Римановы переменные

V 2 q Следовательно, римановы переменные равны [c.201]

Частное решение, для которого одна из римановых переменных постоянна во всей области течения, будем по-прежнему называть простой волной. Такое решение получается при изучении [c.201]

Эти соображения привели Герца к мысли о том, что, возможно, вся потенциальная энергия приложенных сил порождается скрытыми движениями, выражаемыми при помощи циклических переменных. Дуализм кинетической и потенциальной энергий представляет собой достойную задачу для философских размышлений. Мы имеем инертное свойство материи, с одной стороны, и силу — с другой. Инертное свойство материи есть нечто, вытекающее из самого факта существования массы. Обычная инерция заставляет материю двигаться по прямой линии то же самое происходит и в римановом пространстве, при помощи которого движение даже самых сложных механических систем изображается как движение одной точки. Создается впечатление, что инерция есть первичное свойство материи, которое вряд ли может быть сведено к чему-либо еще более простому. Поэтому с философской точки зрения можно согласиться с тем, что при помощи кинетической энергии выражаются инертные свойства материи. Однако подобного объяснения для силы предложить нельзя. Если кинетическая энергия является главной движущей силой в механике, то нельзя ли как-нибудь обойтись без потенциальной энергии и тем самым устранить необъяснимый дуализм, проникший в механику вместе с понятием о двух глубоко различных формах энергии, кинетической и потенциальной. Герц хотел показать, что потенциальная энергия имеет кинетическое происхождение, что она возникает в результате скрытых движений с циклическими координатами. Место сил в бес-силовой механике Герца занимают кинематические условия, налагаемые на движение с микроскопическими параметрами. [c.158]

В формализме Лагранжа рассматривается пространство конфигураций переменных q , в гамильтоновом же формализме механические движения и движения изображающей точки представляются в фазовом пространстве 2п переменных q и р,. В то время как пространство конфигураций имеет геометрию риманова типа, фазовое пространство не имеет определенной геометрической структуры и только для удобства вычислений можно предположить, что ql и р,- образуют прямоугольные координаты 2п-мерного евклидова пространства. [c.878]

Фазовое пространство Ф такой системы состоит из фазовых пространств 01, 02,. . Фдг систем (3), склеенных так, что фазовые точки пространства Фр, удовлетворяющие условию (2), отождествляются ( склеиваются ) с точками пространства 0д, в которые они переходят согласно соотношениям (5). В случае, когда пространства 0j двухмерные, в результате такого склеивания возникает так называемая многолистная фазовая поверхность, в некотором смысле напоминающая риманову поверхность многозначной функции комплексного переменного. [c.153]

Преобразование (17.69) отображает риманову энергетическую поверхность на комплексную плоскость t, и всюду аналитическая функция двух переменных kx и 2 будет всюду аналитической функцией переменной t. Отображение проиллюстрировано на фиг. 17.2. [c.483]

В главе I при рассмотрении римановых волн было показано, что между переменными р, р, V существует связь [c.82]

Для общего оператор M(x,i = BZ M x) имеет п различных собственных значений (С),. .., ( ). Пусть ш = ю(С)—одно из этих значений. Собственная вектор-функция / х, w) линейного оператора М х, С) М (х, I)f(x, w) = wf x, ш), нормированная, например, условием / =1 (где —первая компонента), есть алгебраическая функция на римановой поверхности Г, накрывающей расширенную плоскость комплексного переменного (сферу Римана). Компоненты функции / рационально выражаются через w (С) и через элементы матрицы Ki х, Q. Из соотношения коммутации (14) операторов L и М х, С) следует, что собственная функция (х) матрицы м(х, а отвечающая однократному собственному значению ш(С), есть собственная функция оператора L = +Q(x) — - Л [c.336]

Если подойти к этому случаю строго с аналитической точ-т и зрения, то положение следующее. Будем рассматривать и ж 1 как комплексные переменные. Тогда функция х(1) будет аналитической по t, так как она может быть получена путем исключения и из целых по и функций (221) —(22г). В соответствии с (23) эта аналитическая функция х(г) имет при г = О алгебраическую точку разветвления, в которой соединяются три листа римановой поверхности. Из (23) также вытекает, что если t отлично от нуля, ио малое и вещественное, то функция х 1) будет вещественной на одном и только одном из этих трех листов, как при ->— 0, так и при ->+0, т. е. и до и после столкновения. Поэтому, если [c.242]

Возьмем плоскость комплексного переменного х и проведем на ней разрез (— оо, 0), к обеим берегам этого разреза будет примыкать второй лист римановой поверхности неоднозначной функции К, %). [c.326]

Л 2 - 1т - О, лея ащих на двух листах римановой поверхности переменного к. Полагая к — записываем уравнения линий = О п [c.355]

Это дисперсионное уравнение имеет четыре корня относительно переменной 8. Два из них лежат на нижних листах римановой поверхности, на которой определено дисперсионное уравнение, (при таких значениях 5 не выполняются условия (3.10)) [10]. Оставшиеся два значения 8 комплексно сопряженные. Они описывают волны, распространяющиеся вдоль X (вправо) и против х (влево). Не уменьшая общности, в качестве конкретного значения 5 выбирается то, у которого 1т(5) > О, что соответствует волне, распространяющейся вправо. [c.188]

Осталось перейти к новым переменным в дифференциальном выражении (6.162) для римановых переменных. На характеристике выражение (6.162) обращ,ается в нуль следовательно, (6.160) также можно использовать для нахождения связи между du и dv. Эта связь имеет вид [c.200]

Как следствие эта риманова переменная постоянна во всей области течения. Тогда из уравнений для С+ следует, что, и и 0 должны принимать постоянные значения на каждой характеристике С+ и каждая характеристика С+ представляет собой прямую с накло- [c.201]

Впоследствии схема Рябу-шинского была обобщена для других случаев рядом авторов. В частности, М. И. Гуревичем рассмотрена задача о кавитационном обтекании наклонной пластины (рис. 10.10, б). Д. А. Эфросом и независимо другими авторами предложена одна из наиболее удачных схем суперкаверны с возвратной струйкой (рис. 10.10, в). По этой схеме в концевой части каверны образуется возвратная струйка, которая при описании течения G помощью функций комплексного переменного, уходит на второй лист римановой поверхности. Поэтому условие постоянства размеров каверны не нарушается. Эта схема для плоской пластины дает результаты, близкие к результатам, полученным по схеме Рябушинского. Было предложено и несколько других схем. На рис. 10.10, г, д, е приведены схемы Тулина, Жуковского — Рошко, Лаврентьева. Каждая из них позволяет решить задачу обтекания и, в частности, найти коэффициент лобового сопротивления обтекаемого тела как функцию числа кавитации х. Для этого коэффициента по схемам нескольких авторов для пластины, нормальной к потоку, получена формула [c.402]

Это — общее условие канонического преобразования, причем любая функция и Q может быть выбрана как производящая функция канонического преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые условия между и Qi (число условий может изменяться от 1 до п). Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и основная функция в динамике определяют расстояние в римано-вом пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом, является производящей функцией некоторого частного канонического преобразования. [c.877]

Топология возникла совсем недавно. Если отдельные мысли и положения, которые мы сейчас отнесли бы к топологии, можно проследить еще в античной геометрии, среди идей Леонардо да Винчи, у Декарта и конечно у Эйлера, то формироваться и приобретать собственные очертания геометрия положения начала еще позже, чем учение о механизмах и машинах. В 1858 г. астроном одной из небольших немецких обсерваторий А. Ф. Мёбиус (1790—1868) представил Парижской академии наук ме-муар об односторонних поверхностях. Несколько раньше, в 1847 г., независимо от Мёбиуса гёттингенский астроном И. Листинг (1808—1882) под влиянием Гаусса опубликовал Введение в топологию . В то же самое время подобные идеи начал исследовать Бернгард Риман (1826—1866), который в них нашел соответствие с возникавшей тогда теорией функций комплексного переменного. Оказалось, что изучение топологических свойств некоторых поверхностей, получивших название римановых, эквивалентно изучению аналитических функций комплексного переменного. Дальнейшее развитие этих идей было выполнено в трудах выдающегося французского математика Анри Пуанкаре (1854—1912) и в Геттингене Феликсом Клейном (1849-1925). [c.113]

МНОГОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ — ф -ция, сопоставляющая независимому переменному не одно, а неск. значений. М. ф. естеств. образом возникают в теории аналитических функций, когда аналитическое продолжение ф-ции, заданной в окрестности нек-рой точки г вдоль замкнутого контура, приводит к ф-ции с др. значениями в окрестности той же точки. Такая ситуация возникает, в частности, когда рассматриваемая ана-литич. ф-ция имеет внутри данного контура точку ветвления. Считая точку г до обхода контура и ту же точку z после его обхода разными точками, рассматривают соответствующую неоднолистную область, в к-рой данная аналитич. ф-ция уже однозначна. Макс, неоднолистная область, в к-рой заданная ф-ция аналитична, наз. римановой. поверхностью этой ф-ции. [c.161]

T, в многообразии определяется так подмножество в М" открыто, если открыто его пересечение с каждой картой. Дополнительно в определении многообразия требуется, чтобы пересечение любых двух карт было открыто, а также чтобы М" было хаусдорфовым тоггологич. пространством. Многообразие наэ. чамкнутым, если оно компактно и связно. Все понятия дифференц. исчисления ф-ций многих переменных и локальной дифференц. геометрии (гладкие ф-пии и отображения, векторные и тензорные поля, дифференц. формы, римановы метрики и др.) несложно переносятся на многообразия. Многообразия М" и iV" наз. диффеоморфными, если определены взаимооб-ратные гладкие отображения и [c.145]

Поиски возможности теоретического моделирования кавитационного обтекания при отличных от нуля числах кавитации привели к установлению новой схемы обтекания с образованием возвратной струйки (отводящей некоторое количество жидкости на фиктивный второй лист римановой поверхности). Эта, казалось бы, надуманная схема, предложенная в 1946 г. Д. А. Эфросом и одновременно группой американских исследователей , на самом деде дала возможность получить хорошие оценки для параметров кавитационного обтекания. Впрочем, и ряд других схем (пожалуй, однако, менее изящных) дает результаты, близкие к рассчитанным по схеме с.возвратной струйкой. 285 Это — 1) схема Д. П. Рябзотинского с замыкающим каверну симметричным телом, перенесенная в 1932 г. на условия кавитации Ф. Вайнигом 2) схема с переменной скоростью на струях Л. И. Седова — М. И. Гуревича 3) схема с замыканием границ каверны на параллельные полупрямые, которую исследовал с другой целью еще Жуковский в 1890 г. (к задачам кавитационного обтекания последняя схема была приложена лишь в 50-х годах). Любопытная схема струйного обтекания со спиралеобразными особенностями на струях предложена недавно М. П. Тулиным [c.285]

Во второй группе экспериментов [52, 53, 64, 65, 70, 71] методом преград проводились измерения не только конечных, но и промежуточных состояний, на изэнтропе плазмы. С этой целью измерялись параметры ударных волн в преградах с различными динамическими импедансами, располагаемых по ходу волны непосредственно за образцом. Тем самым определены изоэнтропы расширения исследуемых ударно-сжатых веществ в крординатах р, и. Переход от измеренных давления и массовой скорости на Римановой траектории разгрузки к термодинамическим переменным р, V, Е осуществлен вычислением интегралов Римана. [c.367]

Оказывается, с каждой компактной римановой поверхностью рода т естественным образом связано поле абелевых функций от т комплексных переменных. Напомним, что риманова поверхность X — это двумерное многообразие, покрытое комплексными картами, причем переход от карты к карте является голоморфным отображением. Простейший пример компактной римановой поверхности — двумерный тор (факторпространство комплексной плоскости по двумерной решетке). Ее род равен единице. [c.113]

Уравнения вида (9.9) встречаются при интегрировании многих задач классической механики. Примерами служат случаи интегрируемости Ковалевской, Клебша и Ляпунова — Стеклова из динамики твердого тела (см. 5). Причем, в отличие от задачи Горячева— Чаплыгина, в этих случаях фазовые переменные являются однозначными функциями на якобиане римановой поверхности рода 2. [c.115]

Здесь FjTj — однородная форма переменных однозначная на римановой поверхности X частного решения zo t), причем Fo t) = = f zo) = onst. Ряд (5.4) — интеграл уравнений (5.2). Очевидно, что первая ненулевая форма Г пг 1) является интегралом линейных уравнений в вариациях (5.3). Так как функция jF постоянна на решениях (5.3), то при каждом to X однородная форма Fm( , to) инвариантна относительно действия группы монодромии Fm(T ,io) = Fm h), Т е G. Это свойство налагает жесткие ограничения на вид первых интегралов если группа G достаточно [c.359]

Леви-Чивита (Ьеи1 СгиНа) Туллио (1873-1941) — известный итальянский математик и механик. Окончил Падуанский университет, профессор рациональной механики этого университета 1898-1938 гг.). Основные направления исследований теория чисел, тензорный анализ, риманова геометрия, аналитическая и небесная механика, гидромеханика, теория упругости. Основополагающие работы в области абсолютного дифференциального исчисления. Совместная с Г. Риччи-Курбастро монография Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения сделала, по словам А. Эйнштейна, возможной математическую формализацию общей теории относительности. Ему принадлежит идея параллельного переноса векторов, идея искривленного пространства, теорема об аналитических функциях комплексного переменного, фундаментальные работы по теории потенциала, по теории поверхностных волн от движения твердого тела, по теории трехмерного пограничного слоя. [c.56]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Картан Э. Геометрия римановых пространств. — М. Л. ОНТИ, 1936. Теорема доказана в предположении, что функции Gsf(a , а , а" ) дважды непрерывно дифференцируемы по всем переменным а в некоторой односвязной области их задания. В Курсе математического анализа Э. Гурса (т.II) доказывается существование голоморфных решений вполне интегрируемых систем с голо-> орфными правыми частями. [c.51]

Униформизацня. Для параметризации и для построения феноменологических моделей очень удобно ввести вместо энергии другую переменную, относительно которой S-матрица будет однозначной функцией. Такая процедура называется униформизацией. Униформизация позволяет, так сказать, развернуть риманову поверхность, отобразив ее на комплексную плоскость. В одноканальном случае униформизация тривиальна. Простейшей переменной, с помощью которой можно осуществить параметризацию в этом случае, является импульс k. Связь [c.482]

Имеются два важных и связанных между собой принципа, управляющих поведением голоморфных функций одного переменного, которые справедливы также для голоморфных функций нескольких комплексных переменных аналитическое продолжение и определение функции по ее значениям в вещественной области. Согласно первому область голоморфной функции мояшо продолжить единственным образом, рассматривая последовательности перекрывающихся полидисков. Конечно, вообще говоря, две разные последовательности перекрывающихся дисков приведут к разным значениям в одной и той же точке С", поэтому приходится вводить риманову поверхность для функция, чтобы восстановить ее однозначность. В этом не возникнет необходимости ни в одном из приложений, которые мы имеем в виду. Второй принцип возникает из того факта, что все коэффициенты степенного ряда для голоморфной функции могут быть получены с помощью вычисления производных в (2-57) в направлении действительной оси. Таким образом, голоморфная функция определяется в полной комплексной окрестности какой-нибудь точки С по ее значениям в вещественной окрестности, т. е. на открытом множестве К", получаемом в результате изменения только действительных частей комплексных переменных. [c.75]

Коэффициенты с с нечетными номерами, очевидно, равны нулю, а соФО. Следовательно, x(i)—четная функция времени, т. е. движущаяся точка отражается от притягивающего центра после столкновения. Если переменные х и t рассматривать как комплексные, то ( = 0 является алгебраической точкой разветвления аналитической функции x(t). В точке столкновения = 0 сходятся три листа ее римановой поверхности, [c.68]

Пример. Рассмотрим функцию f С ->-С, f z, w)=z +w . Она имеет морсовскую критическую точку в начале координат. Критическому значению О соответствует особое множество уровня Vo= (z, w) z + w = 0 —пара комплексных прямых, пересекающихся в начале координат. Все остальные множества уровня Vt, t=T O, топологически одинаковы и гомеоморфны цилиндру S XR, т. к. риманова поверхность функции w=yt—z склеивается из двух экземпляров плоскости комплексной переменной Z по разрезу от —у/ до -hlft (рис. 13). [c.54]

V х) уравнения (14) есть конечнозонный потенциал для оператора L = dldx + u x) — lA. Это означает, что существует риманова поверхность Г алгебраической функции ш(С), п-листно накрывающая плоскость комплексного переменного С и имеющая конечный род, и собственная функция г ) = ф(д , w) оператора L Li j = 0, мероморфио зависящая от точки ш на Г. В данном случае в качестве Г нужно взять риманову поверхность алгебраической функ- [c.335]

Следовательно, i u > onst > О при любом если значения комплексной переменней гг достаточно близки к вещественной оси, а комплексная переменная е достаточно мала по модулю. По теореме о локальном существовании неявной функции (аналитической) решение и = и(и, ) уравнения F = О может быть представлено в виде ряда (50), причем этот ряд имеет при любом фиксированном вещественном конечный радиус сходимости р = р(0 и неравенство (53<) справедливо при достаточно малом положительном р. Тот факт, что это неравенство справедливо при значении р, равном (49), может быть доказан при непосредственном анализе уравнений F = О, Fu = 0. К тому же результату приводит непосредственное исследование ближайших особенностей на римановой поверхности и = и е,Х) при фиксированном вещественном (см. также замечание в конце 292) ). [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...