Решение уравнений в частных производных

Общее решение уравнения в частных производных (fi.20) можно привести теперь к следующей форме [c.158]

Задачи динамики стержней являются более сложными, чем задачи статики, так как их решение часто требует определения статического напряженно-деформированного состояния, от которого зависят уравнения движения. Кроме того, уравнения движения стержней — это уравнения в частных производных, решение которых существенно сложнее, чем решение уравнений в обыкновенных производных, с которыми приходится иметь дело при решении задач статики, поэтому при подготовке специалистов задачам динамики стержней уделялось мало внимания, несмотря на то что в инженерной практике они и.меют очень широкое распространение. Только с развитием вычислительной техники и новых методов численного решения уравнений в частных производных появились реальные возможности решения задач динамики сплошной среды и в том числе задач динамики стержней. В настоящее время при численном решении уравнений в обыкновенных и частных производных используются различные методы и их комбинации, выбор которых и эффективность зависят от опыта исследователя и конкретных особенностей задачи. [c.276]

Многие задачи тепло- и массообмена сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Примером таких задач являются рассмотренные в данном пособии задачи о течении Куэтта (в том числе многокомпонентной среды), о расчете пограничного слоя в автомодельном случае и др. При построении численного алгоритма решения уравнений в частных производных параболического типа (алгоритм рассмотрен ниже) задача также по существу сводится к последовательному решению на каждом шаге вдоль обтекаемой поверхности обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки. [c.96]

Всякая функция и (Ху, xчастных производных в тождество, называется решением этого уравнения. Как и обыкновенные дифференциальные уравнения, используемые на практике уравнения в частных производных имеют обычно бесконечное множество решений. Однако, если общее решение обыкновенного уравнения зависит от произвольных постоянных, то общее решение уравнения в частных производных зависит от произвольных функций. Так, обыкновенное дифференциальное уравнение у" = , у = у х) имеет общее реше- [c.118]

Начальные и краевые условия (начально-краевые условия) не являются единственным видом дополнительных условий, используемых при решении уравнений в частных производных. В ряде случаев приходится задавать поведение искомой функции в окрестности характерных (обычно, особых) точек, ее поведение на бесконечности и т. п. [c.124]

Метод разделения переменных, сводящий решение уравнения в частных производных к решению нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, при определенных условиях может быть применен и для решения краевых задач. Попытаемся решить задачу о стационарном распределении температуры в круглой пластинке радиуса а с различными краевыми условиями на границе 5 пластинки. [c.170]

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.224]

В дальнейшем при решении уравнений в частных производных иногда будем считать, что эти уравнения приведены к виду с безразмерной пространственной переменной. [c.10]

Согласно формулам (6.9) соответствующее точное решение уравнений в частных производных (6.1) имеет вид [c.318]

Теория численных методов решения уравнений в частных производных представляет собой весьма обширный и достаточно сложный раздел математики, называемый теорией разностных схем, с которым можно познакомиться, например, по книгам [4, 14, 24, 26]. В данном учебном пособии основное внимание уделяется практическим вопросам построения и реализации на ЭВМ различных численных методик, а не их теоретическому исследованию и обоснованию. Как правило, будем ограничиваться лишь объяснением основных понятий, которые понадобятся в дальнейшем, причем некоторые вопросы рассмотрим не вполне строго с позиции математики. [c.70]

Для решения уравнения в частных производных (2-111) воспользуемся методом разделения переменных. Предположим, что = у)= х) у)- Тогда уравнение (2-111) приводится к виду [c.60]

Другим направлением, где возможны значительные уточнения, является статистический подход к задаче получения эффективных модулей. В принципе такой метод может дать хорошие теоретические результаты, но, к сожалению, в настоящее время еще не найдены удовлетворительные пути решения уравнений в частных производных со случайными коэффициентами. Необходимо разработать какой-то способ решения этих уравнений при больших флуктуациях случайных коэффициентов, что соответствует большим изменениям значений упругих модулей фаз. Кроме того, необходимо располагать статистической информацией о распределении включений внутри композита, а такая информация имеется лишь для немногочисленных отдельных случаев. [c.93]

Замечание. Общее решение уравнения в частных производных зависит от нескольких произвольных функций. Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби отнюдь не является общим решением. Полный интеграл по сравнению с общим решением охватывает только небольшую горстку решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение (отсюда и название полный интеграл ). Действительно, дифференцируя полный интеграл, получаем [c.157]

С практической точки зрения мы выиграли немного. Решение уравнения в частных производных — даже одного [c.264]

Условие (8.2.16) эквивалентно решению уравнения в частных производных [c.272]

Решение уравнения в частных производных 275 [c.275]

Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных. У нас нет какого-либо общего метода решения уравнений в частных производных. Однако при некоторых особых условиях оказывается возможным найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Этот специальный класс задач сыграл важную роль в развитии, теоретической физики, так как оказалось, что ряд основных задач теории атома Бора принадлежит к этому классу. В таких задачах одно уравнение в частных производных с п переменными может быть заменено п обыкновенными дифференциальными уравнениями с одной независимой переменной, которые полностью интегрируются. Такие задачи называются задачами с разделяющимися переменными . [c.275]

Геометрическое решение уравнения в частных производных. Оптико-механическая аналогия Гамильтона. В наших предыдущих рассуждениях предполагалось, что у нас есть полное решение дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона— Якоби. Предположим теперь гораздо меньшее, а именно что мы знаем лишь некоторое частное решение заданного уравнения в частных производных [c.302]

Частное решение уравнения в частных производных [c.303]

Из такого построения следует возможность получения частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби при помощи последовательности бесконечно малых операций. Мы начинаем с любой заданной базисной поверхности в трехмерном пространстве и ставим ей в соответствие значение 5 = 0. Затем строим близкую поверхность S = е, потом поверхности S = 2е, S = Зе и т. д. В конце концов некоторая ограниченная область трехмерного пространства окажется заполненной поверх- [c.304]

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Общее решение уравнения в частных производных зависит от произвольных функций. Такое решение называется общим интегралом этого уравнения. Однако в приложениях к решению задач механики главную роль играет не общий, а полный интеграл уравнения (7). Полным интегралом уравнения (7) называется его решение , ), завися- [c.359]

Так как из какого-либо полного решения уравнения в частных производных первого порядка выводятся все остальные полные решения, теорема, которую я здесь сформулировал, дает также решение другой интересной задачи, а именно по некоторой данной системе элементов, которые связаны с временем в возмущенном движении системой дифференциальных уравнений в канонической форме, найти все другие системы элементов, которые обладают тем же свойством. [c.292]

Il ] Приближение Sg (136) представляет собой решение уравнения в частных производных [c.896]

Составленная нами функция 5 служит решением уравнения в частных производных (43.56). Для получения этого уравнения надо в выражении [c.477]

V== f T- U)dt есть решение уравнения в частных производны.т, [c.130]

Найденное решение уравнения в частных производных — -j- = о, [c.132]

Определенная таким образом величина V будет полным решением уравнения в частных производных — = о, если исключить постоянные а , а ,. .. а,, [c.135]

Мы видели, что задачи теории упругости обычно сводятся к решению уравнений в частных производных с заданными граничными условиями. Эти уравнения допускают точное решение лишь для границ простой юрмы. Очень часто мы не можем получить точного решения и вынуждены обрагдаться к приближенным методам. В качестве одного из этих методов рассмотрим численный метод, основанный на замене дифференциальных уравнений соответствуюш,ими уравнениями в конечных разностях ). [c.517]

Существуют два основных численных. метода решения уравнений в частных производных метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они отличаются сп н обами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. Метод конечных разностей базируется непосредственно на дифференциальном уравнении и граничных условиях, а метод конечных элементов — на эквивалентной вариационной постановке задачи. [c.69]

Резюме. Вместо того чтобы пытаться непосредственно интегрировать канонические уравнения, мы можем применить процесс преобразования. При этом для консервативной системы отыскивается каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона Н в одну из новых переменных. Для реоном-ной системы ищется зависящее от времени каноническое преобразование, преобразующее Н в нуль. В обоих случаях найденное преобразование решает задачу о движении, так как в новой системе координат канонические уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы. Для нахождения искомого преобразования и его выполнения нужно найти какое-либо полное решение уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.275]

Тем не менее для того, чтобы обнаружить существенное различие между этими двумя функциями, не нужно даже прибегать к помощи второго уравнения в частных производных. В теории Якоби энергетическая постоянная Е была одной из новых переменных Qn- Кроме энергетической постоянной Е, в рещении содержалось лишь п — 1 констант интегрирования. В теории Гамильтона все переменные находятся в равном положении и энергетическая постоянная играет роль заданной константы, а не переменной. Гамильтоново решение уравнения в частных производных является не полным, а -сверхполнымъ, так как оно содержит на одну константу больше, чем полное решение. Однородность по всем переменным является характерным свойством, отличающим гамильтонову U -функцию от S-функции Якоби. Эта однородность приводит к тому, что преобразование, определяемое функцией W, в корне отличается от S-преобразования. [c.293]

Подобный же дуализм проявляется в механических задачах. Можно определить механические пути как ортогональные траектории к волновым поверхностям S= onst, определив S из решения уравнения в частных производных [c.311]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Интеграл этого уравнения будет J X dx — Х dx) = onst, где М — одно из решений уравнений в частных производных [c.829]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...