соотношение импульсов при установившемся течении в пограничном слое сжимаемой жидкости. Применяя уравнение количества движения к элементу пограничного слоя длины dx и единичной ширины, получим ( 5 гл. I) [c.299]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать в методе характеристик численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном решении уравнений направления и совместности обычно используют итерационный метод, в этом случае первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.112]

Метод интегральных соотношений. Развитием метода прямых является метод интегральных соотношений, предложенный в 1951 г. А. А. Дородницыным. С помощью этого метода интегрирование систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к численному решению некоторой аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.182]

Этот метод первоначально использовали для решения задач строительной механики затем он развился в общий численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Применительно к задачам газовой динамики его можно использовать для расчета течений несжимаемой и сжимаемой жидкости в дозвуковой и трансзвуковой областях. [c.196]

Применение ЭВМ открыло большие возможности для исследования и расчета процессов теплообмена. Многие задачи теплообмена описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, в том числе нелинейных. Известно, что решение такой системы для практических задач можно получить только на ЭВМ. т, е, путем математического моделирования (численного эксперимента). [c.445]

Это есть система нелинейных уравнений в частных производных решение уравнений такого рода представляет значительные трудности и может быть выполнено только численным способом. [c.228]

Прямое численное решение уравнений в частных производных на ЭЦВМ дало возможность исследовать закономерности распределения параметров во времени и по длине трубы в период зарож- [c.53]

В настоящее время существует несколько прекрасных учебных руководств по численному решению уравнений в частных производных особо следует отметить книги Вазова и Форсайта [1960], Рихтмайера [1957], Рихтмайера и Мортона [1967], Эймса [1965, 1969] и Митчелла [1969] 1). Настоящая книга отличается от них как отбором материала, так и способом его изложения. [c.9]

Первое численное решение уравнений в частных производных для задач гидродинамики вязкой жидкости было дано Томом в 1933 г. В 1938 г. Шортли и Уэллер разработали метод, являвшийся, по существу, более сложным варианнтом метода Либмана. Они предложили блочную релаксацию, метод пробной функции, релаксацию погрешности, методы измельчения сетки и экстраполяцию погрешности. Они также впервые точно определили и исследовали скорость сходимости. [c.18]

Более трудную задачу представляет собой расчет неавтомодельных пограничных слоев, когда уравнения в частных производных можно проинтегрировать только численно. (Автомодельные решения могут служить хорошей проверкой для численных решений уравнений в частных производных.) Существует обширная литература по этому вопросу, на которой мы не будем останавливаться. Небольшой раздел отведен этому вопросу в книге Шлихтинга [1968]. Блоттнер [1970] дал обзор ссылок по расчету ламинарного пограничного слоя в несжимаемой и сжимаемой жидкости. Ламинарные сжимаемые пограничные слои обсуждаются также в работе Смита и Клаттера [1965]. Патан-кар и Сполдинг [19676] рассмотрели тепло- и массонередачу в турбулентных пограничных слоях несжимаемой жидкости. Для получения решений турбулентного пограничного слоя необходимо (1) выбрать модель турбулентности (или выбрать выражения либо для рейнольдсовых напряжений, либо для длины пути перемешивания Прандтля, либо для вихревой вязкости, или, в наиболее общем случае, записать уравнение для энергии турбулентного движения) (2) вблизи стенки применить локальное решение для течения Куэтта, что обусловлено большими изменениями величин касательных напряжений в турбулентном пограничном слое. В трудах Станфордской конференции (Клини и др. [1968]) приведен обзор работ в этой области по состоянию на 1968 г. [c.451]

Кроме того, в некоторых вычислительных центрах имеются диалоговые системы для численного решения уравнений в частных производных (Тиллмеп [1969]), в которых пользователь имеет возможность оперативно вмешиваться в процесс расчета задачи и менять параметры задачи в соответствии с видом рещений, высвечиваемых на экране дисплея. Для совершенствования этой техники необходимо развитие гибридных систем математического обеспечения. [c.467]

Мы видели, что задачи теории упругости обычно сводятся к решению уравнений в частных производных с заданными граничными условиями. Эти уравнения допускают точное решение лишь для границ простой юрмы. Очень часто мы не можем получить точного решения и вынуждены обрагдаться к приближенным методам. В качестве одного из этих методов рассмотрим численный метод, основанный на замене дифференциальных уравнений соответствуюш,ими уравнениями в конечных разностях ). [c.517]

Существуют два основных численных. метода решения уравнений в частных производных метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они отличаются сп н обами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. Метод конечных разностей базируется непосредственно на дифференциальном уравнении и граничных условиях, а метод конечных элементов — на эквивалентной вариационной постановке задачи. [c.69]

Таким образом, метод интегральных соотношений как разновидность проекционных методов решения уравнений в частных производных является обобщением метода прямых и инженерного метода сосредоточенных параметров. Решение разбивается на два этапа. Первый этап состоит в сведении точной системы уравнений в частных производных к аппроксимирующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений. На втором этапе проводится численное решение этой аппроксимирующей системы каким-либо из стандартных методов (обычно методом Рунге—Кутта). При этом приведение системы обыкно1венных дифференциальных уравнений типа (7-46) к канонической форме может быть легко осуществлено непосредственно программой. [c.96]

Основоположником численного анализа дифференциальных уравнений в частных производных следует считать Ричардсона (1910), первое числеиноо решение уравнений в частных производных для задач гидродинамики вязкой жидкости дано Томой в 1933 году. Очень важным этапом для дальнейшего развития вычислительной гидромеханики стала работа Аллена и Саусвслла, выполненная вручную, по расчету обтекания цилиндра вязкой несжимаемой жидкостью. Развитие ЭВМ придало применению численных методов в механике жидкости и газа лавинообразный характер. Не претендуя на полноту описания этого перспективнейшего направления, отметим имена фон Неймана, Харлоу, Фромма, Сполдинга, Петанкара, О.М.Белоцерковского, А.А.Самарского, С.К-Годунова. [c.7]

I) Соотношение (4) п. 14.58 и нелинейное условие Леви-Чивита на поверхности представляют собой постановку задачи для решения уравнения в частных производных. Задача, представленная нелинейным интегральным уравнением (21), совершенно отлична от указанной выше задачи для уравнения в частных производных в том смысле, что она является одной из тех, которые могут быть численно решены на современных быстродействуюш,их вычислительных машинах ). [c.410]

Сопоставление автомодельного решения с результатами численного интегрирования уравнений в частных производных при начальных условиях, соответствующих атмосферному давлению в воде и начальному радиусу Ro = 0,5 см, показало следующее. В момент полного схлопывания t = О, R = О автомодельное решение справедливо в области с радиусом порядка 10- см. В такой сфере содержится примерно 10—20% энергии жидкости, а давление на ее границе порядка нескольких десятков тысяч атмосфер. В работе Хантера найдено также автомодельное решение для ударной волны, которая распространяется от центра после схлопывания пузырька. [c.631]

Книга известных американских математиков Р. Беллмана и Э. Энджела посвящена одной из важнейших задач современной вычислительной математики — созданию устойчивых численных методов решения уравнений в частных производных. Авторы убедительно показывают, что известные методы динамического программирования и инвариантного погружения приводят к эффектным и эффективным методам решения уравнений эллиптического и параболического типов. Удачно подобранные примеры и упражнения увеличивают педагогическую ценность книги. [c.310]

Математические модели называют функциональными, если они отражают процессы, протекающие в объекте при его функционировании, или структурными, если они отражают топологические или геометрические свойства объекта. Типичными функциональными моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных с заданными краевыми условиями. Для их решения в САПР применяют методы конечных разностей или конечных элементов. Функциональные модели на макроуровне представляют собой обыкновенные дуфференциальные уравнения. Наибольшее распространение для их решения получили неявные или комбинированные методы численного интегрирования. Для моделирования на метауровне наравне с обыкновенными дифференциальными уравнениями используют модели массового обслуживания и логические уравнения. [c.80]

Решение многих практических задач теории упругости сводится к расчету чрезвычайно громоздких дифференциальных уравнений в частных производных. Как правило, для решения таких уравнений пользуются численными методами. Одним из таких методов является метод коллока-ций. Этот известный в математике метод [45] был успешно применен в работах М. С. Корнишина [43], И. М. Дунаева [30], Я. А. Берга [11] и др. для расчета плит, опертых по контуру. г. [c.75]

Книга содержит нетрадиционное изложение курса теории упругости, базирующегося на специальных разделах теории дифференциальных уравнений в частных производных и математического анализа. В первой главе в достаточно компактной форме дается конспективное изложение тех математических дисциплин, которые уже с успехом используются и могут быть использованы в дальпейи1ем при решении на современном уровне различных задач теории упругости. Две следующие главы посвящены концентрированному, по вместе с тем достаточно полному изложению собственно предмета теории упругости, включая такие сравнительно новые разделы, как. злектромагнитоупругость и механика хрупкого разрушения, постановке краевых задач, а также изложению некоторых приемов сведения краевых задач теории упругости к классическим задачам математической физики, В остальных главах книги (главы VI—VIII) конкретные математические методы, указанные в заглавии, применяются к решению определенных классов задач теории упругости. В ряде случаев эффективность того или иного метода демонстрируется на примерах таких задач, решение которых было получено только в последнее время. Большое внимание уделяется как вопросам строгого математического обоснования тех или иных алгоритмов, так и приемам их численной реализации. [c.2]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

В связи с тем что основная система уравнений представляет собой сложную совокупность нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и интегродиф-ференциального уравнения для спектральной плотности энергетической яркости излучения, обычно для ее решения используют численные методы и современные электронно-вычислительные машины. [c.187]

При определении различных пространственно-временных полей необходимо находить решения краевых. задач для дифференциальных уравнений в частных производных в заданных областях изменения пространственных переменных и временных интервалах. Отличительной особенностью применения численных методов является дискретизация нросгранственной и временной областей на первом же этапе решения задачи. При дискретизации выбираются узловые точки в пространственной и временной областях. На втором этапе составляется система алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в этих узловых точках. На третьем — проводится решение системы и находятся значения исследуемых величин в узловых точках. Отметим, что дискретизация области часто делается и при расчете на основе аналитических решений, однако в этих случаях она проводится на заключительных этапах, реализуемых уже после получения аналитического решения. [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...