Связанные уравнения для амплитуд

Эволюция во времени амплитуд вероятности. В предыдущем разделе была сформулирована система двух связанных уравнений для амплитуд вероятности Фа,п-1 и Фь,п В данном разделе вводятся одетые состояния , которые представляют собой линейные комбинации этих амплитуд и приводят к расцеплению уравнений. Тогда амплитуды вероятности ведут себя подобно частице в определённом потенциале, который задаётся электромагнитным полем. Мы получим эти потенциалы и соответствующие начальные условия. [c.612]

Уравнения (5.7) аналогичны, конечно, связанным уравнениям для амплитуд, полученным в работе Армстронга и др. [3] (см. в особенности уравнение (4.9) работы [3]). Это скорее алгебраические, а не дифференциальные уравнения, так как они описывают стационарный отклик системы на периодические вынуждающие силы и колебательные нелинейные эффекты, а не эффекты для бегущих волн. Уравнения (5.7) являются несколько более общими, чем соответствующие уравнения Армстронга, поскольку в них учитывается механизм затухания и в нелинейной среде, и в стенках резонатора. Интегралы по объему образца в нелинейном члене соответствуют условию сохранения момента, или согласования фазовых скоростей в случае бесконечной однородной среды без потерь и однородных плоских волн. При 1 = [c.417]

В рамках метода эволюции по константе связи, использовавшегося ранее для описания лишь упругих процессов, предлагается новый способ рассмотрения неупругих многоканальных процессов обш его типа. Дифференциальные по константе связи уравнения для амплитуд упругих каналов дополняются простыми алгебраическими уравнениями для неупругих переходов, что в совокупности дает полное и однозначное решение задачи с соблюдением условия унитарности на каждом этапе последовательных приближений. Метод иллюстрируется на примере задачи о рассеянии частицы на связанном комплексе, имеюш ем несколько уровней возбуждения. [c.310]

Исключение в этом смысле составляют упругие переходы, для которых закон сохранения энергии выполняется при всех значениях константы связи (в начальном и конечном состояниях имеются одинаковые связанные комплексы, которые служат единственным источником зависимости энергии от ). Именно для упругих переходов и следует пользоваться дифференциальным уравнением для амплитуды, которое получается из (11) при = 0 [c.314]

Уравнения (А.14) и (А.15) составляют вместе систему связанных линейных уравнений для амплитуд поля Е к) я Е(к — С). Нетривиальные решения этих уравнений существуют при условии равенства нулю детерминанта, составленного из их коэффициентов [c.720]

Поскольку дальше речь пойдет лишь о квазигармонических модулированных волнах, оговоримся здесь о существовании в общем случае гораздо более широкого класса модулированных волн — несинусоидальных (и даже не обязательно периодических) волн с медленно изменяющимися параметрами. Как мы уже знаем, поведение волны в нелинейной среде зависит от соотношения параметров дисперсии О и нелинейности N. Когда N < В, волна будет квазигармонической, ее гармоники будут бежать с существенно различными скоростями (нет синхронизма) и потому эффективно основной волной возбуждаться не будут т. е. не повлияют существенно на ее форму. При этом волну можно записать в виде А(г, ) ехр(г ) - - к. с., где А — медленно изменяющаяся амплитуда, а ф — полная фаза (эйконал). В рамках такого описания можно построить нелинейную геометрическую оптику (по поводу линейной геометрической оптики см. [5] и гл. 12), в которой уравнения для амплитуды волны и полной фазы в отличие от линейной задачи оказываются связанными. При этом характер модуляции волны в процессе распространения зависит от ее амплитуды (это само-воздействие именно к такому классу явлений относятся упоминавшиеся самофокусировка волновых пучков и самомодуляция, приводящая к образованию волновых пакетов). [c.411]

Здесь 5 —лучевой вектор поскольку в направлениях, перпендикулярных лучу, происходит переход в область тени, изменения амплитуды вдоль луча следует считать более медленными, ежели поперек луча. С учетом (16) уравнения для амплитуд связанных волн, описывающие процесс генерации второй гармоники в анизотропной среде в двумерном пучке конечного поперечного сечения, принимают вид [c.24]

Это выражение имеет ту же форму, что и соотношение (4.45) для энергии фотоупругой связи. Теперь можно записать уравнения связанных волн, аналогичные уравнениям (4.56) и (4.57). Волновое уравнение для оптических фононов отличается, однако, от уравнения (4.49) для акустических фононов в силу различия дисперсионных характеристик. Поэтому в уравнении для амплитуды молекулярных колебаний появляется групповая [c.168]

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУД СВЯЗАННЫХ ВОЛН 61 [c.61]

Уравнения для амплитуд связанных волн [c.61]

Система уравнений для связанных волн (5.8), записанная в виде конечных приращений амплитуд соответствующих световых волн после прохождения некоторого тонкого слоя решетки, имеет вид [c.106]

Уравнения (17.6) и (17.8) вместе с соответствующими граничными условиями для и в, которые остаются прежними, образуют спектральную задачу для амплитуд возмущений в поперечном поле. В использованном приближении амплитуда возмущения магнитного потенциала оказывается исключенной из системы без повышения порядка при этом, разумеется, из рассмотрения исключаются ветви спектра, связанные с магнитными возмущениями. Влияние поперечного магнитного поля на устойчивость обусловлено его подавляющим воздействием на основное течение и возмущения скорости. [c.121]

Сделаем короткое замечание о граничных условиях к уравнению (19). Для тех переходов, в которых не участвуют связанные состояния, условия (20) сохраняют свою силу. В остальных случаях, в силу исчезновения при д 0 самого связанного состояния, соответствующая амплитуда рассеяния должна исчезать в этом пределе быстрее первой степени д. [c.64]

Исследуем теперь связанные дифференциальные уравнения для электромагнитных волн и волн давления в случае дискретного спектра частот. Из уравнения (2.51-16) видно, что подстановка только одной электромагнитной волны, например лазерной волны с амплитудой ([ь), не дает необходимого результата. В самом деле, получающаяся волна давления тогда имела бы частоту 2/1,, полностью выпадающую из области частот акустических волн. (Нас не интересует одновременно возникающее постоянное давление.) Поэтому наряду с лазерной волной следует ввести в рассмотрение по крайней мере еще вторую электромагнитную волну с амплитудой ([в)- В этом случае возникает разностная частота /1, —/о, которая может попасть в область частот акустических колебаний. Для давления примем существование только одной волны с частотой и амплитудой = Предполагается, что присутствующие в решениях частоты и волновые числа удовлетворяют дисперсионным соотношениям, указанным в разд. 2.51. Колебательная амплитуда компоненты 2 с частотой /1, —/о имеет вид [c.148]

Взрывная неустойчивость, проявляющаяся в одновременном нарастании амплитуд всех резонансно связанных волн возможна и в среде без диссипации, если среда неравновесна [7, 10]. Примером может служить взаимодействие волн разных знаков энергий (см. гл. 10) в системе плазма-электронный поток. Если отрицательной энергией обладает волна, которая распадается ( з), либо пара низкочастотных волн ( 1,2), то в правых частях уравнений для 1,2,3 будут одинаковые знаки, и вместо (17.9) мы вновь приходим к уравнениям вида (17.31). Поскольку волны отрицательной энергии, отдавая энергию другим волнам (и увеличивая их амплитуды), нарастают по амплитуде и сами, становится понятным одновременный рост всех взаимодействующих волн, наблюдаемый при взрывной неустойчивости [11]. [c.369]

Связанными являются только амплитуды для к, — к, поскольку именно этим свойством обладает преобразование (19.49). Подставляя (19.62) в (19.61) и используя (19.49), получаем следующее уравнение для С [c.467]

В этом приближении процесс генерации излучения с частотами (Ов и соа описывается системой уравнений для связанных волн с амплитудами Ед и . Без существенного ограничения общности будем считать среду изотропной. Предположим далее, что все волны поляризованы одинаково, так что можно использовать выражения для скалярной комбинационной восприимчивости (2.62) и (2.68). Точно так же можно, разумеется, рассмотреть и случай, когда поляризации стоксовой и антистоксовой компонент и поляризация излучения лазера перпендику- [c.175]

ВИЛЬНО отражает начальный этап процесса генерации гармоники и позволяет корректно сформулировать граничные условия, используемые в [6] при решении системы приближенных уравнений первого порядка для амплитуд связанных волн. Отметим, что на начальном этане амплитуды волн с частотами И] и И2 постоянны (точнее, уменьшаются пропорционально [c.350]

Как уже упоминалось, выражения, описывающие движения, содержат (как и для систем с конечным числом степеней свободы) одну или более независимых произвольных бесконечно малых постоянных (определяющих общую амплитуду движения, через которую выражаются все остальные постоянные), и которые могли бы быть выражены (друг через друга, Б. К.) линейно для каждой отдельной А, так что если эта постоянная обратится в нуль, то должны исчезнуть и все остальные . Как видно, уравнения (системы (5), Б. К.) должны удовлетворяться при = 7] = ( = ф = 0, и если Г], ( , ф есть их решение, то при произвольной малой постоянной к решениями являются и к , кг], кС,, кф. Как и для конечных динамических систем, уравнение, определяющее периоды или А, получается путём исключения всех постоянных, связанных с различными амплитудами колебаний. [c.185]

Систему (2.39) часто называют также системой укороченных уравнений (поскольку из них исключены члены со вторыми производными) для амплитуд связанных волн. — Прим. перев. [c.63]

В задаче 9.4.4 показано, что за рассеяние назад ответствен спектральный компонент неоднородности (2к), где к = ш/Ср — волновое число падающей волны. Если в среде имеется слабая периодическая неоднородность х) = С05 2кх) слабые отраженные возмущения от каждого из слоев складывают ся в фазе и волна, рассеянная от всей "резонансной" неодно родности, может иметь значительную амплитуду. Иначе говоря две волны, бегущие в положительном и отрицательном направле ниях оси X, из-за многократных переотражений в слоях связаны между собой. Получить уравнения для комплексных амплитуд связанных волн. [c.325]

Используя уравнение (5.3) для амплитуд связанных волн, найти коэффициенты отражения волны от периодически слоистой среды толщиной . Затем провести сравнение полученного результата с решением этой задачи в борновском приближении. Можно ли решить обратную задачу— определить L по измеренному коэффициенту отражения [c.326]

Во второй главе построены точные уравнения для одночастичной функции Грина и усреднённого поля деформаций. Одночастичный массовый оператор и связанный с ним эффективный тензор модулей упругости определяется амплитудой рассеяния вперёд продольных и поперечных волн на случайных неоднородностях. Хотя диаграммная техника наилучшим способом приспособлена для расчета эффективных транспортных и упругих параметров среды с учётом многократного рассеяния волн на сильных флуктуациях, эта задача нас здесь интересовать не будет. Мы хотели привлечь внимание математиков, физиков-теоретиков - специалистов по квантовой механике и студентов к проблемам геофизики. Поэтому в этой и следующих главах мы подробно излагаем диаграммную технику в применении к геофизическим задачам. Кроме того, мы посвятили один параграф квантовому подходу к теории упругого поля. Этот подход позволяет понять, как возникает необратимость при описании поля в случайно неоднородной среде обратимыми во времени уравнениями и отменить все дополнительные правила отбора решений и обхода полюсов. Эта проблема обсуждается известными физиками Б.Б. Кадомцевым [6], [c.40]

Бесконечная цепочка связанных уравнений для амплитуд вероятности. Система, состоящая из атома и электромагнитного поля, является бесконечномерной. Поэтому система уравнений для матрицы плотности этой физической системы тоже является бесконечной и не может быть рещена без упрощений. Все упрощения, которые приходится делать в системе уравнений для матрицы плотности, чтобы придти к решаемой задаче, появляются, конечно, и в системе уравнений для амплитуд вероятности. Поскольку элементы матрицы плотности билинейны по амплитудам, то обсуждать эти приближения удобнее на примере амплитуд и уравнений, которым они удовлетворяют. После введения приближенных уравнений для амплитуд, мы можем, используя формулу (1.70), связывающую элементы матрицы плотности с амплитудами вероятности, получить приближенные уравнения и для матрицы плотности. [c.40]

Связанные уравнения для амплитуд 63 Селмейера уравнения [c.258]

Такой подход [5.1, 5.3, 5.10—5.12] позволяет описывать толстые решетки с дифракционной эффективностью, приближающейся к единице, на которых может наблюдаться практически полное преобразование считывающего светового пучка в восстановленный. Анализ процессов дифракции в динамическом приближении может проводиться различными способами, из которых метод связанных волн получил наиболее широкое распространение. Этот метод основан на анализе системы связанных линейных дифференциальных уравнений для амплитуд считывающей и продифрагировавшей световых волн. Как правило, в рассмотрение включаются лишь две указанные брэгговские) световые волны, и в большинстве случаев это дает результаты, с хорошей точностью согласующиеся с экспериментальными данными. [c.79]

Получены общие выражения для комплексных нелинейных восприимчивостей при наличии затухания, которые одновременно описывают параметрические, мазерные и индуцированные комбинационные эффекты. Если приложенные поля близки к резонансам атомной системы и их амплитуды соответствуют расширениям линий, превышающим их естественную ширину, разделить эти эффекты невозможно. При этом следует рассматривать общую поляризацию, которая является смесью линейных и нелинейных эффектов, и считать ее источником, взаимодействующим с электромагнитными полями. Получены связанные уравнения для динамических переменных поля и матрицы плотности произвольной нелинейной среды однако для нахождения стационарных решений в явном виде необходимо удерживать только малое число членов в степенном разложении, отбрасывать нерезонансные члены и применять другие приближения. [c.419]

Приближённые уравнения нелинейной геометрической оптики связанные волны. Для большинства практически интересных задач Н. о. ур-ние (18) можно упростить, пользуясь методом медленно меняющихся амплитуд. Для плоских волн, распространяющихся в слабонелинейной среде, [c.297]

Здесь к—вещественное волновое число, связанное с длиной волны соотношением к = 2л1Х. Для амплитуд ф(л ) и 0(л ) из (15.2) получаем систему линейных однородных уравнений [c.100]

Матрица рассеяния (связанные состояния). Полученное в предыдущем пункте уравнение (19) для амплитуды рассеяния оказывается справедливым и в том случае, когда в начальном или конечном состоянии системы имеются связанные комплексы. Не рассматривая общего случая многоканальной реакции, мы докажем это утверждение применительно к задаче трехнуклонного рассеяния. В этом случае имеется всего один сорт связанных состояний (дейтрон), причем число таких комплексов в каждом из каналов реакции, включая входной, равно либо нулю, либо единице. [c.63]

Приведенные выше рассуждения делают очевидным общий результат из уравнений для электромагнитных волн и волн давления с днскретныхм спектрохм частот получается для волновых амплитуд система связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых присутствуют нелинейные члены. [c.149]

Когда постановка задачи является более ограниченной и требуется определить равновесную форму спектра, не интересуясь его динамикой, возможен принципиально иной подход [16, 123] к проблеме акустической турбулентности. Предполагая, что фазы различных фурье-компонент спектра слабо коррелировапы, можно от динамических дифференциальных уравнений перейти к кинетическому уравнению для средних значений квадратов амплитуд. Такой подход позволяет наряду с процессами самовоздействия, приводящими к возникновению коррелированных гармоник и переходу гармонической волны в пилообразную, учесть еще и процессы перемешивания волн, бегущих в различных направлениях. Это перемешивание, связанное с неодномерным характером явления, может привести к размытию фронта пилообразной волны и в этом смысле действует подобно турбулентной вязкости. Как показано в работе [126], стационарный спектр в [c.266]

Метод геоыетрической оптики в той форме, в каков он был применен выше, включает в себя два различных разложения. Первое из них проводится по параметру т. е. фактически по отношению ЯДо, где Яо — внутренний масштаб турбулентности. В результате этого разложения было получено уравнение эйконала и уравнение, связывающее амплитуду и фазу волны. Для случая, когда рассматривается распространение волн в слоисто-неоднородной среде, уравнение эйконала может быть решено точно. В этом случае границы применимости метода геометрической оптики определяются следующими членами разложения по Однако в случае распространения волн в среде со случайными неоднородностями само уравнение эйконала решается приближенно, путем разложения по малому параметру 6i = е — <е>. В этом случае границы применимости метода будут ограничиваться также нелинейными эффектами, связанными с членами порядка е . Рассматривая вопрос о границах применимости всего метода в целом, следует сначала рассмотреть вторую часть задачи. [c.268]

Из трансляционной симметрии решетки с одним атомом в примитивной ячейке следует, что д WlдrlдrJ зависит только от разности г> — п. (В случае кристаллов с более чем одним атомом в примитивной ячейке нам понадобились бы отдельные уравнения для каждого атоА1а ячейки.) В кристаллах с одним атомом в примитивной ячейке мы получаем три связанных уравнения, соответствующих трем компонентам уравнения (4.4). Ес.1и известны значения матрицы д 1дг1дТ , то в принципе можно решить эти три уравнения и получить тем самым значения собственных частот и относительные величины компонент векторных амплитуд для каждой моды. [c.410]

Отметим прежде всего, что переход от нелинейного волнового уравнения к приближенным уравнениям первого порядка (так называемым уравнениям связанных волн, или, как их еще называют, укороченным уравнениям) выполнен в гл. 4 даже для случая плоских немо-дулированных волн не в общем виде. Действительно, в книге сюду фигурируют уравнения для скалярных медленно меняющихся амплитуд, т. е. по существу предпо- [c.19]

Более детальный анализ показывает, что это предположение обосновано для анизотропной среды ( ор(Маль-пые волны которой имеют -определенные направления поляризаций), но для изотропной среды выполняется лишь в частных случаях, поскольку здесь поляризации нормальных волн произвольны, В общем же случае нелинейного взаимодействия в оптически изотропной среде (например, генер-ации второй гармоники в кристалле типа ОаАз, вынужденном -комбинацианно-м рассея-нии или вынужденном рассеянии Мандельштама — Бриллюэна в жидкостях) уравнения первого порядка являются векторными и описывают одновременно изменение амплитуд и поляризаций -взаимодействующих волн. Более детально этот вопрос рассмотрен в работе [41]. Заметим, кстати, что в теории нелинейных -волновых явлений в диспергирующих средах плодотворным оказывается использование идей, а в ряде случаев и конкретных методов нелинейной теории колебаний (например,. при анализе системы уравнений для связанных волн полезным оказывается метод фазовой плоскости и т. п.). Эта сторона нелинейной оптики подробно обсуждается в работе [41] там же можно найти и -соответствующую библиографию. [c.20]

В 5 мы пренебрегали нелинейным членом пЁ в уравнении для тока (5.6). В результате выражения для коэффициентов электронного поглощения и усиления получились не зависящими от амплитуды звуковой волны. На самом деле подобная зависимость экспериментально наблюдается, например, в ограничении коэффициента усиления при больших интенсивностях звука или в явлении насыщения. Величина дцпЁ, которую обычно называют токовой, а также концентрационной нелинейностью ), ответственна и за описание ряда других эффектов, связанных с нелинейными взаимодействиями волн, в том числе параметрических взаимодействий и акустоэлектрического эффекта. [c.330]

Положим Е = Ео —где Ео — внешнее дрейфовое поле, и сохраним линейные по переменным величинам члены. Выражение для тока принимает вид j = ОоЕо — Оо ф + е хи Е — еШп Оо = e iNo. Первый член представляет собой стационарный ток, остальные — переменную составляюш ую тока. Считая, что ЕоНОУ и все величины - ехр (Аг/— oi), получаем из (5.2) и (5.3) систему однородных уравнений па амплитуды. Равенство нулю определителя дает комплексное дисперсионное уравнение, которое определяет дисперсию связанных колебаний, в частности частоту и поглош ение ультразвука. Проиллюстрируем это на примере кристалла гексагональной симметрии с и = О, О, и у, t) . Согласно (1.2.12) отличны от нуля компоненты а г, Dy, причем [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...