Функция фазовой плотности

Теперь введем еще дополнительно несколько важных терминов. Если пренебречь различием масс звезд (на практике это не вносит существенных изменений) и считать звезды материальными частицами, то состояние любой звезды определится ее координатами х, у, г компонентами скорости х, у, г относительно фиксированной системы прямоугольных координат. Фактически мы можем ввести вектор состояния в 6-мерном фазовом пространстве с компонентами х, у, г, и, V, ьу. Этот вектор определяет точку в фазовом пространстве, описывающую состояние звезды в данный момент. Если известно распределение подобных точек в фазовом пространстве, то тогда известно и состояние звездной системы. Функция, описывающая такое распределение, называется функцией фазовой плотности. Когда эта функция определена, тогда из нее можно вывести другие величины, описывающие звездную систему. [c.486]

Заметим, что оператор плотности является, подобно классической фазовой плотности, симметричным относительно перестановок частиц. Действительно, в квантовой механике не все собственные функции гамильтониана являются допустимыми волновыми функциями системы, а лишь те из них, которые удовлетворяют определенным свойствам симметрии. Для систем частиц с нулевым или целым (кратным К) спином (бозе-частицы) допустимы лишь волновые функции, симметричные относительно одновременной перестановки координат и спинов частиц, а для систем частиц с полуцелым (в единицах К) спином (ферми-частицы) допустимы лишь антисимметричные относительно перестановки координат и спинов волновые функции. В выражение (11.30) для оператора плотности входят не все, а лишь допустимые волновые функции и из этого билинейного выражения видно, что независимо от сорта частиц оператор плотности не меняется при перестановке частиц. [c.194]

Для равновесной системы частиц в неподвижном сосуде импульс Р и момент импульса М равны нулю. Поэтому в этом случае для систем с заданным числом частиц фазовая плотность раС пределения зависит лишь от функции Гамильтона [c.195]

В задачах статистической физики распределение р (х , Xg /), по существу, постулируется в зависимости от особенностей термодинамической системы. Так, для адиабатических процессов принимают микроканоническое распределение Гиббса, для изотермических систем вводят каноническое распределение. Особенность задач статистической динамики заключается в том, что фазовая плотность вероятности априори не известна, р (х, /) является искомой функцией. При этом энтропия S приобретает смысл функционала. [c.41]

Каждую из функций (3.1.11) можно рассматривать как среднее значение Ns x )Y S-частичной фазовой плотности [c.166]

Статистическое усреднение в статистической механике вводится с помощью функции распределения или фазовой плотности f x) в фазовом пространстве, где x t) — фазовый вектор системы [192, 333]. [c.289]

Элемент телесного угла возникает как обычно в выражениях, связанных с квантовыми числами, имеющими непрерывный спектр. Если волновые функции нормированы на 8-функцию, то квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности вероятность же получается умножением квадрата модуля волновой функции на дифференциал спектра. Например, если Ч " (х) — волновая функция в координатном представлении, то вероятность иметь координату х записывается В (х) Р ( х. Если имеется функция для п частиц в импульсном представлении, то для получения вероятности надо квадрат модуля функции умножить на произведение дифференциалов импульсов частиц йр с1р йрг йрп- Это произведение обычно называют элементом фазового объема . [c.133]

Как показала в своей дипломной работе В. В. Журавлева (1988 г.), существует гладкая функция, являющаяся плотностью инвариантной меры в области, сплошь заполненной периодическими траекториями, не стягиваемыми по фазовому цилиндру в точку. [c.168]

Этот вывод легко истолковывается в фазовом пространстве. Здесь, когда х., постоянны, полная энергия Н представляет собой функцию только координат q. и поэтому ее можно рассматривать как потенциал скорости, не зависящий от времени. Из (2.28) следует, что и поле фазовой скорости (с компонентами р. , q, стационарно, хотя фазовая плотность р может зависеть от времени. В любом случае движение каждой единичной точки фазового пространства зависит только от ее начального положения. Поэтому распределение плотности в момент Iq [c.28]

Можно определить еще две другие функции, связанные с фазовой плотностью, а именно функцию звездной плотности и функцию распределения скоростей. Функция звездной плотности v — это число звезд на единицу объема в рассматриваемой точке (т. е. в точке с координатами х, у, г). Поэтому она определяется выражением [c.487]

Отсюда видно, что фазовая плотность f оказывается постоянной вдоль траектории звезды в фазовом пространстве она является также функцией шести величин, которые остаются постоянными вдоль траектории звезды в фазовом пространстве. В этом и состоит теорема Джинса. С учетом уравнения (15.30) также видно, что координаты и компоненты скорости входят в выражение для фазовой плотности только в комбинациях, которыми являются интегралы движения. [c.490]

Случайная (стохастическая) величина характеризуется множеством X (фазовое пространство) значений, которые она может принимать, и функцией распределения х) =Р <х), определяющей вероятность того, что она принимает значение меньше х. Будем предполагать, что существует плотность распределения вероятности для непрерывной ) случайной величины [c.61]

Следовательно, статистический ансамбль Гиббса, задается плотностью вероятности микросостояния системы, или фазовой функцией распределения (11.3), которая нормируется на единицу [c.185]

При рассмотрении задач, связанных с исследованием многокомпонентных сред с химическими реакциями и фазовыми превращениями, необходимо использовать дополнительные условия на поверхностях сильных разрывов. По определению на поверхностях сильного разрыва скачком изменяются функции (плотность, составляющие скорости, тепловой поток и др.), на поверхностях слабых разрывов скачком изменяются лишь производные функций. [c.25]

Кроме среднего значения плотности теплового потока, для расчета поверхностных аппаратов зачастую очень важна информация о локальной во времени и по поверхности нагрева плотности теплового потока. Естественно, изменение д во времени имеет особое значение для аппаратов периодического действия. Так, в вакуум-аппаратах д изменяется за цикл варки в 3—10 раз, поэтому нельзя рекомендовать простое арифметическое усреднение величины д в расчетных методиках, т. е. нужна информация о функции д (т) 134]. Для вакуум-аппаратов непрерывного действия эта функция должна превратиться в функцию пути продукта или поверхности нагрева д (Р). Если воспользоваться зависимостями д (т) по [34], то получим, что расчет средней д по среднему логарифмическому температурному напору может привести к большим ошибкам. По существу такая картина должна наблюдаться в любых аппаратах, где происходят частичные фазовые переходы и изменения температуры продукта. [c.12]

Для оценки плотности материала часто используют фазовый проходной метод в диапазоне радиоволн СВЧ. Этот метод базируется на взаимосвязи между контролируемым физическим параметром среды и ее диэлектрической проницаемостью. Если волна распространяется через изделие конечных размеров, то имеет место явление интерференции волн, претерпевших многократное отражение на границах раздела изделие — воздух. Вследствие этого изменение фазы 6 является осциллирующей функцией (е, I), где I — путь. При нормальном падении волны на слой диэлектрика величина осцилляции будет равна [c.246]

Возможность замены функции плотности распределения вероятностей фазовых координат нормальной, требуемой для статистической линеаризации, для определенного класса динамических систем объясняется предельными теоремами Ляпунова и Бернштейна. [c.150]

Уравнение ФПК, описывающее эволюцию функции плотности распределения вероятностей в фазовом пространстве, давно привлекает внимание исследователей как средство статистического описания широкого класса динамических систем [11, 42, 43, 81, 86, 88 и др. [c.157]

При действии аддитивных (t) S-коррелированных случайных процессов, у которых первые и вторые моменты являются бесконечно малыми приращениями времени первого порядка, а моменты третьего и более высокого порядков являются бесконечно малыми величинами высшего порядка этого прираш,ения, фазовые координаты системы (t) являются компонентами марковского векторного процесса х = Xi, i = 1, 2,. . ., m. Поэтому полное описание динамических систем вида (3.28) в статистическом смысле можно дать либо на основе уравнений ФПК относительно одномерной функции плотности распределения вероятностей перехода w х, f) [c.159]

Аналогичные уравнения можно получить для кумулянтов фазовых координат, используя известные связи функции плотности распределения вероятностей и характеристической функции. [c.281]

Рассмотрим теперь второй случай, когда л (t)-, ф ,, (х, ) s = Фы х) и принимает фиксированные значения ф ., (a i) = = фы . . . флг (хт) = фУ". В этом случае нахождение функции плотности распределения вероятностей w (х, t) во всем фазовом пространстве системы связано с получением некоторых граничных условий склеивания функций w (х, t), удовлетворяющих в каждой из областей, разделенных гиперплоскостями л Xi, уравнениям (3.47). Эти условия в общем виде получены в работах [c.281]

Рассматриваем второй подход к решению задачи. Таким образом, нахождение плотности вероятностей Р х, t) во всем фазовом пространстве системы связано с получением некоторых граничных условий склеивания функций Р (х, t), удовлетворяющих в каждой из областей, разделенных гиперплоскостями (7.32), уравнениям (7.1). [c.286]

Сравнение метода канонических собраний с методом микроканонических. Канонический ансамбль состоит из большого числа N систем одной и той же природы, которые можно рассматривать как копии одной из них, находящихся в различных состояниях. Но эти собрания отличаются от тех, которые мы уже рассматривали, значительно большей общностью предположений о состояниях, в которых могут находиться системы, составляющие одно из собраний. Действительно, мы не введем ограничения, что системы обладают определенной энергией. Изображающие точки вместо того, чтобы находиться в тонком слое около поверхности данной энергии в многомерном пространстве, распределены по всей фазовой протяженности S. Это распределение будет обладать определенной плотностью /э, выбранной таким образом, что состояние собрания всех систем стационарно, т. е. что несмотря на непрерывное движение изображающих точек, плотность остается все время той же в определенной точке пространства Е. Величина р должна, таким образом, быть функцией всех q и />, в которую время явным образом не входит. Основываясь на теореме Лиувилля, легко видеть, какова должна быть природа этой функции q и р. [c.47]

В модели Изинга фазовый переход обладает симметрией, ко-юрая выражается в том, что поле является нечетной функцией магнитного момента, а свободная энергия и энтропия — четными функциями. Модель решеточного газа, как и изоморфная модель Изинга, имеет такую же симметрию зависимость h от Ц на изотермах является антисимметричной функцией, а плотности сосуществующих фаз симметричны относительно критической изохоры. [c.113]

Т. е. значения Р и т), подобно значению D, постоянны во времени для движущихся систем ансамбля. С этой точки зрения принцип, который в ином понимании был назван принципом сохранения фазовой плотности или сох ранения фазового объема, может быть назван пркнцЕпсм сохранения коэффициента (или показателя) вероятности фавы, ивменяю-щейся согласно динамическим законам, или, короче, принципом сохранения вероятности азы. Он ограничен тем обстоятельством, что силы должны являться функциями либо только координат системы, либо координат и времени. [c.30]

Важным случаем статистического равновесия является случай, в котором все системы ансамбля имеют одну и ту же энергию. Мы можем притти к понятию распределения, удовлетворяющего необходимым для этого условиям, следующим путем. Мы можем предположить, что ансамбль распределен с равномерной фазовой плотностью между двумя граничными значениями энергии s и s", причем плотность вне этих границ равна нулю. Согласно критерию, приведенному в главе IV, подобный ансамбль находится, очевидно, в статистическом равновесии, так как фазовая плотность может рассматриваться как функция энергии. Уменьшая разность между s и s", мы можем уменьшить различие энергий в ансамбле. Продолжая этот процесс, мы получим в пределе перманентное распределение, в котором энергия постоянна. [c.119]

Наша цель состоит в том, чтобы получить явное выражение для квазиравновес-ной Д/ -частичной функции распределения, рассматривая fi x t) как наблюдаемую. В данном случае роль базисных динамических переменных Рт играют значения одночастичной фазовой плотности A i(x), причем т = х интерпретируется как непрерывный индекс. После этого замечания ясно, как использовать общую схему из раздела 2.1.2. [c.93]

Покажем теперь, что уравнение (2.2.26) можно явно решить и тем самым найти функцию a x,t). С этой целью подставим в правую часть этого уравнения выражение (2.2.27) для Qq t). Снова используя то, что фазовая плотность — сумма дельтафункций, получим [c.93]

Величина Р (а) по определению обладает рядом свойств функции распределения плотности вероятности в фазовом пространстве, однако она не тождественна ей. Позднее мы обсудим некоторые другие примеры таких функций (которые, по-видимому,, лучше всего называть плотностями квазивероятности) и покажем их связь с Р-представлением. Сначала, однако, вернемся к вопросу о применимости Р-представления вообще. [c.122]

В случае неупорядоченной системы, однако, любое собственно состояние описывается функцией византийского типа и импульс не является хорошим квантовым числом. Позтому закон дисперсии (к) представляет собой не более чем результат не вполне четко определенного усреднения по статистическому распределению электронных возбуждений (рис. 10.8). Теорема, выражаемая равенством (10.129), не применима к зтой функции, и плотность тока нужно вычислять, используя спектральное разложение по импульсам (рис. 10.14, б). Если считать, что волновая функция имеет форму (10.87), то вид зтого спектра в импульсном представлении определяется вещественной частью волнового вектора к, отвечающего когерентной части возбуждения, и фазово-некогерент-ным уширением, обусловленным рассеянием в неупорядоченной системе. [c.511]

Функцию ш(Х, г) = ш(91, qг,. .., рп, <) называют фазовой плотностью распределения. Ее можно также рассматривать, как плотность вероятности того, что система имеет данное состояние. (Очевидно, что произвольность выбора здесь не используется, так что понятие вероятности можно понимать и чисто формально.) С течением времени изображающие точки нашей совокупцости движутся в фазовом пространстве, поэтому меняется и плотность их распределения ш. Найдем законы изменения этой функции. [c.179]

Масштаб наблюдения является критическим размером аморфной структуры (зоны П переходного слоя) предразрушения, в пределах которой функция плотности энергии деформации сохраняет свое постоянное значение, равное В пределах га процессь[ диссипации энергии связаны с неравновесными фазовыми переходами кристаллштеской фазы в квазиаморф-ную (зону 1 переходного слоя) и аморфную (зона П) и далее - в деструктивную (достижение в пористой зоне максимального уровня растягивающих напряжений) - при одном и том же уровне плотности энергии деформации [c.133]

Особые свойства вещества в критическом состоянии обусловлены как математическимй особенностями термодинамических функций в критической точке, так и резким возрастанием флуктуаций характерного параметра при подходе к критической точке этим ответственным за фазовый переход параметром, являющимся носителем нового свойства, служит плотность в случае чистых жидкостей и концентрация в случае бинарных растворов. [c.260]

Уравнение для реальных газов отклоняется от уравнения Менделеева — Клапейрона тем сильнее, чем больше плотность газа. Если для идеа-тьного газа коэффициент сжимаемости а = pv/ RT) = 1, то для различных реальных газов он значительно отклоняется от единицы как в одну, гак и другую сторону и является функцией температуры и давления. Различие в свойствах реальных газов обнаруживается также при изучении калориметрических свойств газов, о чем будет сказано ни же. Теория идеальных газов не может объяснить фазовые превращения газа и жидкости, так как она не в состоянии установить границы фазовых переходов, в частности критические параметры состояния. Опыт показывает, что свойства реальных газов даже [c.10]

На рис. 3.15 приведены графики амплитудно-частотной Я((о) и фазовой ф((а) характеристик (3.38), а также спектральной плотности мощности входного и выходного сигналов. По оси абсцисс здесь отложена безразмерная частота /юо-Спектр выходного сигнала согласно (3.34) повторяет форму квадрата амплитудно-частотной характеристики. Фазово-частотная характеристика не сказывается на спектральной плотности мощности выходного сигнала (смещения массы), но оказывает большое влияние на форму функций взаимной корреляции и взаимной спектральной плотности. Графики соответствующих корреляционных функций изображены на рис. 3.16. Коэффициент автокорреляции входного сигнала убывает при увеличении задержки времени как (см. формулу (3.22)), коэффициент автокорреляции выходного сигнала — как ехр (—х/( г). Медленнее других (как т ) убывает коэффициент взаимной корреляции Ri2 t). Максимальное значение i i2(tmas) не равно единице, [c.103]

ЦМальных уравнений к системе линейных, эквивалентных исходной по первым двум моментам случайной функции, а их решение позволяет определить лишь среднее значение и дисперсию случайной вектор-функции. Уточнение полученных значений математических ожиданий и дисперсии вектор-функции можно получить на основе анализа уравнений для математического ожидания и дисперсии ошибок. В нелинейных динамических системах функция плотности распределения вероятностей вектора фазовых координат может существенным образом отличаться от нормальной, а анализ уравнений для математических ожиданий и дисперсии ошибки статистической линеаризации представляет собой, вообще говоря, трудноразрешимую самостоятельную задачу. [c.157]

В 3, д. изучаются усреднённые характеристики звёздных систем, определяемые функцией распределения звезд l(t, г, V), зависящей от времени (г), координат (г) и скоростей (w). Ф-ция / определяет кол-во звёзд, находящихся в момсит t в единичном элементе объёма фазового пространства в окрестности точки (г, v). С помощью ф-ции распределения выражаются ср. величины, характеризующие звёздную систему плотность р( , г), ср. скорость м (г, г), тензор давлений P/k(t, г) и др. Ф-цпя распределения удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана—Власова, в к-ром учитываются общее усреднённое (самосогласованноо) поле тяготения системы, определяемое гравитационным потенциалом Ф (t, г), и столкновения отд. звёзд, определяемые столкновительным членом St.(f) (интеграл столкновений) [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...