Обобщенные координаты, скорости и силы

Динамика механизмов является разделом прикладной механики, в котором изучается движение механизмов с учетом действующих на них сил. В этом разделе устанавливаются общие зависимости между кинематическими параметрами механизма (его обобщенными координатами, скоростями и ускорениями), массами его звеньев и действующими на него силами, выражающиеся дифференциальными уравнениями. Пользуясь этими уравнениями, можно решать две основные задачи динамики механизмов. Первая задача сводится к тому, что по заданному аналитически или графически закону движения механизма требуется определить силы, действующие на механизм. Вторая задача заключается в том, что по заданным силам требуется определить закон движения механизма. [c.52]

Эта функция ф от обобщенных координат, скоростей и времени будет первым интегралом уравнений движения, если ее производная по времени, составленная в силу этих уравнений, равна тождественно нулю. Тогда сама функция ф сохраняет постоянное значение при движении системы. [c.286]

Обобщенные силы Qk являются в общем случае функциями обобщенных координат, скоростей и времени 1. В случае выполнения условий [c.136]

Условимся теперь называть обобщенные силы обобщенно потенциальными в том случае, когда существует функция V oi обобщенных скоростей q, обобщенных координат q и времени t такая, что [c.157]

Таким образом, окончательный вид уравнений определяется зависимостью кинетической энергии системы от обобщенных координат и скоростей и силами, действующими на систему. [c.365]

Кинетическая энергия системы при подстановке в эти уравнения должна быть предварительно выражена как функция обобщенных скоростей <7у и координат Согласно формулам (14) и (18) это будет квадратичная функция обобщенных скоростей ув коэффициенты которой могут входить обобщенные координаты l7 (в ряде частных задач Т будет квадратичной функцией скоростей с постоянными коэффициентами). Обобщенные силы QJ тоже могут быть в общем случае функциями обобщенных координат у - и скоростей у=. Таким образом, в выра- [c.792]

Условимся в левой части уравнения записывать члены, содержание обобщенную координату ф и ее производные, а в правой части иметь функцию времени M(t) и ее первую производную. Таким образом, в левую часть войдут члены, представляющие приведенные моменты сил инерции, и члены, являющиеся составляющими обобщенных (приведенных) внешних сил и сил трения, зависящие от положений и скоростей точек звеньев. В правой части будет функция Л (О и ее первая производная по времени. При указанных предположениях уравнение движения механизма принимает вид [c.162]

Будем считать, что обобщенные силы зависят только от обобщенных координат. Тогда равенства (20.1) или (20.2) можно рассматривать как уравнения относительно д1, , дз- Решая эти уравнения, найдем те положения, в которых система может находиться в равновесии. Если обобщенные силы зависят не только от обобщенных координат, но и от обобщенных скоростей 4ь 2. то при решении уравнений (20.1) все обобщенные скорости нужно приравнять к нулю. [c.453]

Вводятся обозначения д = д ,..., д ), д = д ,..., д ), д = д ,.... .., д ), Q = Ql , Qk) — векторы обобщенных координат, скоростей, ускорений и сил после преобразований уравнения (1) записываются в виде [c.40]

Пусть T(t q q) есть живая сила рассматриваемой материальной системы, являющаяся непрерывной функцией времени 1, обобщенных координат <7 и обобщенных скоростей ц и обладающая непрерывными частными производными первого и второго порядков. [c.276]

Для современных систем подрессоривания зависимость сил Ру от обобщенных координат ф и 2, а также профиля у х) неявная, она проявляется через величину и скорость перемещений катков относительно корпуса машины. [c.47]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей, равная разности между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Тогда в случае потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид [c.379]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Пример 93. Материальная точка массой т движется под действием силы притяжения к некоторому центру О. Зная, что силовая функция поля равна U (г), где /- — расстояние от точки до центра О, найти канонические уравнения и уравнения ее движения, применив метод интегрирования Остроградского—Якоби, Решение. Выберем за обобщенные координаты материальной точки ее полярные координаты г и ф. Так как составляющие скорости точки, выраженные н полярных координатах, определяются по формулам [c.387]

Для того чтобы составить эти уравнения, кинетическую энергию Т системы необходимо выразить через обобщенные координаты и обобщенные скорости. Обобщенные силы можно вычислять одним из следующих способов [c.396]

Найти обобщенные силы так, как это было описано в предыдущем параграфе. Если исходные силы Fi были функциями координат точек системы или их скоростей, то при вычислении обобщенных сил нужно выразить декартовы координаты точек и их производные через новые координаты и их производные с помощью формул (8) и (11). [c.133]

Условимся обозначать символом ( ) совокупность членов, не содержащих вторых производных от координат <7. Заметим, далее, что производные от коэффициентов ajk как по t, так и по не содержат вторых производных от обобщенных координат. Если силы, действующие на точки системы, зависят лишь от времени, координат точек и их скоростей (см. гл. И), то обобщенные силы, стоящие в правых частях уравнений (22), могут зависеть лишь от времени, координат и их первых производных. Поэтому результат подстановки в уравнения (22) вместо Т квадратичной формы можно представить следующим образом [c.141]

Полученные уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода. Производные от обобщенных координат q, q2,. .., qs называются обобщенными скоростями. Уравнения Лагранжа второго рода не содержат реакций идеальных связей, что делает их удобными для практического использования. Таким образом, в общем случае каких угодно активных сил и при наличии идеальных связей движение материальной системы определяется S уравнениями Лагранжа второго рода (3.29). [c.59]

Для того,чтобы воспользоваться этими методами,нужно составить выражения для кинетической энергии Т системы, ее потенциальной энергии U и виртуальной работы SW, воздействующих на систему неконсервативных сил. Величина U зависит от обобщенных координат системы, а величина Т - от координат и обобщенных скоростей. [c.74]

Если исходные силы были функциями координат точек системы или их скоростей, то при вычислении обобщенных сил следует выразить эти функции через обобщенные координаты и их производные. [c.540]

Отведем память для хранения наименоватшй обобщенных координат, скоростей и ускорений, декартовых координат RX, RY, RZ точек приложения сил и проекций сил FX, FY, FZ. Левые части уравнений, которые собираемся получить, будем хранить в массиве L, правые части — в массиве GFR. Это можно сделать с тюмощью операторов [c.7]

Величина Qj называется обобщенной силощ соответствующей обобщенной координате qj (1, 2,, m). В общем случае обобщенные силы будут функциями обобщенных координат, скоростей и времени. [c.97]

Таким образом, чтобы воспользоваться уравнениями (4), (5), следует представить выражение и обобщенные силы Gf функвдшми обобщенных координат, скоростей и времени. Для вычисления функщга T (t, qi qi) можно воспользоваться формулой (2) или формулой (3). [c.24]

Поэтому реакции идеальных связей могут не учитываться при подсчете обобщенных сил Qj. Если же система содержит неидеаль-иые связи, то соответствующие неидеальные составляющие их реакций должны быть отнесены к приложенным силам и учтены при подсчете обобщенных сил Qj. Зависимость неидеальных составляющих реакций связей от обобщенных координат, скоростей или от времени определяется, исходя из физической природы этих сил так же, как и для приложенных сил Fi. [c.156]

Но, как известно, отношения скоростей или передаточные отношения конкретного механизма зависят только от его положения, т. е. от обобщенной координаты звена приведения. Поэтому приведенная сила или приведенный момент и приведенная масса или приведенный момент инерции зависят от положения звена приведения, т. е. они ябляются функцией обобщенной координаты. [c.125]

Возможность раздельного рассмотрения перманентного и начального движений механизма имеет важное значение при исследовании кинематики и динамики механизмов. Оно позволяет при кинематическом исследовании определять положения, скорости и ускорения звеньев в функции обобщенной координаты механизма, а не в функции времени. Истинный закон изменения обобщенной координаты от времени зависит от сил, действующих и возникаюн],их в механизме, и может быть определен только после динамического исследования механизма. Определив в результате этого исследования закон изменения обобщенной координаты, например угла поворота ср начального звена от времени t, т. е. ф = <р (О, мы определим угловую скорость этого звена оз = [c.73]

Из уравнений (15.6) и (15.7) следует, что если для каждого положения мexaниз fa известны приложенные к его звеньям силы и моменты, то приведенная сила и приведенный момент М,, будут зависеть только от отношений скоростей, которые, как было показано в кинематике механизмов, зависят только от ьо-ложения его зве1 ьев, т. е. от обобщенной координаты. [c.326]

Механические характеристики машин представляют собой аналитические или графические зависимости движуни1х сил (моментов) или сил (моментов) технологических сопротивлений от обобщенной координаты, обобщенной скорости механизма или от времени, а иногда и от ускорения. [c.115]

Величина периода определяйся только свойствами колеблю-1цейся системы, т. е. коэффициентом инерции а и жесткостью с. Независимость периода колебаний от амплитуды называегся изохронностью колебаний. Собственные линейные колебания, если нет возмущающих сил, могут возникну1ь только при начальных условиях, не равных нулю, т. е. когда в начальный моменг сисгема имеет не равные нулю начальную обобщенную координату 0 или начальную обобщенную скорость [c.432]

Обобщенные силы Qi и Qj можно определить из выражений работы неконсервативных сил на элементарных перемещениях системы, соответствующих вариации каждой обобщенной координаты, пли, что то же самое, из выражений мощности и Л/2 неконсервативных сил на возможных скоростях системы, соответствуюгцих возрастанию каждой обоб-щеииои координаты [c.299]

В тех случаях, когда физическая природа взаимодействий не изучена, сила как функция координат и скоростей точек может быть все же определена в результате творческих обобщений результатов экспериментальных наблюдений. В исследованиях такого рода могут быть использованы методы механики — типичным примером служит открытие Ньютоном закона всемирного тяготения, однако основная задача механики как науки начинается только после того, как такая предварительная и, вообще говоря, выходящая за [/амки механики работа проделана и сила задана как функция времени, координат точек системы и их скоростей. [c.62]

Предположим теперь, что стационарная система совершает колебания вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия, но в отличие от случая, рассмотренного выше, будем предполагать, что на систему помимо обобш,енных сил, зависящих от обобщенных координат и скоростей, действует также и обобщенная сила, зависящая явно от времени. [c.241]

Вместо искусственного сочетания некоторых общих теорем и уравнений динамики, выбор которых представляет значительные трудности, указанные методы быстро и естественно приводят к составлению дифференциальных уравнений движения. Удачный выбор обобщенных координат обеспечивает простоту и изящество решения задачи. Удобно и то, что составленные дифференциальные уравнения движения не входят силы реакций идеальных св5Гзей, определение которых обычно связано с большими трудностями (силы реакций связей при движении системы являются функциями от времени, положения, скоростей и ускорений точек системы). [c.544]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...