Периодические метод малого параметра

Отметим, что существуют и другие методы малого параметра, определения периодических режимов, которые не предполагают наличия порождающего решения, а исходят из так называемой гипотезы фильтра [1, 2], которая опирается на наличие у любой реальной системы конечной полосы пропускания частот. [c.119]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

В связи с этим были созданы методы расчета периодических движений как без учета, так и с учетом сжимаемости сосредоточенного объема жидкости [3, 31, 52], в которых использовался метод малого параметра. При использовании одной из конструкций учитывался специально созданный зазор в обратной связи [3, 31 ]. [c.261]

Представляющие основной интерес 2я-периодические по х решения (66) могут быть эффективно найдены посредством метода малого параметра (см. параграф 3 гл. II т. 2) в виде рядов [c.44]

Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной нелинейной. Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [35]. [c.51]

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

Как правило, правые части уравнений (2) таковы, что после подстановки вместо и Ир их выражений (1), соответствующих синхронным движениям, эти правые части становятся периодическими функциями безразмерного времени т = at с периодом 2я. В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных объектов) малый параметр ц. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение существенно опирается на материал п.3 гл. II. [c.218]

В работе [2] описана специальная конструкция тригонометрических рядов для построения периодических решений пространственной конвекции. В [3] детально разработан метод решения плоской задачи Релея с помощью этих рядов для случая валов. Показано, что с помощью специального подбора управляющих параметров алгоритма можно, в отличие от стандартного метода малого параметра, получать надежные количественные результаты для существенно больших надкритичностей конвективных движений. В предлагаемой статье приводится подробная аналитическая разработка подхода 2] для пространственной конвекции с гексагональной симметрией в горизонтальном слое со свободными границами. На основе полученных формул исследуется приближенно поведение линий тока, изотерм, зависимость числа Нуссельта от волнового числа. Численные расчеты проведены для малых надкритичностей при сохранении небольшого количества членов в рядах (7V = 2,4,6). Хотя область применимости построенных представлений по числу Релея еще не оценена, предложенная конструкция может быть использована при небольших N для расчета начальных приближений при построении, например, конечноразностных итерационных процедур решения уравнений Буссинеска для гексагональной конвекции. [c.390]

Применяя этот метод, приходится заменять нелинейные члены в граничных условиях линеаризованными членами в смысле теории гармонического баланса или, например, использовать метод периодических решений Пуанкаре (метод малого параметра) в форме Витта [И]. Метод Фурье при указанном его видоизменении позволяет исследовать устойчивость системы, найти условия возникновения автоколебаний, определить амплитуду и частоту автоколебаний и т. д. [c.130]

Таким важным проблемам, возникшим в небесной механике, как вопросы существования новых аналитических (а не только алгебраических) первых интегралов, отыскание периодических решений с помощью метода малого параметра А. Пуанкаре и методов вариационного исчисления в целом, расщепление сепаратрис, в динамике твердого тела не было уделено должного внимания. [c.12]

Правда, есть ряд работ, посвященных нахождению периодических решений методом малого параметра (см., например, обзорную статью [37]). Однако эти работы не исчерпывают всех возможностей, которые даст метод А. Пуанкаре. [c.12]

Отысканию периодических решений уравнений движения быстро вращающегося тела с помощью метода малого параметра посвящены работы Ю. А. Архангельского и его учеников см. обзорную статью [37]). В этих работах в уравнения Эйлера - Пуассона вводится малый параметр е = где с — постоянная, зависящая от начального положения тела, а шо — начальная угловая скорость вращения вокруг большей или меньшей осей инерции. Уравнения движения при этом приобретают вид системы двух квазилинейных уравнений второго порядка, аналитически зависящих от параметра е. Если = О то есть о о = оо), то решения этой системы не имеют механического смысла, а при малых е ф О они представляют быстрое вращение твердого тела. [c.106]

Для отыскания периодических решений, на наш взгляд, более естественно использовать уравнения движения в гамильтоновой форме. Для канонических систем дифференциальных уравнений метод малого параметра Пуанкаре хорошо разработан и дает более сильные результаты. Эта идея впервые реализована в работе [34] для случая вращения динамически симметричного тела в ньютоновском поле сил и независимо автором [38] в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела. [c.106]

Мы будем рассматривать случай, когда параметр мал. Для поиска периодических решений уравнения (1.1) можно воспользоваться методом малого параметра, разлагая эти решения в сходящиеся ряды по степеням . Представление уравнения (1.1) в виде гамильтоновой системы (1.2) позволяет воспользоваться теорией Пуанкаре рождения пар невырожденных периодических решений, развитой им в главах I и III знаменитых Новых методов небесной механики [9]. [c.235]

Первая проблема состоит в построении периодических движений. Обычный метод ее решения связан к переходу к отображению Пуанкаре и отысканию его неподвижных точек. Для этого используются либо топологические методы (теоремы Брауэра и Банаха), либо асимптотические методы типа метода малого параметра Пуанкаре. Обзор методов построения периодических решений гладких систем можно [c.243]

Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века. [c.157]

Исследование устойчивости периодических решений, найденных методом малого параметра, имеет ряд особенностей, на которых мы кратко остановимся. [c.160]

В цикле работ Ю. А. Рябова (1956) систематически рассмотрены вопросы оценок областей сходимости рядов, получаемых при отыскании периодических решений методом малого параметра. [c.162]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

Первые условно-периодические решения в задаче трех тел нашел Пуанкаре [2]. Его метод малого параметра (см. 1.01) позволяет находить в определенных системах координат условно-периодические решения задачи трех тел. Периодические решения первого, второго, третьего сорта суть, вообще говоря, [c.806]

На рубеже двух веков А. Пуанкаре подвел в своих Новых методах небесной механики итоги исследований XIX века и дал обильную пищу ученым XX века. Поражаешься богатству идей и понятий, содержащихся в этой книге метод малого параметра, асимптотические ряды, исследование периодических решений, гомоклинические кривые, интегральные инварианты и т.д. Словом, значительная часть того, что теперь называется качественной теорией дифференциальных уравнений , восходит к Новым методам Пуанкаре и, следовательно, к небесной механике. [c.16]

Метод малого параметра, предложенный Пуанкаре [1], возник из следующей задачи. Рассмотрим решение x t, а) системы (1) опять в зависимости от и а и допустим, что при а = а система имеет периодическое решение. Пусть этому решению соответствуют начальные значения = , тогда х = х 1, , а ). Предположим при этом, что речь идет не о равновесном решении. Пусть т > О будет периодом х 1, , а ) по причем это необязательно наименьший положительный период, и пусть вся кривая x t, , а ) лежит при О < i < т в области регулярности функций Д,. ..,/ по ж и а. Тогда эти утверждения справедливы для всякого действительного Ь, так как [c.190]

Метод малого параметра дает периодические решения только для достаточно малой окрестности значений 7. Интересно было бы изучить поведение решений при аналитическом продолжении по 7. Рассмотрим только случай системы Гамильтона [c.198]

Решение исходной системы уравнений неразрывности, движения и энергии можно получить методом разложения в ряд по малому параметру. Согласно теории пограничного слоя [41 ] уравнение нестационарного течения в пограничном слое можно разделить на уравнения для стационарного течения и нестационарного возмущающего воздействия. Для периодического возмущения, которое имеет место при гармоническом колебании пластины, решение уравнений динамического и температурного пограничных слоев можно представить в виде ряда [c.152]

Наряду с такими, прямыми методами идентификации когерентных структур в струях, получили распространение и так называемые косвенные методы определения параметров когерентных структур. Эти методы сводятся к слабому периодическому возбуждению струи и выявлению ее реакции на возмущения различной частоты. При наличии естественной тенденции к упорядоченности периодическое возбуждение может усилить скрытую регулярную структуру выше исходного турбулентного фона и, таким образом, сделать ее более отчетливой [1.8,1.30]. При таком способе обнаружения когерентных структур неизбежно возникает вопрос об их идентичности исходным структурам, которые образуются в струйных течениях при отсутствии периодического возбуждения. Ответ на этот вопрос не является однозначным. Упомянутый косвенный метод может быть приемлем в том случае, когда слабое возбуждение струи не приведет к заметному изменению осредненного течения [1.36]. Впрочем, даже при нарушении этого последнего условия некоторые интегральные характеристики когерентных структур - их характерная частота и конвективная скорость переноса -мало отличаются от соответствующих характеристик для невозбужденных струй. [c.20]

При математическом описании процессов вибрационного и ударно-вибрационного погружения и определении периодических решений в основном используют методы гармонического баланса, малого параметра, припасовывания, последовательных приближений. [c.328]

Прежде всего для составления этих функций необходимо найти функции г (О, образующие k независимых периодических решений системы (49), сопряженной с системой в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, необходимо знать общее решение системы в вариациях, т. е. системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами . Но общих методов решения таких систем не существует. Поэтому для доведения решения задачи до конца желательно вводить малый параметр так, чтобы было известно не только периодическое, но и общее решение порождающей системы. В этом случае систему из п независимых частных решений уравнений в вариациях легко найти согласно теореме Пуанкаре путем дифференцирования по параметрам. Достаточным является и знание решения порождающей системы, зависящего ог п—1 параметров, так как при наличии (я—1)-го независимого частного решения системы с периодическими коэффициентами еще одно решение можно определить с помощью квадратур. [c.56]

От уравнений (3), (4) введением новых переменных мол<но перейти к уравнениям в стандартной форме, что в дальнейшем позволяет использовать, например, метод Крылова —Боголюбова и определить параметры периодических движений. Можно такл<е анализировать уравнения, приведенные в таблице, рассматривая в них е как малый параметр, а в окончательных выражениях полол<ить е = 1. Ниже во многих случаях без особых оговорок будет считаться, что е введено именно таким образом. [c.193]

Квазилинейные уравнения движения механизмов. Метод малого параметра или метод Пуанкаре применяется для исследования тех уравнений движения механизма, которые содержат малый параметр ц и имеют периодическое решение, когда этот параметр равен нулю. Из этих уравнений наибольшее зна-чение имеют квазилинейные уравнения, в которых нелинейные члены входят умноженными на малый параметр i. Происхождение термина связано с тем, что при (х = О уравнение движения обращается в линейное, решение которого при соблюдении определенных условий близко к решению нелинейного уравнения и может быть уточнено путем введения малых поправок. Линейное уравнение, получаемое при ц — О, называется пороЖ дающим. [c.195]

Метод точечных отображений возник одновременно с появлением качественной Теории дифференциальных уравнений в основополагающих работах А. Пуанкаре, который использовал так называемые секущий отрезок (поверхность) и функцию последования (см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий на плоскости [551, при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде — в теории периодических решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в работах А. А. Андронова и А. А. Внтта, стала широко известна как метод малого параметра (см. гл. 11, п. 3). [c.91]

Коловский М. 3. О применении метода малого параметра для определения разрывных периодических решений. [Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. т. и. Киев, иэд АН УССР, с. 118 — 128. [c.139]

К указанному циклу работ, нашедших частичное отражение в данной главе, непосредственно примыкают некоторые нсследооання по развитию методов малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений (Эбзор этих работ приведен в гл. JJ. [c.238]

I шф I и I mil I, н пренебрежем ею при решении уравнения (19). Тогда в первом приближении периодическим решением уравнения (19), удовлетворяющим условию (3). будетф = —gl, где q = mjm. В случае необходимости это решение можно уточнить, используя метод малого параметра (см. и. 3 гл. II). [c.254]

Делая систему (П111.57) близкой к линейной, т. е. полагая ц = (X <С 1, по какому-либо из вариантов метода малого параметра, например по формулам (П1Н.66) и (П1П.67), находим в первом приближении частоту V и амплитуду а периодических колебаний. Затем в уравнении частот (ПП1.68) — (ПИ1.71) полагаем а = а, ц = Ц] и отбираем тот положительный корень ю, который совпадает с V или близок к нему по величине. Изменяя теперь амплитуду а и переходя к нужным значениям параметров, определяем, как изменяется корень со и какое значение он примет. [c.258]

В работах [1, 2] методом малого параметра Пуанкаре для гамильтоновых систем [3] было доказано существование периодических решений в задаче о движении твердого тела вокруг закрепленной точки в центральном ньютоновском поле тяготения. Задача решалась в переменных Андуайе [4]. В работе [5] были построены периодические решения в задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой в центральном [c.77]

Изучение конвективной устойчивости и конечно-амплитудных колебаний при наличии периодически модулированного параметра продолжено в недавних работах Г. И. Бурдэ [ 2] провел численное исследование методом сеток случая, когда на горизонтальных границах периодически меняется температура в отличие от постановки задачи, изложенной в 37, имеет место также средняя по времени неустойчивая стратификация. Он же [ ] применил метод малого параметра (разложение по амплитуде движения) для выяснения структуры конвективных колебаний вблизи границ устойчивости (рассматривался горизонтальный слой со свободными границами в модулированном поле тя- [c.386]

Известно, какое большое значение во многих случаях имеет метод малого параметра Пуанкаре ). В наши дни методом малого параметра были получены почти-периодические решения Г. И. Бирюк, И. Г. Малкиным, В. X. Харасахалом, Г. В. Плотниковой, А. П. Проскуряковым и другими. В работах И. 3. Штокало (1946, 1960), А. Е. Гельмана (1965), И, Н. Блинова (1965) были получены квазипериодические решения линейных систем дифференциальных уравнений. Многие вопросы устойчивости и периодических решений рассматривались П. Б. Голоквосчусом. [c.81]

Обобщение метода малого параметра на случай разрывных периодических решений было дано Ю. И. Неймарком и Л. П. Шильниковым, а также М. 3. Коловским (1961). [c.162]

Периодическая задача с криволинейными отверстиями общей формы рассматривалась еще раньше в работе И. И. Воровича и А. С. Космодамианского (1959). Для искомых комплексных потенциалов авторами были предложены некоторые интегральные представления, выражающие их через другие аналитические функции, голоморфные в плоскости с одним отверстием. Затем для разыскания этих последних использовался метод малого параметра, и задача сводилась к последовательности однотипных задач для односвязной области. Сходимость метода не исследовалась. Подробный анализ с численными расчетами был проведен для случая эллиптических отверстий, когда пластинка растягивается на бесконечности усилиями, направленными под произвольным углом к линии центров. Некоторое дальнейшее обобщение этого подхода дано А. С. Космодамианским (1965). [c.61]

В предельном случае р = О, 5 = О получаются решения Хилла, которые были выведены в предыдущем параграфе, где рассмотрение рекуррентных формул для коэффициентов было более простым, потому что вместо I входило 21 и отсутствовала особенность при I = 1. При ( = ОиО<р<1 получаем ограниченную задачу трех тел, в которой масса Лупы равна пулю. Для этого случая периодическое решение было найдено Брауном [2] по методу Хилла. Полученное памп общее решение было найдено Мультопом другим способом, а имеппо, с помощью метода малого параметра Пуанкаре. Этому методу посвящен следующий параграф. [c.185]

Метод Пуанкаре, или метод малого параметра, - математически обосно ный метод, позволяющий отыскивать периодические даижения в нелин ных динамических системах, содержащих малый параметр (I перед нел нейностью и допускающих периодическое рещение при 1 = 0. [c.172]

Периодическое решение уравнения движения путем разложения его в ряд по малому параметру предложил М. И. Бать [31]. Интегрирование этого уравнения он выполнил при помощи степенных рядов. Впоследствии Бать разработал аналитический метод исследования установившегося движения плоского механизма при довольно произвольном законе изменения задаваемых сил [34]. [c.9]

Обобщение метода на случай разрывных периодических решений дано М. 3, Ко-ловским [26], а также Ю. И. Неймарком и Л. П. Шильниковым, результаты которых, а также контакты и сочетания метода Пуанкаре с методом точечных отображений (см. п. 5 настоящей главы) рассмотрены в монографии [45]. В цигсле работ Ю. А. Рябова систематически научены вопросы оценок областей сходимости рядов по малому параметру, полученных при использовании метода Пуанкаре [60. [c.64]

Моделирования композита эквивалентной однородной средой бывает недостаточно для исследования локальных пластических деформаций или разрушения, дисперсии волн и решения других задач, определяемых как раз неоднородностью свойств материала по координатам 29). Из асимптотических методов, используемых для решения задач такого типа, наибольшее распространение и обоснование получили метод гомогенизации 30) и метод Бахвалова —Победри [31, 32]. Главная идея метода гомогенизации состоит в использовании в качестве малого параметра характерного размера ячейки, при этом предполагается, что решение статической краевой задачи теории упругости представляет собой медленно меняющуюся функцию координат, на которую накладываются локальные периодические пульсации. Метод Бахвалова —Победри основан на разделении медленных и быстрых переменных в аналогичных задачах. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...