Потеря устойчивости уравнения равновесия

Аналогичное явление срыва происходит и в других системах общего положения. В соответствии с общей теорией, потеря устойчивости положения равновесия системы уравнений общего положения, зависящих от параметров (в данном случае — уравнений быстрого движения), происходят на двух гиперповерхностях пространства параметров (в данном случае — пространства медленных переменных). [c.170]

Величина критического нормального напряжения, вызывающего потерю устойчивой формы равновесия пластины, свободно опертой по контуру, находится из уравнения теории упругости [c.287]

Это название объясняется тем, что краевые задачи для уравнения (2.241) могут иметь нетривиальные решения даже при нулевых внешних воздействиях. Физически это объясняется тем, что пластина, сжатая силами, параллельными ее срединной плоскости, может иметь изогнутую форму равновесия переход от неизогнутой формы равновесия w = 0) к изогнутой называется потерей устойчивости. [c.85]

Вернемся к примеру. Считая, во-первых, что перемещения точек осевой линии стержня малы, во-вторых, что потеря устойчивости стержня происходит в плоскости чертежа (рис. 3.1,а), можно получить следующее линейное уравнение равновесия стержня [c.93]

Уравнения равновесия стержня после потери устойчивости [c.95]

Векторные уравнения равновесия стержня после потери устойчивости в связанной системе координат. Для [c.95]

При потере устойчивости приращения получают как векторы, характеризующие напряженное состояние стержня (Q и М), таки векторы, характеризующие его форму (деформированное состояние), в частности приращения получает вектор X, поэтому для вывода уравнений равновесия стержня относительно приращений векторов следует взять векторные Рис. 3.6 уравнения, записанные в подвиж- [c.96]

Случай нагружения системы следящими силами наиболее простой с точки зрения записи уравнений (3.5), (3.6). Однако, как следует из частных задач, не всегда при действии следящих сил имеет место статическая потеря устойчивости [3, 17], Возможна и потеря устойчивости равновесия с переходом системы в движение относительно этого состояния равновесия. В этом случае определить критические силы из уравнений равновесия, как правило, нельзя. В подобных задачах для исследования устойчивости состояния равновесия требуется рассматривать уравнения движения [c.97]

В рассматриваемом примере имеем Q, =Q2 = 0 Мз =7 з. Уравнения равновесия стержня после потери устойчивости при произвольном поведении момента Т принимают следующий вид [ограничимся уравнениями (3.40) при ADj O уравнения (3.41) — (3.43) остаются без изменения] [c.111]

При потере устойчивости относительно деформированного состояния (например, потеря плоской формы изгиба спиральной пружины см. рис. 3.4) необходимо предварительно определить критическую равновесную форму стержня [уравнения (3.10) — (3.14)], от параметров которой (и, Q, М ) зависят линейные уравнения равновесия стержня [уравнения (3.24) — (3.27) или уравнение (3.28)] после потери устойчивости. Так как критическая форма стержня заранее не известна, то требует проверки устойчивость всех состояний равновесия при непрерывном увеличении нагрузки. При решении нелинейных уравнений равновесия, рассмотренных в гл. 2, нагрузки, приложенные к стержню, были известны, поэтому, воспользовавшись одним из возможных методов численного решения уравнений равновесия (например, методом, использующим поэтапное нагружение), можно получить векторы, характеризующие напряженно-деформированное состояние стержня, соответствующее заданным нагрузкам. [c.123]

При исследовании устойчивости стержня нагрузки неизвестны и требуется найти такие нагрузки, которые удовлетворяют нелинейным уравнениям равновесия (3.10) —(3.14) и линейным уравнениям (3.24) — (3.27) при однородных краевых условиях. Численное решение уравнений (3.10) — (3.14) для каждого шага нагружения изложено в 2.3. Возможны различные варианты нагружения стержня а) пропорциональное увеличение нагрузок б) последовательное нагружение, например вначале стержень нагружается силами, при которых нет потери устойчивости, а затем дополнительно нагружается или распределенной нагрузкой, или сосредоточенной силой или моментом. Возможны, конечно, и более сложные варианты нагружения, когда стержень дополнительно нагружается несколькими силами или моментами (распределенными или сосредоточенными). Во всех перечисленных случаях можно выделить одиу нагрузку и, увеличивая ее, довести стержень до критического состояния. Это существенно при численном счете, когда надо определять собственные значения (критические силы) краевой задачи. [c.123]

Спиральный стержень находится на вращающемся с угловой скоростью 0) основании (рис. 3.16). Требуется получить линейные уравнения равновесия стержня после потери устойчивости для двух случаев когда форма осевой линии стержня при потере устойчивости мало отличается от естественной формы когда форма осевой линии в критическом состоянии стержня существенно отличается от формы в естественном состоянии. [c.126]

Получим уравнения равновесия для сверла (см. рис. В.21), которое потеряло устойчивость. Ограничимся случаем, когда Р,с и Тю следящие, и предположим, что возможна статическая форма потери устойчивости. Из уравнений (4.124), (4.125) получим [уравнения (4.126), (4.127) остаются без изменения] [c.154]

Уравнения равновесия стержня после потери устойчивости [частный случай уравнений (3.33) —(3.36)] имеют следующий вид (для стержня постоянного сечения) [c.275]

Уравнения равновесия стержня (см. рис. 3.18) после потери устойчивости отличаются от уравнений (3) задачи 3.1 только выражениями для приращений компонент распределенной нагрузки, поэтому рассмотрим их вывод. Распределенная нагрузка в неподвижных осях с учетом перемещений осевой линии стержня равна (рис. 3.18) для случая, когда перемещениями точек осевой линии стержня до потери устойчивости можно пренебречь, [c.277]

Стержень нагружен мертвой нагрузкой, поэтому приращения нагрузок ДЯ . входящие в линейные уравнения равновесия (3.33), будут отличны от нуля. Приращения моментов ДГ в данной задаче равны нулю. Уравнения равновесия стержня после потери устойчивости приведены в задаче 3.1 [система (3)]. Получим выражения для ДР, [c.280]

Бифуркационный критерий устойчивости, рассмотренный в 4.4, как мы выяснили там, не всегда дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости равновесия. Неполнота этого критерия связана с тем, что он устанавливает возможность иди невозможность смежного состояния равновесия, тогда как при потере устойчивости, вообще говоря, может наступить не новое состояние равновесия, а состояние движения системы. Поэтому естественная постановка задачи устойчивости состоит именно в изучении возможных движений механической системы. Возвращаясь к проблеме устойчивости сжатого стержня, напишем уравнение колебаний такого стержня следующим образом [c.205]

Вторая гиперповерхность потери устойчивости соответствует переходу двух комплексно сопряженных собственных чисел линеаризации быстрого уравнения в положении равновесия из [c.170]

Легко понять,-что линеаризация уравнения как в случае потери устойчивости классического типа (рис. 18.18, а), так и в случае потери устойчивости с перескоком (рис. 18,18, в) приводит к одной и той же картине (рис. 18.18,6). Таким образом, линейное описание явления не обнаруживает различия между неустойчивостью типа непрерывного перехода к новой форме устойчивого равновесия и перехода с перескоком, для выявления характера поведения системы при достижении нагрузкой критического значения необходимо использовать нелинейное описание явления. [c.305]

Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные, то г — ранг системы (18.25) меньше, чем к— 1, и тогда г обобщенных координат, коэффициенты при которых образуют отличный от нуля минор порядка г, выражаются через остальные к — г обобщенных координат, которым можно придавать произвольные значения. Найти форму потери устойчивости не только в таком смысле, но получить и определенные значения параметров qi можно лишь на основе использования нелинейных уравнений равновесия. [c.327]

Рассмотрим, что происходит со стержнем после того, как он потерял устойчивость прямолинейной формы, когда сила, сжимающая стержень, становится большей, нежели эйлерова. Для этого необходимо использовать нелинейное дифференциальное уравнение равновесия [c.360]

Лг из которых первая имеет положительную вещественную часть когда дискриминант D проходит через нуль. Так как при этом Л4 ф О, то (рис. 18.93, а). Потеря устойчивости в этом случае совпадает с моментом, уравнения равновесия [c.439]

Температурные задачи устойчивости круглых пластин. Линеаризованные уравнения дают возможность найти критический уровень внутренних начальных усилий, независимо от того, какими причинами эти усилия вызваны (наоборот, в закритической области поведение пластины определяется характером внешних причин, приведших к потере устойчивости). Поэтому при осесимметричном нагреве круглой пластины исследование устойчивости плоского состояния равновесия можно проводить с помощью урав- [c.166]

Поскольку при потере устойчивости М = EJx, момент М и поперечная сила Q — величины того же порядка малости, что и угол поворота касательной д. Поэтому в соответствии с основной идеей линеаризации третье слагаемое в первом уравнении равновесия следует отбросить, как содержащее произведение двух величин первого порядка малости. [c.225]

Решение задачи устойчивости оболочек в малом после каждого шага по внешним воздействиям (исследуется устойчивость оболочек при мгновенном деформировании) или по времени (исследуется устойчивость оболочек при ползучести) сводим к анализу однородного вариационного уравнения (11.27). Наличие ненулевых вещественных решений этого уравнения при некотором критическом уровне внешних воздействий (в первом случае) или в некоторый критический момент времени (во втором случае) означает потерю устойчивости оболочки с переходом в новое, близкое к основному состояние равновесия. [c.34]

В задачах устойчивости силовых конструкций часто используют дополнительное упрощающее допущение докритическое начальное напряженное состояние системы определяют по уравнениям линейной теории упругости и полностью пренебрегают изменением геометрии тела в начальном состоянии равновесия. Другими словами, используют такую модель до потери устойчивости тело напряжено, но не деформировано. В этом случае в формулах (3.24) следует отбросить подчеркнутые слагаемые, и тогда матрица [SqI (3.25) переходит в матрицу [L ], определяемую выражением (3.5). [c.80]

Первая глава. В первой главе описан анализ существующих методов расчета устойчивости откосов, их достоинства и недостатки. Подробно рассмотрены графо-аналитические методы расчета (так как они разрешены и указаны в действующих нормативных документах), приведена условная классификация по двум основным позициям 1) используемые уравнения равновесия расчетной схемы и 2) обоснование и выбор предполагаемой поверхности потери устойчивости. Это сделано в связи с тем, что применимость той или иной методики обусловлена геологическим сложением откоса и классом проектируемого сооружения. В соответствии с принятым разделением по уравнениям равновесия расчетной схемы можно выделить 1 - методы общего равновесия моментов 2 - методы равновесия сил 3 - методы равновесия моментов и сил. По формам поверхностей скольжения выделяются 1) плоская, 2) круглоцилиндрическая, 3) ломаная, 4) произвольная. Выбор той или иной поверхности скольжения основан на следующих фактах свойства грунтов, слагающих склон визуальные наблюдения за подвижками грунта на склоне и результаты геодезических замеров опыт проектировщика класс ответственности проектируемых объектов и возможный ущерб от разрушения склона. Из новых методов расчета устойчивости откосов можно выделить метод, предлагаемый Богомоловым А.П. [c.7]

Статический метод исследования устойчивости основан па рассмотрении дифференциальных уравнений равновесия деформируемой системы в момент, соответствующий бифуркации форм ее равновесия, причем эти уравнения составляются для искривленной формы равновесия. Их решение позволяет установить форму потери устойчивости и определить величины критических нагрузок. [c.469]

Б качестве критерия потери устойчивости будем использовать существование смежных форм равновесия этот критерий был введен в 3.11. Б таком случае очевидно, что линеаризованная формулировка, данная в предыдущем параграфе, приводит к определяющим уравнениям задачи устойчивости. Заменяя на и требуя, чтобы добавочные массовые силы Р , поверх- [c.131]

Круговой стержень находится на ускоренно движущемся объекте (рис. 3.18). Вектор ускорения объекта а параллелен оси aTi. Стержень несет сосредоточенную точечную массу т. Требуется получить уравнения равновесия стержня после потери устойчивости, считая, что критическая форма стержня совпадает с естественной формой, т. е. (R = IIRo)- [c.127]

Спираль может потерять устойчивость с выходом из плоскости чертежа. Уравнения равновесия стержня, соответствующие критическому состоянию (для случая, когда осевая линия стержня есть плоская кривая), могут быть получены как частный случай из общих векторных уравнений (3.10) —(3,14). В проекциях на связанные оси уравнения равновесия, оответствующие критическому состоянию спирали, имеют следующий вид [c.275]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Устойчивость оболочек при ползучести исследуем на каждом шаге по времени с использованием двух критериев потери устойчивости. Первый связан с интенсивным ростом скорости изменения прогиба оболочки в период времени, близкий к критическому. Удовлетворение его проверяется на основе решения вариационного уравнения термоползучести (уравнение основного состояния). Второй критерий связан с мгновенной бифуркацией форм равновесия оболочки при ползучести в критический момент времени. Удовлетворение его проверяется на основе анализа вариационного уравнения устойчивости технической теории гибких оболочек, содержащего функции основного состояния. Независимому варьированию подвергаются малые добавки прогиба и функции усилий, связанные с переходом оболочки в соседнее равновесное состояние. Эти критерии являются результатом обобщения критериев потери устойчивости при мгновенном деформировании на случай ползучести. [c.13]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Первые фундаментальные результаты были получены Лоренцем [7.39] (1908—1911), С. П. Тимошенко [7.12] (1910—1914), Саутуэллом [8.29] (1913—1915) в линейной постановке на основе статического критерия Л. Эйлера [4.14] (1744). Согласно этому критерию критическая нагрузка системы определяется как наименьшая нагрузка, при которой наряду с исходной формой равновесия оказывается статически возможной смежная бесконечно близкая к ней форма равновесия. С математической точки зрения в этом методе задача определения критического состояния системы заключается в нахождении собственных чисел и соответствующих им векторов линейных дифференциальных уравнений. Собственные числа определяют критические нагрузки, собственные векторы — формы потери устойчивости. Зачастую бывает достаточно определить только первое собственное число и соответствующий ему вектор. Найденная таким образом нагрузка определяет момент разветвления форм равновесия и называется верхней критической нагрузкой. [c.8]

Для исследования устойчивости равновесия исходного состояния можно использовать уравнения, полученные в гл. IV. Наиболее прбстой вариант этих уравнений, соответствующий локальной потере устойчивости, имеет вид (2.26) ГЛ. IV. От уравнений круговой цилиндрической обрлочкй они отличаются добавочными слагаемыми, содержащими кривизну к. Решения задач локальной устойчивости оболочек вращения принципиально не отличаются от решений подобны задач для круговой цилиндрической оболочки, поскольку в зоне потери устойчивости кривизны считаются постоянными. Такой упрощенный подход к исследованию устойчивости оболочек вращения возможен во многих практически важных случаях, поскольку исходное напряженное состояние оболочек вращения из-за переменности кривизны, как правило, неоднородное даже при однородных нагрузках. Эта неоднородность и приводит к локализации формы потери устойчивости. [c.273]

ВОЙ силы Fx, совершающей работу по упругому изменению длины оси. Этот член следует учитывать в случае, подобном описай-ному в 2.6, где рассматривалась балка, у которой наложенное-связи препятствуют осевым смещениям на концах, если исследовать эту балку энергетическим методом, а не пользоваться уравнениями равновесия этот метод, как было показано, удобен для применений. В случаях осевой нагрузки, когда концы могут свободно перемещаться в осевом направлении, как в случае за-> дачи о потере устойчивости, работа, совершаемая внешней осевой нагрузкой при упругом изменении длины оси, обращает в нуль только упомянутую выше энергию осевой упругой деформации уравнениях, следующих из принцица возможной работы, и поэтому принято опускать оба этих члена. Однако работу, совершаемую внешней осевой нагрузкой на пути, равном уменьшению расстояния между концами вследствие искривления (изменения кривизны) центральной линии, необходимо учитывать, как это будет сделано в случае, рассмотренном ниже в этом разделе. [c.101]

Если теперь уравнение (6.27в) вычесть из третьего уравнения системы (6.24), записанного для момента потери устойчивости, то-получим следующее уравнение равновесия сил в направлении оси Z, используемое при иссдедЬванйи устойчивости [c.447]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...