Уравнения равновесия и граничные условия

Дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия имеют тот же вид (7.7), (7.10), что и в случае плоской деформации. Уравнения неразрывности деформаций (6.29) принимают вид [c.133]

Уравнения равновесия и граничные условия для геометрически нелинейного [c.221]

Из вариационного уравнения равновесия выведем уравнения равновесия и граничные условия для случая, когда компоненты тензора деформаций заданы в декартовой системе координат (3.24) [c.221]

Варьируя перемещение Ua, мы получим, следуя тому же пути, что в 8.7, такие уравнения равновесия и граничные условия [c.399]

Рассмотрим теперь вместо перемещений напряжения, отвечающие положению равновесия. Мы знаем, что дифференциальные уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) недостаточны для определения компонент напряжения. Мы можем найти множество различных распределений напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям в связи с этим возникает вопрос как отличить истинное напряженное состояние от всех других статически возможных распределений напряжений [c.265]

Мы получили уравнение (9.4), пользуясь соотношением (9.2), определением индивидуального объема, дифференциальными уравнениями равновесия и граничными условиями, определяющими напряжения на границе. [c.390]

Обратно, из (9.4) и (9.2) на основании произвольности возможных перемещений 8гс, с помощью преобразования (9.3) и условия б (р ( т) = о, можно получить дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия для напряжений. В этом смысле можно говорить, что уравнение (9.4) эквивалентно системе уравнений равновесия и граничным условиям. Если имеются граничные условия в перемещениях, то они должны быть учтены дополнительно ). [c.390]

Если бы вариации бю были совершенно произвольными (удовлетворяющими нун<ным условиям на границе), то полученное решение было бы точным, так как вариационный принцип полностью эквивалентен системе уравнений равновесия и граничным условиям для напряжений. В данном случае условие экстремума выполняется лишь по отношению к некоторым Ью, поэтому полученное решение является приближенным. Однако если система функций — полная система, т. е. если любую функцию из данного класса, в частности, Ьгс х, у, ), можно приближенно с любой степенью точности представить в виде линейной комбинации этой системы функций, то, взяв достаточное число членов в (9.9), можно получить решение, вообще говоря, весьма близкое к точному. [c.393]

Имея полностью определенную деформацию, нетрудно вычислить сопровождающее ее поле напряжений. Заметим, чтО компонента Охх = Т напряжения не связана с деформацией каким-либо определяющим уравнением. Поскольку эта компонента напряжения не совершает работы на любой кинематически допустимой деформации, она является реакцией связи, обеспечивающей нерастяжимость волокон. Подобным образом компонента Оуу — —Р является реакцией связи, обуславливающей-неизменность расстояния между любыми двумя волокнами. Какие бы значения ни принимали эти две реакции, они обязательно должны существовать для того, чтобы имели место соответствующие ограничения. Значения реакций определяются из уравнений равновесия и граничных условий в напряжениях. [c.294]

Решения второй краевой задачи можно представить в перемещениях, которые удовлетворяют трем уравнениям равновесия и граничным условиям, выраженным в перемещениях. В эти уравнения входит коэффициент Пуассона v. Поэтому решение, вообще говоря, зависит от величины v. [c.230]

Это уравнение в вариациях позволяет получить уравнения равновесия элемента рассматриваемого тела и совокупность всех вариантов граничных условий на поверхности тела. Для этого необходимо конкретизировать связь между деформациями е и перемещениями и). Тогда условие (3.3) позволяет получить соответствующие уравнения равновесия и граничные условия. Последнее обстоятельство оказывается особенно важным при построении различных вариантов приближенных теорий, основанных на тех или иных кинематических гипотезах (гипотеза плоских сечений, прямой нормали, ломаной нормали и т. д.). Зададим, например, связь деформаций с перемещениями линейными соотношениями [c.73]

Уравнение в вариациях (3.3) и вытекающие из него уравнения равновесия и граничные условия справедливы при любом характере [c.75]

Для задач нелинейной теории упругости входящие в (1.4.27) линейные уравнения равновесия и граничные условия следует заменить на соответствующие нелинейные зависимости. [c.46]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ [c.132]

Рассмотрим теперь статически возможное решение. Пусть напряжения в заштрихованных на рис. 129 полосках равны а == = Og.y = О, Оу = 2т,. Центральная незаштрихованная полоска является жесткой областью, в ней все напряжения равны нулю. При этом удовлетворяются дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия (XIV. 13) на боковых поверхностях и на поверхности, ограничивающей круговое отверстие. Для выбранного поля напряжений растягивающая сила по-прежнему равна Р = 4тд (h — а). Но поскольку верхняя и нижняя оценки совпадают, полученное значение предельной нагрузки является точным. [c.300]

Разновидностью статического критерия является критерий энергетический. В основе этого критерия лежат два фундаментальных принципа механики сплошных сред принцип возможных перемещений и принцип возможных изменений напряженного состояния. Из принципа возможных перемещений непосредственно следует условие стационарности полной потенциальной энергии системы бП = О, согласно которому из всех перемещений, удовлетворяющих граничным условиям, перемещения, удовлетворяющие уравнениям равновесия, придают полной потенциальной энергии стационарное значение. Из принципа возможных изменений напряженного состояния следует условие стационарности дополнительной энергии, согласно которому из всех возможных напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям, напряжения, удовлетворяющие уравнениям неразрывности деформаций, придают дополнительной энергии стационарное значение. [c.53]

Выберем теперь виртуальные напряжения так, чтобы уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях не нарушались, [c.34]

Так как вариации 6w и 69 произвольны, из уравнения (6.10) получаются уравнение равновесия и граничные условия [c.160]

С другой стороны, второй принцип гласит среди допустимых решений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям в напряжениях, точное решение доставляет функционалу [c.328]

Итак, при использовании тензора Пиолы уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях на Si выражаются только через a , причем линейно. [c.475]

Так как уравнения равновесия и граничные условия записываются через скорости в виде [c.497]

Пусть внешняя нагрузка такова, что уравнениям равновесия и граничным условиям наряду с функциями (3.49) удовлетворяют другие функции, отличающиеся от них на малую величину, [c.62]

На примере предыдущих параграфов этой главы было видно, что для слоистых композитов метод осреднения иногда позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия и граничным условиям на поверхностях Гг, эквидистантных слоям. На слоистых поверхностях Гь ограничивающих композит (т. е. составленных из различных компонентов слоистого композита) граничные условия могут удовлетворяться только интегрально (рис. 36). [c.186]

Подвергнем компоненты оц действительного тензора напряжений произвольной вариации, но такой, чтобы смежное напряженное состояние, характеризуемое компонентами Оц + бо, , было статичейки возможным при тех же заданных внешних силах, т. е. должны удовлетворяться уравнения равновесия и граничные условия [c.102]

Положим Т — Т а, F = F a, здесь Т и — постоянные векторные поля, заданные соответственно на поверхности тела и в его объеме, а — параметр нагружения, возрастающий монотонно. Мы удовлетворим дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям, положив Oij = оуос. Объемная деформация связана с гидростатической компонентой тензора напряжений [c.542]

Здесь Е Ь) — модуль упругомгновенной деформации, -К ( , т) — ядро нолзучести, 9 — компоненты вынужденной деформации. Объем телй О полагается фиксированным. Соотношения Коши, уравнения равновесия и граничные условия даются выражениями [c.278]

Дифференциальное уравнение равновесия и граничные условия. Используя определение эйлеровой критической силы как наименьщей из сил, способных удержать стержень в искривленном состоянии, полагая в качестве такового положение нейтрального (безразличного) равновесия, составим такое дифференциальное уравнение равновесия стержня, находящегося в отмеченном выще состоянии, т. е. уравнение относительно бо-возмущения (прогиба) первоначально прямолинейного очертания оси, из которого можно найти нетривиальное для 8v рещение. Уравнением, удовлетворяющим этому условию, является уравнение равновесия, составленное с учетом поворота, но без учета деформации элемента стержня ). [c.329]

Принцип возможных перемещений является наиболее общим принципом механики. Он справедлив при любых реологических свойствах тела, т. е. при любых зависимостях между деформациями и напряжениями в материале тела его можно использовать и в случае неконсервативных внешних сил. Основные соотношения этого параграфа получены при линейных кинематиче ских связях деформаций с перемещениями, задаваемых матрицей (3.5), но сам принцип возможных перемещений остается в силе и для более общего вида таких связей, в частности, при нелинейных кинематических зависимостях (в этом случае нелинейные слагаемые появятся в уравнениях равновесия и граничных условиях). [c.75]

Пусть действительные напряженные состояния в различных точках тела характеризуются компонентами сУу, а близкие напряженные состояния характеризуются компонентами а у + 5 ijJ, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям на поверхности. Поскольку сУу и внешние силы Х, и Xvi также удовлетворяют указанным условиям, то вариации напряжений 5а и вариации внешних сил БХ и БХ образуют уравновешенную систему. Принимая за возможные перемещения действительные, имеем в соответствии с принципом возможных перемещений равенство [c.96]

Однако при оценке точности получаемых таким образом приближенных решений следует соблюдать осторожность. Рассмотрим, например, применение метода Релея — Ритца в сочетании с принципом стационарности потенциальной энергии. Этот метод обеспечивает хорошее приближенное решение для перемещений, если допустимые функции выбраны соответствующим образом. Однако точность в распределении напряжений, вычисленных с использованием приближенных значений перемещений, нельзя признать удовлетворительной. Это становится очевидным, если вспомнить, что в определяющих уравнениях, полученных приближенным методом, точные уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях заменяются их взвешенными средними и что точность приближенных решений уменьшается при дифференцировании. Таким образом, уравнения равновесия и граничные [c.20]

Рассмотрим равновесие бесконечно малого параллелепипеда после деформации подобно тому, как это делалось в 3.2, и обозначим внутренние силы, действующие на поверхность со сторонами Eg dx и Ej dx , через —(а + а ) Е dj dx . Силы, действующие на другие поверхности, определяются аналогично. Величины определенные таким образом, будут называться добаючными напряжениями. Тогда найдем, что уравнения равновесия и граничные условия для задачи с начальными напряжениям можно получить из уравнений (3.27) и ( .42), заменяя р . и fx на 0(0) р(0) X р>, и р(0) >. р соответственно. [c.128]

Теперь можно перейти к вариационной формулировке уравнений равновесия и граничных условий. Введение гипотезы недефор-мируемоСти контура поперечного сечения в направлении контура [c.70]

В связи с вводом приведенных удельных момштов перейдем к выводу уравнений равновесия и граничных условий. Старые уравнения (2.28) использовать нельзя, их надо пересмотреть и записать с учетом новых обозначений. Для этого внесем в выражшие для вариации функционала (2.23) обобщенные деформации / [c.55]

Рассмотрим устойчивость равновесной конфигурадии [73, 78, 79]. Пусть тело находится в состоянии равновесия при некотором фиксированном значении параметра t. Уравнения равновесия и граничные условия получаем из (1.118), пренебрегая динамическим членом [c.127]

Рассмотрим устойчивость квазистатических движений тела, соответствующих решениям системы (3.6), (4.7). Предполагаем, что тело жестко залелано на границе Su (й = О) и внешние силы имеют вид (4.8). Уравнения равновесия и граничные условия, представленные относительно скоростей, при этих предположениях переписываются в виде [c.133]

Уравнения равновесия и граничные условия. В качестве добавления к основным результатам данной главы приведем исследование задачи об изгибе пластины Рейсснера. Е. Рейсснером [30] была предпринята попытка уточнить теорию изгиба пластин Кирхгофа прелюде всего за счет учета деформаций поперечного сдвига, супдествен-ных у ряда современных материалов. Более подробно о выводе уравнений Рейсснера и о соотношениях между решениями по теории Рейсснера и по теории Кирхгофа можно найти в [24, 16а]. [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...