Устойчивость частных решений

Изучим устойчивость частного решения (90). Введем малые отклонения х,, Хг по формулам [c.80]

Так как знаки вторых слагаемых в (12 ">), (126) противоположны, отсюда следует, что условие устойчивости частного решения "f = О H q/s, ( )>0) является условием неустойчивости решения y = /2, и наоборот. [c.90]

Гамильтоновы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных координат и скоростей (импульсов) [159], которая порождает дифференциальные уравнения движения поэтому можно сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождение. периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решении и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160]. [c.195]

В приложении 1 рассмотрена задача о движении твердого тела около закрепленной точки в ньютоновском поле сил. Результаты этого приложения частично использованы в главах 1, 2 для объяснения гравитационных эффектов в движении спутников. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Здесь содержится постановка задачи, указаны ее первые интегралы и интегрируемые случаи дан анализ устойчивости частных решений (постоянных вращений) и исследованы некоторые движения, в которых легко усматриваются эффекты, вызываемые возмущающим действием ньютоновского поля сил. [c.16]

Устойчивость частных решений. Относительно исследования устойчивости различных частных решений в динамике твердого тела (как в интегрируемых, так и общем случаях) можно рекомендовать книги [82, 152]. Устойчивость плоских колебаний и вращений в случаях Ковалевской с помощью нормальных форм Биркгофа исследовалась недавно [c.150]

Вторая часть Ограниченные задачи заключает в себе изложение некоторых основных результатов, касающихся ограниченной задачи трех тел, причем главное внимание обращено здесь на вопросы устойчивости частных решений рассматриваемых задач и связанные с последними вопросы существования и нахождения периодических решений. [c.6]

Тогда задача об устойчивости частного решения fs t) уравнений (2.11 ) относительно величин г., равносильна задаче об устойчивости невозмущенного движения (2.6) относительно функций Фб. [c.68]

Необходимые условия устойчивости частных решений (9.2.14) —(9.2.16) были получены Г. Н. Дубошиным [32], а достаточные условия устойчивости были установлены Ф. Л. Черноусько [33]. Они сводятся к следующим неравенствам для первого случая [c.780]

Устойчивость частных решений. Мы нашли пять частных решений задачи о движении бесконечно малого тела. Если бесконечно малое тело немного смещено из одной из точек второго решения и ему сообщена малая скорость, то оно будет либо колебаться вокруг этой точки по крайней мере в течение значительного времени, либо быстро удалится от нее. В первом случае соответствующее частное решение называется устойчивым, во втором случае оно называется неустойчивым. [c.266]

УСТОЙЧИВОСТЬ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ 267 [c.267]

Это частное решение соответствует решению (5) системы (1), и задача об исследовании устойчивости невозмущенного движения приводится к исследованию устойчивости частного решения (23) системы (22). [c.454]

Исследование устойчивости невозмущенного движения. В предыдущих параграфах мы установили, что исследование устойчивости данного невозмущенного движения приводится к исследованию устойчивости частного решения [c.459]

Мы не будем рассматривать приложение этого уравнения к задачам об устойчивости балок конечной длины с различными граничными условиями. Система частных решений находится стандартным методом, можно построить систему решений с единичной матрицей, как это описано в 3.9. Вычисления при этом оказываются довольно громоздкими, поскольку нужно находить корни биквадратного уравнения, отделяя в них действительные и мнимые части. Простейший пример — это устойчивость стержня бесконечной длины. Очевидно, что постановка такой задачи при отсутствии окружающей упругой среды лишена смысла, при увеличении длины стержня критическая сила стремится к нулю независимо от способа закрепления его концов. В упругой среде [c.132]

При интегрировании системы (18.2), представляющей собой систему двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, исходим из того, что механическая система совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия. Частные решения этих уравнений, предположив, что координаты qi и изменяются по простому гармоническому закону, можно представить в следующем виде [c.83]

Корни этого уравнения k и (причем ki < /%з) определяют частоты свободных колебаний ki и 3. Оба эти корня должны быть положительными, так как в противном случае ki и будут мнимыми или комплексными и принятые частные решения дифференциальных уравнений (19.1), выраженные через тригонометрические функции мнимого или комплексного аргумента, т. е. содержащее гиперболические функции времени t, покажут неограниченное возрастание обобщенных координат, что не может быть при малых колебаниях системы около устойчивого положения равновесия. [c.83]

Уравнения (20) имеют частное решение р = q = г = О, отвечающее покою тела. Рассмотрим устойчивость этого частного движения тела по отношению к переменным р, г. [c.524]

Свойства линеаризованной системы полностью определяются характером частных решений. Например, устойчивость ее (т. е. ограниченность всех решений) гарантируется условием Л <0, когда все собственные числа iy—Л получаются чисто мнимыми (тогда [c.100]

Наибольшее затруднение в использовании (18.173) для отыскания границ между устойчивыми и неустойчивыми состояниями системы состоит в большой сложности построения частных решений fl и Ь хотя бы в пределах первого периода. Областей динамической неустойчивости бесконечное множество. Общий характер расположения этих решений можно исследовать, предполагая, что периодическая составляющая внешней продольной силы очень мала. На рис. 18.113 этому соответствует область, примыкающая к оси абсцисс. Обнаруживается, что при р О решения с периодом 2Т лежат попарно вблизи частот 0 = 2П/А (к = 1, 3, 5,. ..), а решения с периодом Т — вблизи частот О. = 20/ к = 2, 4, 6,. ..). Оба случая объединяются формулой [c.462]

В заключение еще раз подчеркнем, что частные решения, соответствующие чисто вынужденным колебаниям, имеют смысл лишь внутри области устойчивости. [c.103]

Амплитуда вынужденных колебаний. Теперь перейдем к определению величины размыва механизма. С этой целью выпишем частное решение у равнения (5.4), предполагая, что динамическая устойчивость механизма обеспечена и вынужденные колебания механизма приобрели установившийся характер. [c.163]

Резонанс и динамические ошибки механизма в условиях линейного трения. Если вопрос о динамической устойчивости механизма решается на основании анализа общего решения однородного уравнения, то для установления условий возникновения резонанса и для выяснения вопроса о влиянии трения на динамическую точность механизма необходимо обратиться к рассмотрению частного решения уравнения (6.5), которое имеет следующий вид [c.199]

Последний множитель, содержащий мнимую степень е, может быть представлен через тригонометрические функции и поэтому остается ограниченным при любом значении t. Свойства устойчивости движения связаны с множителем если < О, то соответствующее слагаемое описывает затухающее движение, а если О, то такому слагаемому соответствует удаление системы от невозмущенного режима. Таким образом, для устойчивости состояния равновесия механической системы необходимо, чтобы среди корней характеристического уравнения не было ни одного с положительной вещественной частью в противном случае одно из частных решений, а вместе с этим и общее решение, обнаружит возрастающую тенденцию. [c.155]

В случае равновесия системы = = Я, ..., 9 = 92 являются также частными решениями дифференциальных уравнений движения, вследствие чего совершенно так же определяется устойчивость равновесия по Ляпунову. [c.402]

Если рассматривать случай устойчивого движения, то по прошествии некоторого времени движение системы будет, как известно, описываться частным решением уравнения (5. 7а) в виде [c.245]

Подстановка значения соответствующих частных производных в выражение (3.52) для критерия устойчивости периодического решения показывает, что он не выполняется при всех вещественных значениях амплитуды А этого решения. [c.146]

Уравнение (29) можно трактовать как уравнение движения изолированной твердой частицы в заданном поле течения несущей среды, а систему (30) как уравнения движения и пульсаций изолированного пузырька. Предполагая малость амплитуды вибрационных воздействий, в (20) и (30) можно ввести малый параметр. После приведения к стандартной форме, выявление частных решений, соответствующих установившимся стационарным процессам, и исследование их устойчивости может быть проведено с помощью метода усреднения. Если такие решения или близкие к ним существуют и являются устойчивыми, то физически это означает, что реализуются режимы вибрационного перемещения частиц и пузырьков либо их локализации в окрестности устойчивых равновесных положений. [c.110]

Частному решению фЛО> "фЛО уравнений (2.5 ") соответствует некоторое частное решение /ЛО, ЛО системы (2.13), и задача об устойчивости невозмущейного движения приводится к задаче об устойчивости частного решения новой системы относительно величин Нз, из- Полагая тогда [c.69]

Весьма важные результаты, касающиеся устойчивости частных решений задачи о трех телах, были получены А. Ляпуновым, исследования которого, к со жалению, пичти неизвестны иностранным аспрономам. [c.285]

УСТОЙЧИВОСТЬ равновесия и малые ДВИЖЕНИЯХИСТЕМЫ ГЛ. XIII Частное решение этой системы будем искать в виде У1 = А sin (pi + а), [c.628]

Таким образом, Vi удовлетворяет системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Общее решение таких уравнений может быть представлено в внле суммы частных решений, в которых vi зависит от времени посредством множителей типа Сами частоты со возмущении не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,4) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие со, мнимая часть которых положительна, то будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ.хо-димо, чтобы у всех возможных частот со мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. [c.138]

Некоторое вполне определенное двингение системы, подлежащее исследованию па устойчивость, называется невозмущенным движением. Иевозмущенному движению системы отвечает определепное частное решение [c.13]

Мы получили дифференциальное уравнение, такое же, как и при решении задач устойчивости, но с правой частью. Поэтому ijaM надо найти частное решение этого уравнения. Искать его будем в виде квадратичного трехчлена. [c.161]

В физических и технических проблемах встречаются и другие виды естественных движений, а также некоторые виды движения тех же самых голономных систем, которые, хотя и выражаются уравнениями более общими, чем уравнения Лагранжа, но могут быть сопоставлены с состояниями равновесия голономной системы благодаря тому, что уравнения допускают соответствующие частные решения (статические или меростатические решения). Мы распространим наше исследование и на эти решения. Наконец, мы введем, наряду со строгим определением понятия устойчивости, приближенное понятие, соответствующее устойчивости в течение конечного, но достаточно длительного промежутка врзмени, или линейной устойчивости ), исследованием которой мы и будем часто ограничиваться в силу непреодолимых математических трудностей, возникающих при анализе устойчивости в строгом смысле. [c.352]

Все это оправдывает разделение решений системы дифференциальных уравнений (16) на з/с/иойчнвые и неустойчивые на основании критерия, который мы здесь уточним, высказав его прямо в геометрн-чески-кинематической форме. Частное решение (или интегральная кривая) уравнений (16), которое в момент t = принятый за начальный, проходит через точку (д ,), называется устойчивым, если для всякого сколь угодно малого положительного числа е можно указать такое другое положительное число т], что если взять за начальную какую-нибудь другую точку Р (х ), отклонение которой от меньше t), то отклонение точек Р а Р друг от друга на кривых о и о для одного и того же момента времени будет неопределенно долго оставаться меньшим е. [c.378]

V = Ri — R2) + является интегралом системы (51), который, как нетрудно видеть, будет знакоопределенным по переменным Ri и R2, если неравенства (52) не выполняются. Следовательно, согласно теореме Ляпунова об устойчивости, система (51) устойчива по отношению к переменным i i, R2. Утверждение о неустойчивости следует из существования при выполнении неравенств (52) неограниченно растущего со временем частного решения системы (51) [c.558]

Для полного описания системы используются фазовое пространство (х/), динамическое пространство (xj, О и пространство параметров (а ,). Фиксируем все значения параметров, т. е. выберем точку в параметрическом пространстве. Тогда решения системы уравнений будут зависеть только от начальных условий. Однако для качественной теории представляют интерес не частные решения, а по возможности более полное описание поведения системы во всем динамическом пространстве. Эта общая качественная картина в основном зависит от значений, к которым стремятся решения при t oo или —оо.Эти асимптотические значения, естественно, не зависят от начальных условий. От начальных ус товий зависит лишь, к какому из этих значений будет стремиться решение Простейшими и наиболее важными для нас асимптотическими решениями такого типа являются стационарные точки и предельные циклы. Физически наблюдаютслТРЛ Ш устойчивые еш ия, значение неустойчивых решений будет ясно из дал ьнейшегб изложения. [c.32]

Величина (15) является частным решением этого уравнения. Вследствие затухания непрецессионных движений ротора оказывается устойчивым относительное расположение не связанных жестко между собой осей подшипника вала О О я нейтральной оси демпфера [c.120]

Система нелинейных уравнений (8.38), связывающая функцию напряжений в срединной плоскости пластинки и функцию прогибов, выведена немецким ученым Т. Карманом. Совместно с граничными условиями она представляет основную систему нелинейных ди ференциаль-ных уравнений та>рии гибких пластинок. Решение этой системы в общем виде не получено. В настоящее время с помощью теории гибких пластинок получен ряд частных решений для равномерно распределенной поперечной нагрузки, а также для пластинок, теряющих устойчивость при сжатии и сд иге в их срединной плоскости, [c.150]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...