Обобщенные координаты, обобщенные скорости, обобщенные силы

Обобщенные координаты, обобщенные скорости, обобщенные силы [c.121]

После рассмотрения дифференциальных уравнений движения и двух основных задач динамики несвободный материальной системы изучается метод Лагранжа. Вводится понятие об обобщенных координатах, обобщенных скоростях и обобщенных силах. Выводятся общее уравнение статики в обобщенных координатах и уравнения равновесия несвободной материальной системы. Уравнения движения в обобщенных координатах вытекают из уравнений равновесия и принципа Даламбера-Для этого достаточно к обобщенной активной силе добавить обобщенную силу инерции. После элементарных преобразований получается [c.70]

Таким образом, окончательный вид уравнений определяется зависимостью кинетической энергии системы от обобщенных координат и скоростей и силами, действующими на систему. [c.365]

Рассмотрим движение системы материальных точек, находящихся под действием восстанавливающих сил, образующих потенциальное силовое поле, и некоторых возмущающих сил, являющихся явными функциями времени. Конечно, система может находиться под действием сил с более общими физическими свойствами — сил, являющихся функциями времени, обобщенных координат, обобщенных скоростей и в некоторых случаях — обобщенных ускорений 2). Но при изучении малых колебаний действие таких сил может проявиться в том, что линейные дифференциальные уравнения будут иметь переменные коэффициенты ), Здесь не изучаются эти более сложные случаи движения системы. Квазигармонические движения точки рассматриваются в конце этой главы. [c.263]

Обобщенные координаты и скорости. Предположим, что мы имеем динамическую систему, состоящую из материальных точек или абсолютно твердых тел, движущихся независимо друг от друга или связанных каким-либо образом, подверженных действию взаимных сил, а также действию заданных внешних" сил, т. е. сил, действующих на систему извне. Любая данная конфигурация системы i) может быть полностью охарактеризована значениями, принимаемыми определенным конечным числом п независимых количеств, называемых обобщенными координатами системы. Эти координаты можно выбрать бесконечным числом способов, но число их является вполне определенным и выражает число степеней свободы системы. Мы обозначим координаты через <7j, Подразумевается, что декартовы координаты х, у, г [c.181]

Обобщенный потенциал. Пусть существует функция V от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени такая, что обобщенные силы Qi определяются по формулам [c.280]

В простейших случаях нелинейность механической системы связана с нелинейными зависимостями позиционных сил от обобщенных координат (см. ниже) или сил сопротивления (в частности, сил трения) от обобщенных скоростей (см. с. 14). Для систем с одной степенью свободы такие зависимости, взятые с противоположными знаками, называют силовыми характеристиками (например, характеристика позиционной силы, характеристика силы сопротивления и т.д.). [c.11]

Первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (4.83) будем называть такие функции обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, которые обращаются в постоянные в силу этой системы уравнений [c.227]

Величина периода определяется только свойствами колеблющейся системы, т. е, коэффициентом инерции а и жесткостью о. Независимость периода колебаний от амплитуды называется изохронностью колебаний. Собственные линейные колебания, если нет возмущающих сил, могут возникнуть только при начальных условиях, не равных нулю, т. е. когда в начальный момент система имеет не равные нулю начальную обобщенную координату или начальную обобщенную скорость Уо- [c.419]

Метод С. А. Чаплыгина приводит к системе уравнений с первыми N независимыми обобщенными координатами Лагранжа, Зависимые обобщенные скорости исключаются на основании уравнений связей. Если оставить в стороне частные особенности вычислений С. А. Чаплыгина, связанные с ограничениями, наложенные им на коэффициенты уравнений связей и силы, действующие на точки системы, то основными особенностями его метода является выбор независимых координат и способ исключения зависимых обобщенных скоростей. [c.164]

Независимо от способа получения уравнений возмущенного движения (6.40) функцию Т можно рассматривать как кинетическую энергию приведенной системы, переменные и и — как обобщенные координаты и скорости, а члены, стоящие в правых частях этих уравнений,— как потенциальные, диссипативные, гироскопические и неконсервативные позиционные силы соответственно. Относительно сил предполагается только, что [c.163]

Поэтому для соответствующей элементарной работы системы из сил Fi, выраженных через обобщенные координаты лагранжевы скорости (т- I, гл. VI, п. 10) и время, мы получим выражение [c.224]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т qj t) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат i, 25 5 Qn- При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.270]

Дифференциальные уравнения (2.5) описывают движение крутильной двухмассовой динамической схемы, моменты инерции и координаты масс которой равны соответственно приведенным к скорости вращения зубчатого колеса 1 моментам инерции и крутильным перемещениям колес редуктора (рис. 14). Здесь и везде ниже при исследовании редукторных систем приведенными к скорости вращения какого-либо /-Г0 колеса называются координаты, моменты инерции, обобщенные силы вида [c.32]

При анализе решения системы дифференциальных уравнений (7.2), описывающей вынужденные колебания в приводе, рассматривались оценки по модулю для обобщенных координат (6.7), (7.3). Полученные зависимости позволяют оценить по модулю моменты сил упругости во всех соединениях, вращающий момент двигателя и разности скоростей смежных масс. Однако в ряде случаев оказывается важным получить оценку для скоростей звеньев, в частности выходного звена. Это можно осуществить, если дополнить систему уравнений (7.2) дифференциальным уравнением [c.210]

Переходя к разложению в ряд обобщенных приведенных моментов, возьмем для исследования общий случай, когда на систему действуют силы, зависящие как от обобщенных координат, таки от обобщенных скоростей. Под этими силами будем понимать и силы сопротивления и силы движущие [c.15]

Если внешние нагрузки являются случайными функциями времени, то задача об устойчивости движения системы приобретает особый смысл по сравнению со случаем регулярных воздействий. Допустим, что внешние силы представляют собой гауссовские случайные процессы. Тогда обобщенные координаты и скорости системы будут иметь распределения в неограниченной области своих значений независимо от устойчивости или неустойчивости исследуемых режимов. Строго говоря, задача об устойчивости движения по Ляпунову вырождается. Тем не менее аппарат теории устойчивости может быть эффективно использован в стохастических задачах. Исследование устойчивости при этом, по существу, трансформируется в изучение свойств распределений, которые будут иметь качественно различный характер для разных областей пространства параметров. [c.135]

Здесь j — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак б. Лагранж показывает, что его общая формула динамики дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим уравнения Лагранжа первого рода , в которые явно входят реакции связей. Он дает и вторую открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго рода , вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа общей формулы (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся общие свойства движения . Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы теоремы о движении центра инерция, теоремы моментов , теоремы живых сил . [c.156]

Уравнения (3.31) и (3.33) на основании сказанного выше о свойствах обобщенных координат и скоростей остаются в силе и для электрической двусторонней системы. Изображение такой электрической системы представлено на рис. 3.7. Здесь роль сил и скоростей играют напряжения (1 , /2) и токи ( ь 2). В электронике и теории электрической связи такое устройство называется четырехполюсником. [c.61]

Определение кинетической энергии движущегося тела или системы в функции обобщенной скорости не представляет трудности. Определение обобщенной силы Рх может быть пояснено на следующем примере. Рассмотрим случай подъема груза массой т (с учетом массы каната) лебедкой, барабан которой имеет радиус г (рис. 56). За обобщенную координату принимаем угол поворота барабана ф. [c.110]

Здесь и 11 — обобщенные координаты и скорости Т — кинетическая энергия абсолютного движения Ql — обобщенные силы (I = [c.23]

Понятие о диссипативной функции Релея (функции рассеяния). Если в механической системе, положение которой определяется обобщенными координатами 92, , 9 , имеются силы сопротивления, пропорциональные скоростям точек, то существует диссипативная функция [c.116]

Вводятся обозначения д = д ,..., д ), д = д ,..., д ), д = д ,.... .., д ), Q = Ql , Qk) — векторы обобщенных координат, скоростей, ускорений и сил после преобразований уравнения (1) записываются в виде [c.40]

Здесь Т — размерное время, X — обобщенная координата, V — скорость, М — масса, К — жесткость, Я — коэффициент трения, Е — возмущающая сила, Т2 — характерное время возмущения. [c.174]

Пренебрежем кинетической энергией деформации пневматика. Тогда кинетическая энергия Т = Т д, д, 1) экипажа является функцией обобщенных координат д ,..., дп, обобщенных скоростей д , д2,..., дпЧ времени 1. Обозначим через Qj = Q ig, д, 1) ( = 1,2,.... ..,п) обобщенные силы, при вычислении которых учтены все силы в рассматриваемой системе.Силы деформации пневматиков, связанные с углом наклона Хг колеса, боковым смещением и углом ф,- закручивания пневматика, при вычислении С/ не принимаются во внимание. [c.323]

Принимая коэффициенты этого разложения Кг за обобщенные скорости, можно рассматривать проводник с током как дискретную динамическую систему со счетным множеством координат и скоростей Хг, характеризующих нашу систему. В этом случае векторный потенциал А согласно уравнению связи (3.15) является функцией обобщенных скоростей Хг и геометрических координат X, у, г х, у, г, х , Ха,...), причем в силу линейности уравнения (3.15) [c.441]

Механические характеристики машин представляют собой аналитические или графические зависимости движуни1х сил (моментов) или сил (моментов) технологических сопротивлений от обобщенной координаты, обобщенной скорости механизма или от времени, а иногда и от ускорения. [c.115]

Кинетическая энергия механической системы Т = 200sf + 167s - 45,2iiS2, где s, и S2 — обобщенные скорости. Обобщенная сила, соответствующая координате S2, равна Q2 = = 265 Н. Определить ускорение х 2 тела 2, если ускорение тела I равно s l =0,1 м/с . (0,807) [c.335]

Обобщенные силы Qi и Qj можно определить из выражений работы неконсервативных сил на элементарных перемещениях системы, соответствующих вариации каждой обобщенной координаты, пли, что то же самое, из выражений мощности и Л/2 неконсервативных сил на возможных скоростях системы, соответствуюгцих возрастанию каждой обоб-щеииои координаты [c.299]

В тех случаях, когда физическая природа взаимодействий не изучена, сила как функция координат и скоростей точек может быть все же определена в результате творческих обобщений результатов экспериментальных наблюдений. В исследованиях такого рода могут быть использованы методы механики — типичным примером служит открытие Ньютоном закона всемирного тяготения, однако основная задача механики как науки начинается только после того, как такая предварительная и, вообще говоря, выходящая за [/амки механики работа проделана и сила задана как функция времени, координат точек системы и их скоростей. [c.62]

Предположим теперь, что стационарная система совершает колебания вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия, но в отличие от случая, рассмотренного выше, будем предполагать, что на систему помимо обобш,енных сил, зависящих от обобщенных координат и скоростей, действует также и обобщенная сила, зависящая явно от времени. [c.241]

Так как в механике изучают силы, не зависящие от ускорений, то Qu должны быть функциями только времени, обобщенных координат и скоростей Qh = Qh t, qu, qu). Отсюда следует, что производные второго порядка от П по обобщенным скоростям должны быть тождественно равны нулю или обобш енный потенциал ГГ должен линейно зависеть от jh- [c.86]

Составить полп)>[о производную по времени от этого выражения [от правой части в (9С)), в которую войдут вторые производные г),- по времени от обобщенных координат, т. е. обобщенные ускорения. Так как коэффициенты о,/ зависят от iJ, и от 1, то от дифференцирования появляются и обобщенные скорости. Обобщенные ускорения войдут линейно, в первых степенях, а обобщенные скорости в общем случае нелинейно так же иел шейно в зависимости от вида коэффициентов fl y, с и обобщенных сил войдут обобщенные координаты / . о Г аг [c.366]

Для составления уравнений Лагранжа второго рода (18.11) нужно знать выран ения (18.9) для кинетической энергии Т системы в обобщенных координатах и скоростях и (17.11) для обобщенных сил Qu Q2,. . Qf,. Однако вычисление обобщенных сил может производиться не только по формулам (17.11), как это сделано в примере 17.4, но и по формулам (17.13), поясненны.м в сформулированном там же правиле. [c.333]

Согласно (17.323), обобщенная координата (смещение груза) равняется би — смещению при силе (действующей на груз), равной единице, умноженному на величину силы. Последняя складывается из силы инерции и силы сопротивления (кулоново трение). Минус в выражении силы инерции имеется потому, что эта сила направлена противоположно ускорению q, а в выражении силы сопротивления — потому, что последняя направлена противоположно скорости. Символ sign обозначает функцию Кронекера (signum — знак). Запись sign коэффициент трения, mg — давление на плоскость, по которой перемещается груз, это давление равно силе тяжести груза, так как плоскость горизонтальна, fmg — сила кулонова трения. Учитывая, что 1/бц = с, где с — жесткость пружины, получим уравнение (17.323) в следующем виде [c.223]

Так как за обобщенную координату принят ход поршня сервомотора s, то сила Р является вместе с тем и обобщенной силой. Если регулирующий орган приводится в движение двумя сервомоторами, то выражение силы Р для другого сервомотора войдет в выражение с бобщенной силы умноженным на соответствующее отношение скоростей поршней. [c.162]

Подставляя выражения для V ж Т ь дифференциальные уравнения движения (146), приходим к системе линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Особенно просто напишется эта система уравнений, если обобщенные координаты ф, ф,. .. выберем так, чтобы в выражениях для живой силы и потенциальной энергии системы пропали члены, содержащие произведения координат и соответствующих им скоростей. Выбранные таким образом координаты называются главными или нормальными координатами системы. В дальнейшем обозначим их через ф , фз,. .. Тогда живая сила и потенциальная энергия системы представятся так [c.320]

Вернемся к ранее рассмотренному примеру, иллюстрируемому схемой на рис. 55. Скорость центра тяжести ковша при вращении вокруг оси О1О1 и1 = и(г- -/51пф). В процессе внезапного замедления изменяется угловая скорость и, а следовательно, и действующая на ковш центробежная сила ткй)2(г+/з1пф), в результате чего возникает перемещение ковша по дуге с центром О. Скорость этого перемещения 02= Примем угол ф за обобщенную координату. Результирующая скорость центра тяжести ковша в переходном процессе Полная ки-нетиче<жая энергия системы [c.113]

Рассмотрим сперва эти уравнения с чисто математической точки зрения. Как было указано в 6 гл. XIII, обобщенные заданные силы Qi являются известными функциями времени, обобщенных координат и скоростей. Из формул (13.23), (13.23 ) имеем [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...