Неявные схемы метода чередующихся направлений

Неявные схемы метода чередующихся направлений 139 [c.139]

В этих схемах итерации, необходимые для достижения второго порядка точности и для нелинейных членов, не обязательно связаны с дополнительной работой, так как они могут потребоваться и при численной реализации граничных условий. Одним из недостатков неявных схем метода чередующихся направлений, так же как и других неявных схем, является необходимость иметь граничные значения для Вдоль некоторых границ можно задать условия для "+, допускающие неявное решение. Но на стенке с условием прилипания значения 1,0, на этой границе зависят от значений г]5 во внутренних точках (такие возможные зависимости будут обсуждаться в разд. 3.3.2). Поэтому для определения значения на стенке требуется неявное решение уравнения Таким образом, полная неявная задача при наличии граничного условия прилипания практически не поддается расчету даже при линеаризации скоростей по значениям м" и у". [c.142]

Хотя преимущества неявных схем метода чередующихся направлений над явными схемами практически не таковы, как это следует из анализа при помощи метода фон Неймана, опыт многих исследователей показывает, что неявные схемы метода чередующихся направлений допускают большие по величине размеры шагов по времени, ускоряют расчет в целом (вдвое и более) и, кроме того, дают возможность получить второй порядок точности по времени. Можно быть уверенным в том, что для простых прямоугольных областей такие схемы будут широко применяться и в дальнейшем. В случае же областей неправильной формы программирование для этих схем может усложниться и более практичными могут оказаться явные схемы. [c.144]

Из-за своей простоты и эффективности метод поточечной последовательной верхней релаксации является наиболее популярным из всех итерационных методов для решения уравнения Пуассона в задачах вычислительной гидродинамики. В последние годы щироко применяются и несколько более сложные неявные схемы метода чередующихся направлений, которые будут рассмотрены ниже. [c.186]

Для понимания современных исследований неявных схем метода чередующихся направлений требуется знакомство с обозначениями и семантикой линейной алгебры. Здесь можно рекомендовать краткое изложение этого вопроса в первой главе книги Митчелла [1969] ). [c.191]

Виноград [1969] рассмотрел класс методов хаотической релаксации , которые, подобно методу Ричардсона, удобны для программирования на вычислительных машинах с параллельными процессорами. Здесь новые значения рассчитываются одновременно в многих узловых точках. Автору удалось получить сходящиеся результаты, вообще не задавая заранее ни порядка выбора каждой обрабатываемой точки (г,/), ни числа итераций при решении уравнения. Этот результат Винограда наводит на мысль о необходимости исследовать выбор параметров релаксации для неявной схемы метода чередующихся направлений [c.193]

В методе расчета распространения вектора ошибки возникают на границе в конце обхода расчетных точек, в то время как во внутренних точках ошибки сушественно меньше. Невязки в итерационных методах имеют наибольшую величину во внутренних точках области, в то время как заданные граничные значения остаются неизменными. Таким образом, разрешаемую ошибку порядка 10 в величине ф на последней границе в рассматриваемом методе нельзя непосредственно сопоставлять с невязкой порядка для г в неявной схеме метода чередующихся направлений и в методе последовательной верхней релаксации. [c.202]

Оптимальная последовательность в неявной схеме метода чередующихся направлений 189—191 Опытная и рабочая программы 470, 475—479, 490 Орра — Зоммерфельда теория 459 Осесимметричное течение 56, 218,219, 229, 231, 372, 377, 388, 447 Осцилляции, вызванные чрезмерно большим шагом по времени 63, 64, [c.606]

В середине пятидесятых годов в работах Писмена и Рак-форда [1955], а также Дугласа и Ракфорда [1956] были предложены эффективные неявные методы для решения параболических уравнений, пригодные при произвольно больших шагах по времени. Под названием неявных схем метода чередующихся направлений 2) они применялись и для решения эллиптических задач с использованием аналогии Франкела [1950] между продвижением решения по времени в параболических задачах и продвижением решения по итерациям в эллиптических задачах. [c.20]

В 1953 г. Дюфорт и Франкел опубликовали свою схему чехарда для параболических уравнений, которая, как и неявные схемы метода чередующихся направлений, пригодна для произвольно больших шагов по времени (при отсутствии конвективных членов), но сохраняет все преимущества чисто явных схем. Эта схема использована Харлоу и Фроммом [1963] при получении их широко известного численного решения для нестационарной вихревой дорожки. [c.21]

Эта концепция похожа на расщепление, ранее использованное Пис-меиом и Ракфордом [1955] в неявной схеме метода чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16), но ие эквивалентна ему. В монографии Яненко [1967] рассматриваются и другие методы дробных шагов по времени. [c.126]

Неявные схемы метода чередующихся направлений (схемы ADI) были предложены в работах Писмена, Ракфорда [1955] и Дугласа [1955]. Называемая также схемой переменных направлений (Кускова [1968]), эта схема основана на расщеплении шага по времени с целью построения многомерной неявной схемы, в которой требуется обращение только трехдиагональной матрицы ). Первые приложения этой схемы к задачам [c.139]

Для линеаризованной задачи неявную схему метода чередующихся направлений Писмена и Ракфорда можно представить в следующем виде. Обозначим через б /бх и б /бх аппроксимации с центральными разностями для д1,/дх и д%/дх в точке I. Интегрирование по времени на интервале уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, [c.140]

НОГО члена, сохраняется и в неявных схемах метода чередующихся направлений.) [c.141]

И В этом случае значения на стенке будут отставать на А/ от значений во внутренних точках. Такая схема использовалась в работе Уилкса и Черчилла [1966]. При малых А/ эта аппроксимация достаточно точна, но ведь основное преимущество неявных схем метода чередующихся направлений — возможность счета с большими шагами М. При больших А/ такая схема может оказаться не только не точной, но и дестабилизирующей. Решение при помощи итераций, как и при нахождении решения г з + , очевидно, оказывается предпочтительнее. [c.143]

При использовании неявных схем метода чередующихся направлений для расчета течений при больших Не (или при больших числах Грасгофа для течений со свободной конвекцией) многие исследователи обнаруживали вычислительную неустойчивость (или, возможно, очень малую скорость сходимости итераций). Они либо не смогли получить решение при больших Ке (напрпмер, Парис и Уитекер [1965], Торранс [1968]), либо были вынуждены осреднять с весом рассчитанные данные на старом и новом слоях по времени (Пирсон [1965а]), что эквивалентно уменьшению А/, либо переходили к схемам с разностями против потока для конвективных членов (Бао и Догерти [c.143]

Для успешного распространения основной неявной схемы метода чередующихся направлений (3.308) на случай трех пространственных переменных нужно принять во внимание некоторые тонкости. В наиболее очевидной схеме в этом случае надо выполнить три вычислительных шага с двумя промежуточными шагами прп /-)-Д//3 и /-)-2Д//3. Эта схема уже не обладает ни вторым порядком точности по времени, ни безусловной устойчивостью (Рихтмайер и Мортон [1967]) и неустойчива при й > 2 (Карнахан с соавторами [ 969]). Продемонстрируем такое распространение схемы на случай трехмерного уравнения диффузии [c.144]

Схема имеет порядок точности О (А/ , Ах , Аг/ , Дг ) и безусловно устойчива. Эта процедура может быть обобщена и на случай больщего числа переменных. Дуглас и Ракфорд [1956], Дуглас и Ганн [1964] и Брайен [1961] предложили другие неявные схемы метода чередующихся направлений в случае трех пространственных переменных (см. также Карнахан с соавторами [c.145]

Явная схема метода чередующихся направлений, примененная к уравнению диффузии, безусловно устойчива, как и неявная схема метода чередующихся направлений, имеет формальную ошибку аппроксимации Е = О АР, Ах ) (см. Саульев [c.147]

О различных циклических перестановках направлений обходов точек при расчете см. Ларкин [1964].) Важное преимущество этой явной схемы по сравнению с неявной схемой метода чередующихся направлений заключается в том, что здесь не требуется использовать неявный трехдиагональный алгоритм. Другие варианты явных схем метода чередующихся направлений предложили Саульев [1964], Ларкин [1964], Баракат [c.147]

Некоторые схемы высокого порядка точности были описаны в разд. 3.1.18—3.1,20. Отметим дополнительно следующие работы, в которых попользуются обычные схемы высокого порядка точности, Фейрвезер [1969] применил неявную схему метода чередующихся направлений для уравнения диффузии, имеющую порядок точности 0(А/2, Ах ). (Заметим, что некоторые схемы, приведенные в книге Рихтмайера и Мортона [1967] для уравнения диффузии, приобретают высокий порядок точности при определенных комбинащ1ях параметров, но эти условия обычно не характерны для задач гидродинамики.) [c.172]

Продолжая аналогию между итерационным решением уравнения Пуассона и асимптотическим установлением по времени решения нестационарного уравнения диффузии, естественно рассмотреть неявные схемы метода чередующихся направлений, описанные в разд. 3.1.16. Действительно, Писмен и Ракфорд в своей статье [1955] обсуждали обе эти зада Ти. По аналогии с уравнением (3.308) при р = Ах/Аг/ имеем [c.188]

Может показаться, что выбор очень больших А/ (малых р) будет ускорять асимптотическую по времени скорость сходимости, но в действительности существуют некоторые оптимальные значения А/ или р. При оптимальном р сходимость достигается за несколько меньшее число итераций, чем при ис-. пользовании метода последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром. Такая более быстрая сходимость представляется правдоподобной, ибо неявность схемы приводит к тому, что влияние эллиптических граничных условий сказывается в течение всего времени. Однако выполнение одной итерации в неявной схеме метода чередующихся направлений занимает больше времени, и поэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром фактически требует меньше машинного времени, чем такая однопараметрическая неявная схема метода чередующихся направлений (Биркгоф с соавторами [1962], Уэстлейк [1968]). [c.189]

Неявная схема метода чередующихся направлений становится по-настоящему эффективной в случае выбора последовательности итерационных параметров р , которая заменяет один параметр р в уравнении (3.384). Найти такую оптимальную последовательность, очевидно, труднее, чем найти один оптимальный параметр. Здесь накладываются дополнительные ограничения, такие, как желательное относительное уменьшение начальной ошибки или желательное число итераций. Определение последовательности р по праву было и остается предметом исследований прикладной математики. В качестве примера мы приведем последовательность р, применявшуюся в работе Писмена и Ракфорда [1955]. [c.189]

Хаджидимос [1969] обсуждает выбор последовательности Pk и указывает на некоторые неверные интерпретации теории в прошлом. Уэстлейк [1968] отмечает, что в общем случае лучше завысить число циклов, чем занизить его. В случае непрямоугольной области способа выбора последовательности pi не имеется, хотя известно, что метод сходится для всех р. (Отметим, что на обоих полушагах должно браться одно и то же Ра.) Мурадоглу [1968], Краудер и Дальтон [19716] провели некоторые предварительные исследования свойств сходимости неявной схемы метода чередующихся направлений в случае непрямоугольной сетки. [c.190]

В методах последовательной верхней релаксации число итераций, необходимое для сходимости, увеличивается с ростом N. Для неявных схем метода чередующихся направлений, применяемых в областях квадратной формы, kmax почти не зависит от N, так что для достаточно больших N неявные схемы метода чередующихся направлений предпочтительнее. В численных расчетах Биркгофа с соавторами [1962] на сетке 40X40 неявные схемы метода чередующихся направлений с параметрами Вахпресса оказались почти в четыре раза быстрее, чем метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации. Однако неясно, будут ли неявные схемы метода чередующихся направлений быстрее в случае непрямо- [c.190]

Уэстлейк также опробовал метод двухлинейной блочной последовательной верхней релаксации с циклическим чебышев-ским ускорением. Этот метод превосходит неявную схему метода чередующихся направлений для квадратной сетки с размером шага больше некоторого зависящего от задачи значения, но для задач с мелкой сеткой неявная схема метода чередующихся направлений дает лучшие результаты. Мартин и Ти [1961] провели сравнение итерационных методов, включая градиентные методы. Пирсон и Каплан [1970] исследовали различные способы обхода расчетных точек сетки для метода последовательной верхней релаксации. Они обнаружили, что можно достичь сходимости за меньшее число итераций, но из-за дополнительного усложнения программы при этом может увеличиться машинное время. [c.192]

Янг и Кинкейд [1969] сравнили представленные выше методы с некоторыми другими методами. Они охватили метод последовательной верхней релаксации с переменным параметром релаксации со, как и в неявной схеме метода чередующихся направлений Дугласа — Ракфорда (см. также Мак-Доуэлл [1967]), еще один модифицированный метод последовательной верхней релаксации, параметры Шелдона для метода верхней [c.192]

Стоун [1968], Вейнстейп с соавторами [1968] и Дюпон с соавторами [1968] рассмотрели методы для решения уравнения диффузии (пригодные здесь в силу аналогии между шагами по времени и итерациями), неявные в большей мере, чем неявная схема метода чередующихся направлений, но все-таки не полностью неявные. Эти методы основаны на проведении предварительной матричной факторизации (как это делается во многих прямых методах) и решении возникающей при этом задачи с разреженной матрицей при помощи прямого метода исключения Гаусса. [c.193]

В силу своей простоты и приемлемой скорости сходимости основной метод последовательной верхней релаксации (с параметром со = 1 на первой итерации), по-видимому, остается наиболее популярным итерационным методом в случае областей непрямоугольной формы, тогда как неявная схема метода чередующихся направлений Дугласа и Ракфорда (и, возможно, метод последовательной верхней релаксации) найдет, вероятно, более широкое применение для областей прямоугольной формы. [c.194]

Эти формулы также устойчивы при больших Ре. Значение полученное по формуле (3.443), очень мало отличается от значения, полученного по условию Йенсена (3.441), так как полная ошибка аппроксимации при этом не меняется (Брили [1970]). Но в неявной схеме метода чередующихся направлений итерации для (см. разд. 3.1.16) сходятся быстрее, можно проводить расчеты с большими величинами шагов по времени, а суммарное машинное время сокращается вдвое. Однако программа становится сложнее, так как формулы (3.445) при решении уравнения Пуассона с помощью неявной схемы метода чередующихся направлений приводят к появлению членов в узлах, отстоящих от границы более чем на один шаг таким образом, расщепленные по времени неявные разностные уравнения вдоль у в неявной схеме метода чередующихся направлений не будут трехдиагональными. Для того чтобы исключить эту дополнительную неявность в точках да 1 и + 2, Брили [c.220]

Как уже было указано выше, Фромм [1967] и автор настоящей монографии, используя явные схемы для уравнения переноса вихря, опробовали экстраполяцию как для функции ф, так и для 5 и обнаружили, что такие условия обладают дестабилизирующим свойством. Применяя неявные схемы метода чередующихся направлений. Брили [1970] и Феннинг и Мюллер [c.242]

Устойчивость схемы в целом теперь мол сет определяться ограничением по числу Куранта, соответствующему применению разностей против потока, на границе В 6. Отметим, папример, что в комбинации со схемой чехарда , как это имеет место в уравненни (3.485), величина эффективного шага по времени для конвективного члена и будет 2А/. Критерий устойчивости в одномерном случае будет Сл = иМ/Ах /г- Однако, как показали Бао и Догерти [1969], разности против потока на границе В 6 можно применять в комбинации с неявной схемой метода чередующихся направлений без каких-либо ограничений иа устойчивость. Другие комбинации должны быть проверены индивидуально. [c.244]

Линч и Райс [1968] показали, что для неявных схем метода чередующихся направлений скорость сходимости выше в случае гладких ошибок в начальных данных. На практике это обычно выполняется, поскольку гладкими являются и окончательное решение, и начальное приближение (включая случай ij) = 0). [c.275]

При обсуждении сравнительных достоинств (V, Р)-системы и (1 ), )-системы произойдут некоторые изменения. Теперь для обеих систем необходимо решать три уравнения переноса параболического типа уравнения (V, Р)-системы все еще остаются сложнее из-за наличия членов Д,-, /, и, а неявные методы все еще не нашли успешного применения для решения (V, Р)-систем. Для рещения ( 1з, )-системы Азиз и Хеллумс с успехом применили неявную схему метода чередующихся направлений. [c.312]

Брили и Макдональд [1975], а также Баум и Ндефо [1973] с успехом применяли неявную схему метода чередующихся направлений (см. разд. 3.1,16) для расчета сверхзвуковых течений вязкого газа. Их схемы различались способами линеаризации, при неудачном проведении которой можно сильно испортить устойчивость, достигнутую за счет неявности. [c.388]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...