Представление для волнового оператора

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ И ОПЕРАТОРА РАССЕЯНИЯ [c.292]

Вторичное квантование. В статистической механике приходится иметь дело с волновыми функциями, зависящими от огромного числа переменных, поэтому координатное представление неудобно для практического использования. Квантовые состояния многочастичных систем обычно описываются в представлении чисел заполнения которое также называется представлением вторичного квантования. Главным достоинством этого представления является то, что в нем симметрия Д/ -частичных волновых функций учитывается автоматически путем введения специальных операторов рождения и уничтожения. Действуя на квантовое состояние системы, эти операторы изменяют число частиц в одночастичных состояниях. Как мы увидим дальше, формализм, основанный на использовании операторов рождения и уничтожения, очень удобен для построения операторов динамических величин и приведенных ( -частичных) матриц плотности, которые играют исключительно важную роль в кинетической теории (см. главу 4). Мы обсудим основные идеи метода вторичного квантования, поскольку он будет часто использоваться в книге. Детальное изложение этого метода можно найти в любом современном учебнике по квантовой механике (см., например, [14, 79, 89, 125]). [c.32]

Обобщение на Д/ -частичные волновые функции Ф(г ,. .., Гдг, (Тдг) очевидно. Для любого другого п-представления явный вид оператора К находится путем разложения волновой функции Ф(г,о-) в ряд по базисной системе функций (г,о п,о ). Например, в импульсном представлении имеем [c.42]

Полезно резюмировать рассуждения двух последних параграфов. Для нахождения допустимых неприводимых представлений /Х ) " ), соответствующих каноническому волновому вектору к (которые будут затем использованы для построения индуцированных неприводимых представлений группы ), была построена абстрактная группа П(й). Однако при рассмотрении П(й) как некоторой абстрактной группы возникают как допустимые представления запрещенные представления 0 И. Было показано, что последние, являясь неприводимыми представлениями абстрактной группы операторов [c.105]

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

Отсюда следует, что если какое-либо состояние встречается в выражении (4.23) для волновой функции более одного раза, то волновая функция равна нулю. Эго очевидно, если одинаковые операторы рождения расположены рядом, в противном случае их можно поставить рядом, последовательно переставляя один из операторов с помощью соотнощения (4.24). Такой факт, разумеется, вытекает и из представления волновой функции в виде детерминанта Слэтера и является прямым следствием принципа Паули. [c.448]

Можно, правда, усомниться в том, допустимо ли рассматривать Я как число при дифференцировании членов вида однако эту процедуру можно обосновать, разлагая оператор е-1нг 3 степенной ряд. С другой стороны, уравнение (2.30) можно получить из (2.29), дифференцируя матричный элемент < 1 р (О I > Так или иначе уравнение (2.30) верно, и оно играет для матриц плотности такую же роль, какую уравнение Шредингера играет для волновых функций. Следует заметить, что оператор наблюдаемой физической величины в представлении Гейзенберга удовлетворяет уравнению [c.56]

При написании книги автор ставил перед собой задачу привести изложение различных идей и методов теории рассеяния в определенную систему. Эта цель достигается благодаря последовательному применению стационарного подхода. В его рамках удается до некоторой степени объединить два основных метода теории рассеяния—ядерных и гладких возмущений. Одновременно с доказательствами различных фактов стационарный подход позволяет дать формульные представления для основных объектов теории. Наряду с волновыми операторами [c.6]

Тогда существуют и полны сильные нестационарные волновые операторы У Н, Но), а для соответствующей матрицы рассеяния при п.в. А справедливо представление [c.221]

Далее будем, как и в 4.6, различать случаи малых (теорема 2) и относительно компактных (теорема 3) возмущений.В условиях этих утверждений существование и полнота локальных ВО W H, Но, А) установлены соответственно в теоремах 4.6.1 и 4.6.4. Вытекают результаты о волновых операторах и из теорем 5.7.1, 5.8.1, где получено также стационарное представление для МР. [c.297]

Оператор спина таким путем получить нельзя, потому что он в классической картине не может быть выражен через динамические переменные-декартовы координаты и импульсы. Здесь полезно напомнить, что речь идет именно о выражении в декартовых координатах. Переход к другим координатам можно произвести лишь после записи оператора динамической переменной по этому правилу в декартовых координатах (см. 23). Поскольку спин не может быть представлен как функция координат и импульсов, оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса. Однако ясно, что как оператор момента импульса он должен удовлетворять коммутационным соотношениям (28.17) и (28.18). Для объяснения экспериментальных результатов необходимо считать собственные значения любой декартовой проекции оператора спина равным Л/2 и — Л/2 [см. (33.3)]. Этих данных достаточно, чтобы решать квантовомеханические задачи со спином, не имея в явном виде выражения для оператора спина и волновых функций. Однако для многих расчетов предпочтительнее иметь явный вид оператора спина. [c.211]

Для квантования динамической системы необходимо ввести систему линейных операторов, соответствующих динамическим переменным д 1л р и их функциям. Классическим переменным — скоростям и переменным, содержащим т, не могут быть поставлены в соответствие операторы. Операторы действуют на векторы у) в гильбертовом пространстве, причем их представители в любом представлении (волновые функции) задают состояния квантовой системы. Вещественные классические переменные соответствуют эрмитовым операторам. Соответствие между классическими и квантовыми величинами основано на двух принципах, которые, обозначая соответствующие классические и квантовые величины одинаковыми буквами, сформулируем следующим образом [c.719]

Если в это выражение вместо матричного элемента / подставить формулу (30,3), то получится волновая функция с индексами представления (индексами, на которые действуют операторы) Аср /Ид. Отсюда видно, что для вычисления поляризации (31,1) необходим явный вид оператора в представлении т [c.174]

После того как написаны эти соотношения, можно переходить к задаче нахождения функции распределения для квантовомеханических переменных. Сначала заметим, что в соответствии с основными принципами квантовой теории классические наблюдаемые — такие, как д (i) — заменяются в квантовой механике операторами Ь. Как мы знаем, в квантовой механике можно по-разному выбирать временную зависимость операторов Ь. В представлении Шредингера операторы Ь, Ь+ не зависят от времени и вся временная зависимость квантовой системы описывается волновой функцией <р или (при более изящном подходе) зависящей от времени матрицей плотности. Другое описание основывается на представлении Гейзенберга, в котором зависят от времени операторы Ь, Ь+, а волновая функция от времени не зависит. В нашем изложении будет использоваться представление Шредингера, которым мы уже пользовались в разд. 11.1, хотя и не употребляли этот термин. Мы установим аналогию между структурой статистического среднего такого вида, как Б формуле (П.35), и квантовомеханического среднего вида [c.297]

В шредингеровском представлении дело обстоит как раз наоборот. Операторы не зависят от времени (если речь не идет о переменном внешнем поле), а волновая функция зависит от времени. Для самого гамильтониана, как видно из (6.9), оба представления совпадают. [c.67]

В большинстве физ. примеров Д- о. линейны. Важнейшие из них операторы квантовой механики. Папр., операторы импульса ру, орбитального момента Му, гамильтониан Н для волновых функций ф(ду) в координатном представлении реализуются как Д. о. PJ = —itid dqj, Мj q d / dqi — qtd / Зд ), Н= [c.684]

Таким образом, как и в классическом случае, здесь остается только столкновительный член. Для его вычисления сначала рассмотрим довольно сложные чисто квантовостатистические члены, например матричный элемент (12 [ 1 2 3). Удобнее всего представить его в виде матричного элемента между состояниями с различными волновыми векторами, т. е. в том же представлении, что и операторы симметризации (3.8.9). [c.248]

Отметим еш е, что понятие статистического оператора возникает в квантовой механике в двух, принципиально различных случаях. Во-первых, предполагают обычно, что состояние системы описывается статистическим оператором, когда произведен немаксимально полный опыт, т. е. когда опыт не дает возможности определить волновую функцию. В этом случае считают, что проведенный неполный опыт выделил в функциональном пространстве некоторое подпространство, и результату опыта сопоставляют статистическую совокупность, определенную в этом подпространстве и характеризуемую статистическим оператором. Очевидна полная аналогия таких представлений и классического описания неполного опыта при помощи ансамбля систем, распределенных в выделенной опытом области АГо фазового пространства (см. гл. I), а также значение этих представлений для задачи обоснования статистики, изучающей связь принципиально неполных (макроскопических) опытов. Во-вторых, понятие статистического оператора возникает тогда, когда рассматривается сложная система, описываемая в целом при помощи Ч -функции (после соответствующего максимально полного опыта), и ставится вопрос об описании какой-либо части системы. В этом случае можно показать, опираясь только на формализм квантовой механики, что части системы, вообще говоря, не имеют определенной Т-функции, а характеризуются статистическим оператором. Разница [c.158]

Получен ряд решений задачи дифракции в общем трехмерном случае. Приведены интегральные представления для оператора распространения электромагнитного поля, сводящие решение прямой задачи к четырем преобразованиям Фурье. При этом доказанное свойство унитарности оператора распространения позволяет обобпщть скалярные итерационные алгоритмы синтеза фазовых волновых полей на случай точного электромагнитного расчета. На основе указанных интегральных представлений, разработан градиентный метод решения обратной задачи восстановления волновых полей. [c.236]

Следовательно, для волновых векторов класса 1П операция обращения времени приводит к удвоению кратности существенного вырождения от значения 1т-з) до значения 21т-з). Матрицы копредставлений (97.7) и (97.8) отражают полную пространственно-временную симметрию и их структура важна в последующем рассмотрении при получении правил отбора для многофононных процессов. Резюмируя, видим, что процедура получения индуцированных представлений из группы % к) не зависит от оператора обращения времени К. Группа к) — это группа чисто унитарных операторов, и сначала мы переходим от представлений группы (А) к представлениям [c.270]

Уравнения квантованных полей становятся еше красивее, если условиться проводить все усреднения физических величин с весовой функцией ф 0). Тем самым производится переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга волновая функция считается не зависящей от времени, зато все операторы приобретают временную зависимость. Для оператора Т это означает [c.304]

В главе V было показано, что задача диагонализации матрицы гамильтониана значительно упрощается, если предварительно выбрать функции так, чтобы они образовывали базисы неприводимых представлений. Построение таких базисов аналогично выполненному в предыдущем пункте. Рассматриваемая полная система функций разбивается на цепочки функций, и в каждой цепочке с помощью операторов строятся базисы неприводимых представлений. Если какое-нибудь неприводимое представление встречается в разложении только один раз, то построенные волновые функции будут собственными функциями нашей задачи. Если неприводимое представление встречается rj раз, то после построения базисов этого неприводимого представления для нахождения собственных функций приходится решать вековое уравнение порядка. Этот метод нахождения одноэлекгронных приближенных решений для молекулярной задачи носит название метода линейной комбинации атомных о ит. [c.91]

В п. 3 главы V была доказана теорема Вигнера, лежащая в основе большого числа приложений. Формально эта теорема дает выражение (5.30) для матричного элемента оператора энергаи Я (или любого другого инвариантного оператод>а) на функциях, преобразующихся по неприводимым представлениям группы симметрии этого оператора. Воспользовавшись дираковскими обозначениями для волновых функций и матричных элементов операторов, перепишем (5.30) в виде [c.160]

Пусть теперь Ы — Ы является волновым оператором. Будем считать, что выполнены условия определения 2.7.2 и, следовательно, в силу теоремы 2.4 корректно определен стационарный ВО и = и Н, Но] 3). Получим для Т = явное выражение в терминах спектрального разложения оператора Но и резольвенты оператора Я. Пусть выполняются условия леммы 2.6. Тогда представление (2.7.5) длл полуторалинейной формы ВО и справедливо на множестве Но х М. Учитывая выражение (2.7.10) для подынтегральной функции и соотношения (1.3.11), (1.4.11), запишем (2.7.5) в виде [c.223]

Нестационарное определение волновых операторов (ВО) на формальном уровне было дано К.Меллером [126]. Еще раньше, минуя ВО, оператор рассеяния вводился в работах Лж.Уилера 139] и В.Гейзенберга [101]. Стационарное представление для матрицы рассеяния появилось в физической литературе в работах Б.Липпмана и Дж.Швингера [125] и М.Геллмана и М.Гольдбергера [98. [c.400]

Б отличие от группы инвариантности действие операторов динамич. группы (группы неинвариаптности, или динамич. алгебры Ли) на одно выбранное стационарное состояние квантовой системы порождает все остальные стационарные состояния системы, связывая таким образом псе стационарные состояния системы, в т. ч. принадлежащие различным уровням, в одно семейство — мультиплет. При атом группа симметрии (группа инвариантности) системы является подгруппой группы Д. с. Так, для атомов водорода группой Д. с. является конформная 0(4, 2) динамич. группа, одно неприводимое вырожденное представление к-роп содержит все его связанные состояния, а для трёхмерного квантового гармонич. осциллятора — группа V (3,1), Среди генераторов группы Д. с. обязательно есть па коммутирующие с гамильтонианом, действие к-рых переводит волновые ф-ции состояний с одним уровнем энергии квантовой системы в волновые ф-ции состояний с др. энергиями (т. е. соответствует квантовым переходам между уровнями системы). [c.625]

Сопоставим И. П, с конфигурационным представлением ограничиваясь для простоты случаем одной частицы, Пусть ф р) = <р т1 > — волновая ф-ция данной частицы в И. п. По определению, оператор импульса р при этом диагонален зэф(г>) = рф() ). Оператор коордп-паты выглядит как x—ihd/dp, что согласуется с перестановочными СООТИОШОПИЯМИ [х , Pk] iA f = 2, 3), [c.133]

Как отмечалось, для непрерывного спектра собств. значений символы суммы в этих ф-лах о.значают интегрирование.) Если в качестве измеряемых величин взять координаты частиц, то волновая ф-ция системы будет задана в т. п. конфигурационном представлении. В частности, для одной частицы волновая ф-циятрСг) представляет собой коэф. разложения вектора состояния Jij)> по собств. векторам г> операторов координаты г — = х, у, z), t>(r)=. В этом случае vt (r) определяет вероятность dw обнаружить частицу в бесконечно малом объёме dV вокруг точки г dw— - r) " dV. [c.280]

Из Паули теоремы следует теперь, что для п(ь лей целого спина, полевые функции к-рых осуществляют однозначное представление группы Лоренца, при квантовании по Бозе — Эйнштейну коммутаторы [и (z), м( /)] или [м(л ), ( (у)] пропорц. ф-ции D x—y) и исчезают вне светового конуса, в то время как для осуществляющих двузначные представления полей полуцелого сниыа то же достигается для антикоммутаторов [и(х), и у)] (или [i (a ), (у)] + ) при кваа- товании по Ферми — Дираку. Выражаемая ф-лами (6) или (7) связь между удовлетворяющими линейным ур-ниям лоренц-ковариантными ф-циями поля и или v, v и операторами л, ai рождения и уничтожения свободных частиц в стационарных квантовомеханич. состояниях есть точное магем. описание корпускулярно-волнового дуализма. [c.302]

ОПЕРАТОРЫ в квантовой теории — сим-волич. изображение составленных по определённым правилам матем. операций (алгебраич., дифференциальных, интегральных, перестановочных и т. д.), используемых в квантовой теории для преобразования встречающихся в ней величин. Если состояние квантовой системы описывается с помощью волновой ф-ции ф(ё,ж) (для конкретности, папр., в Шрёдингера представлении), то О. или их последовательность в конечном счёте действуют на эту ф-цию, сопоставляя с ней волновую ф-цию, соответствующую уже др. состоянию системы. В др. формализмах квантовой теории (папр,, когда состояние системы фиксируется с помощью О. матрицы плотности или в представлениях, когда ф является фиксир. вектором в гильбертовом пространстве) О. действуют па др. О., характеризующие состояние системы или к.-л. ее характеристики. Ниже будут рассмотрены наиб, часто встречающиеся типы U. [c.410]

Пусть п=3, а Al — q, А р, А = I, где I — единичный оператор, а и р — операторы координаты и импульса частицы. Равенство [qp = ihi задаёт т. н. канонические П. с. для системы с одной степенью свободы. Они определяют алгебру Ли группы Гейзенберга. Из них видно, что координата и импульс не могут принимать одновременно определ. значения. Если Дд и Др — неопределенности в значениях координаты и импульса, то ДдДр А. Это — частный случай неопределенностей соотношения. Для системы с т степенями свободы, т. е. для системы, гамильтониан к-рой зависит от т операторов обобщённых координат ог т сопряжённых этим координатам импульсов pi,.,.,p i, канонич. П. с. имеют вид [д ,Р(] = ihi здесь выписаны только ненулевые коммутаторы). Вообще, переход от классического к квантовому описанию физ. системы можно трактовать как замену классических Пуассона скобок коммутаторами операторов соответствующих величин. Из канонич. П. с. следует, гго каждая пара канонич. переменных д/,р удовлетворяет соотношению неопределенностей. В представлении, в к-ром все операторы координат диагональны (т. е. в представлении, где состояние задается волновой ф-цией причём = дД ], операторы [c.576]

В случае системы слабо взаимодействующих тождественных частиц существует еще одно важное представление — представление Чисел заполнения, или представление вторичного квантования. Для слабо взаимодействующих систем можно приближенно ввести одночастичные волновые функции (<7,). Эти функции описывают состояния отдельной частицы в отсутствие всех остальных. Удобно считать, хотя это и не является необходимым, что функции <Рк й1) являются собственными функциями некоторого эрмитова одночастичного оператора Ь — оператора энергии частицы, импульса частицы, момента импульса частицы и т. д. Это значит, что функции <р к удовлетворяют уравнению [c.349]

Этот метод расчета лазеров основан на квантовом описании взаимодействия генерируемого (или усиливаемого) электромагнитного излучения с активной средой, когда не только активная среда, но и излучение описываются уравнениями квантовой теории. Квантовый метод основан на учете корпускулярно-волнового дуализма как основного свойства материи. Любой вид материи, будь то поле колебаний какого угодно вида (электромагнитных, упругих и т. д.) или вещество, может быть представлен в виде ансамбля частиц или квазичастиц, которые описываются соответствующими операторами рождения или уничтожения, вводимыми для каждого вида частиц или квазичастиц. Основное различие в свойствах операторов и их связи с характеристиками поля определяются принадлежностью частиц к бозонам или ферми-онам. [c.33]

Чтобы вывести квантовомеханические уравнения Ланжевена, мы будем пользоваться представлением Гейнзенберга. В этом представлении операторы считаются зависящими от времени, а волновые функции от времени не зависят. Временная зависимость операторов определяется уравнениями движения Гейзенберга, которые можно получить следующим путем. Допустим, мы хотим исследовать зависимость от времени для оператора Q. Его временная производная дается уравнением [c.255]

Для каладого к определен набор операторов из группы , преобразующих блоховский вектор в вектор с эквивалентным значением волнового вектора к. Эта совокупность операторов образует группу волнового вектора к, обозначаемую (к). Она является подгруппой группы . Определяются неприводимые представления группы к). Для этой цели можно использовать два метода. Будет рассмотрен метод лучевых (проективных или нагруженных) представлений, использующий представление структуры к) как расширения. Кроме того, будет излож-ен метод малых групп. Среди всех неприводимых представлений к) допустимыми для наших целей оказываются только некоторые. Будут определены эти допустимые неприводимые представления а тажже соответствующие им векторные пространства. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...