Эйлера симметричный

Lz = 0. Учитывая это и условие симметричности = получим следующие динамические уравнения Эйлера [c.501]

Как и в случае движения по инерции симметричного тела, не только вектор о, но и вектор Ко лежит в плоскости П. Это доказывается так же, как и при рассмотрении случая Эйлера для симметричного тела, поскольку при доказательстве этого факта мы опирались только на симметрию тела и не использовали того, что движение происходит по инерции. [c.203]

Задача 423. Исследовать движение по инерции симметричного твердого тела, центр тяжести которого совмещен с неподвижной точкой (случай Эйлера). [c.525]

Если та = /, то уравнения (1.126) совпадают с динамическими уравнениями Эйлера для динамически симметричного абсолютно твердого тела, т.е. в линейном приближении внутреннее движение не изменяет движения системы, рассматриваемой как единое абсолютно твердое тело. [c.55]

Параллельно с аналитическим методом в механике развивались и геометрические методы, получившие наиболее яркое развитие в работах замечательного французского ученого Пуансо (1777—1859). Он впервые (1803 г.) изложил статику в таком аспекте, в каком ее и теперь излагают во всех высших технических учебных заведениях. Много открытий и геометрических интерпретаций законов механики Пуансо сделал и в кинематике и в динамике. К их числу относится работа Пуансо по изучению геометрическими методами движения тела с одной неподвижной точкой. Эта важная задача механики имеет, как показала С. В. Ковалевская (1850—1891), однозначное решение только в трех случаях 1) движение тела по инерции вокруг центра тяжести (случай Эйлера — Пуансо) 2) движение симметричного тела вокруг точки, лежаш,ей на оси симметрии (случай Лагранжа), и 3) движение не вполне симметричного тела с определенным распределением массы (случай, открытый Ковалевской и названный ее именем). [c.16]

Совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера является системой шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно ф, гр, 0 и сот,, со . При заданном моменте внешних сил М и известных начальных условиях определение движения тела сводится к указанной системе дифференциальных уравнений. В общем виде эта задача не решена. Однако несколько частных случаев движения тела около неподвижной точки всесторонне исследованы и уравнения их проинтегрированы. Среди них наиболее простой и широко применяемый в технике случай движения симметричного гироскопа, для которого А = В. [c.180]

Пусть имеем уравновешенный, не симметричный гироскоп, у которого главными осями инерции являются оси Ох, Оу, Ог, скрепленные с гироскопом. Динамические уравнения Эйлера для такого гироскопа имеют вид [c.477]

Во многих важных случаях, особенно симметричных тел, являющихся гироскопами, уравнения Эйлера интегрируются приближенно. Известен также ряд частных случаев начальных условий, для которых уравнения Эйлера при движении гироскопа под действием силы тяжести могут быть проинтегрированы точно. [c.482]

Определим движение уравновешенного гироскопа, т. е. установим зависимость углов Эйлера 11), 0, ф от времени при заданных начальных условиях. Так как о = О, то = Ту = Тг = 0. Учитывая это и условие симметричности J х = J у, получим следующие динамические уравнения Эйлера [c.484]

Динамические уравнения Эйлера для симметричного гироскопа и X — J и), движущегося под действием силы тяжести, примут вид [c.487]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

О равны, например А = В. Ось Oz тогда будем называть осью динамической симметрии. Исследуем движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. [c.159]

Рассмотрим вначале простейший случай обтекания равномерным потоком идеальной жидкости шарообразного тела (рис. 115). Не обладающая вязкостью идеальная жидкость должна скользить по поверхности шара, полностью обтекая его. Когда шар помещен в поток, то первоначально прямые линии тока вблизи шара окажутся изогнутыми симметрично относительно поверхности шара. В соответствии с уравнением Бернулли распределение давлений тоже будет симметричным, поэтому результирующая сил давления на поверхность шара равна нулю. Такой же результат получается и для тел другой формы. Поэтому и в обратной задаче тело, равномерно движущееся в неподвижной невязкой жидкости, не должно испытывать сопротивления движению (парадокс Эйлера) [c.147]

При этом специально для симметричного гироскопа обобщенные уравнения Эйлера принимают вид [c.43]

Воспользуемся дифференциальными уравнениями (1.1) движения гироскопа в форме обобщенных уравнений Эйлера, составленными применительно к симметричному гироскопу, а именно [c.49]

А - МАССИВ ДЛЯ ХРАНЕНИЯ ВЕРХНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ ЧАСТИ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ ЭЙЛЕРА. ДЛИНА МАССИВА РАВНА NI (NI+l)/2 B(NI) - ВЕКТОР-СТОЛБЕЦ СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ [c.46]

Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела. Углы Эйлера дают нам систему трех координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования характеристик движения твердого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом. Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. [c.163]

В случае симметричного твердого тела нетрудно получить аналитическое решение, которое подтверждает прецессионный характер рассматриваемого движения, исследованного нами с помощью интерпретации Пуансо. Примем ось симметрии за ось 2. Тогда будем иметь 1 =1ъ и уравнения Эйлера (5.36) примут вид [c.183]

Для решения задачи о движении волчка мы используем не уравнения Эйлера, а уравнения Лагранжа. Так как рассматриваемое тело является симметричным, то его кинетическая энергия может быть записана в виде [c.186]

Рис. 56. Углы Эйлера для симметричного волчка.

Если свободное твердое тело не является симметричным, то аналитическое решение уравнений Эйлера не может быть получено с помощью элементарных функций. Показать, что, используя теоремы о сохранении энергии и кинетического момента, можно выразить составляющие вектора (о по подвижным осям через эллиптические интегралы. [c.202]

Получить из уравнений движения Эйлера условие (5.70) для симметричного волчка в поле силы тяжести, накладывая требование, чтобы движение волчка представляло собой равномерную прецессию без нутации. [c.202]

Пользуясь уравнениями Эйлера, покажите, что если скорость вращения этого гироскопа велика по сравнению со скоростью вращения Земли, то ось его будет совершать симметричные колебания около линии меридиана н, следовательно, ее можно использовать в качестве стрелки компаса. [c.204]

Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Регулярная прецессия. Будем называть тело динамически симметричным если два его главных момента инерции для точки О равны, например А = В. Ось Oz тогда будем называть осью динамической симметрии. Исследуем движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. [c.191]

Таким образом, динамически симметричное тело в случае Эйлера совершает регулярную прецессию. В этой прецессии ось симметрии тела описывает круговой конус с осью Ко и углом при вершине 2во, движение оси симметрии вокруг Ко происходит с постоянной угловой скоростью 0 2 одновременно тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси симметрии. [c.192]

При безвихревом (потенциально.м) Н. д., безграничной или ограниченной свободной поверхностью несжимаемой идеальной жидкости, обтекающей твёрдое тело, потенциалы скорости (см. Потенциальное течение) удовлетворяют Лапласа уравнению при заданных условиях на поверхности тела и в бесконечности, определяя зависящий от времени потенциал скорости Н. д. При этом гл. вектор сил давления потока на симметричное тело не равен нулю в отличие от случая стационарного обтекания (см, Д Аламбера — Эйлера парадокс). [c.337]

I. Устойчивость упругого стержня. Устойчивость сжатого упругого стержня была изучена Эйлером в работе, относящейся к 1757 г. Приведем кратко решение этой задачи на основе статического критерия, причем для простоты рассмотрим стержень постоянного и симметричного (фиг. 179)сечения оси X, у будут главными центральными осями. [c.269]

Эйлера, 23 относительного спина, 31 первого ранга, 14 ротации, 30 линейный, 39 симметричный, 17 скорости деформаций, 29 с исключенным поворотом, 31 шаровой, 17 теорема [c.261]

Таким образом, установлено, что тензор напряжении Эйлера является симметричным. Выпишем инварианты [c.25]

Построены классы точных решений уравнений Эйлера.-Остроградского, соответствующие нелинейному комбинированному функционалу, с помощью которого строятся регулярные криволинейные сетки, близкие к равномерным и ортогональным. В общем случае упомянутые классы описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка, для которых ставится задача Коши. В симметричном частном случае система сводится к одному нелинейному уравнению четвертого порядка, которое проинтегрировано до конца в квадратурах. Исследовано влияние веса при слагаемом в функционале, отвечающем за ортогональность, на качество сеток. Приведены результаты численных расчетов. Построенные решения могут, в частности, служить тестами при исследовании различных численных методик построения сеток. [c.506]

Углы Эйлера широко применяются в теории гироскопов. Движение гироскопа, т. е. симметричного тела, имеющего неподвижную точку на оси симметрии и быстро вращающегося вокруг этой оси, в общем случае, можно представить состоящим из трех движений (рис. 157) вращения с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии, пли оси собственного вращения, при котором изме-н тется угол собственрюго вращения ф, вращения гироскопа вместе со своей осью сим-негрии вокруг неподвижной ос[1 Ог1, при котором изменяется угол прецессии г)). Третье движение совершает ось симметрии, которая, участвуя сионном движении, описывает коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке, а вследствие изменения угла нутации 6 она описывает в общем случае волнистую поверхность. [c.165]

Случай Лагранжа (случай симметричного гироскопа). Тело имеет ось симметрии, например Oz. В силу сим.метрни J — Jу и эллипсоид инерции для закрепленной точки будет эллипсоидом вращения. Закрепленная точка О и центр масс С расположены на оси симметрии. В этом случае могут быть указаны шесть независимых первых интегралов, из которых углы Эйлера вычисляются в квадратурах. [c.482]

Соотношение (6.33) легко преобразовать к симметричному виду, позволяющему примеиигь формулу Эйлера [c.284]

Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Регулярная прецессия. Будем называть тело динамически симметричным, если два его главных момента нперцип для точки [c.159]

Таким образом расчет по неявной схеме Эйлера сводится к решению на каждом шаге по времени системы линейных уравнении (1.66), которое может быть выполнено с помощью какой-либо стандартной подпрограммы. В рассматриваемой задаче матрица А является симметричной, так как согласно (1.67) a,j- = aji = —оТТ, и поэтому используется подпрограмма GELS (см. 1.3). [c.44]

О прямом исследовании симметричного волчка с немощью уравнений Лагранжа см. Уиттекер [28], стр. 174—183, где введены и углы Эйлера, и параметры Кэли — Клейна. О симметричном волчке на гладкой плоскости см. Уиттекер [281, стр. 183—184. [c.175]

После введения углов Эйлера выводятся два уравнения движения твердого тела одно —описывающее его поступательное движение, другое — его вращательное движение. Получено выражение для кинетической энергии твердого тела, записанное через его моменты инерции и угловые скорости, отнесенные к главным осям тела. Выведены уравиенпя Эйлера и прилагаются к рассмотре-н по твердых тел, на которые не действуют внешние силы, и к рассмотрению тяжелого симметричного волчка. Обсуждается прецессия и нутация земной оси, обусловленная солнечными и лунными силами тяготения. В последнем параграфе рассматриваются силы Кориолиса и их влияние на свободное падение тел и движение сферического маятника (маятник Фуко). [c.98]

Решение задачи о минимизации среднеинтегральных ускорений ведомого звена для случая установившегося неравно-кернрго вращения ведущего звена позволяет получить минимум максимальной скорости ведомого звена при симметричной относительно середины рассматриваемого интервала скорости ведущего звена. В частности, при равномерном вращении ве- дущего звена оптимальная передаточная функция является симметричной квадратичной параболой. Это решение, полученное интегрированием дифференциального уравнения Эйлера, обеспечивает движение без жестких ударов. Однако использование точных методов не дает возможности удовлетворить дополнительным граничным условиям, которые могут оказаться важными в некоторых случаях. Оптимальный закон движе ния, полученный в 1 этой главы, имел разрыв непрерывности второй производной функции положения в граничных точках рассматриваемого интервала, что приводило бы к мягким ударам в работе механизма в этих точках. В настоящем параграфе задача об определении оптимальной передаточной функции механизмов из условия минимума среднеинтегральных ускорений ведомого звена в классе функций, обеспечивающих движение как без жестких , так и без мягких ударов, решается методом Ритца. При этом скорость ведущего звена принимается постоянной. В данной задаче для закона движения механизма используем форму инвариантов подобия. Вы- [c.29]

Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Если действие группы Ли G на С. м. М сохраняет симплектич. структуру, то алгебра М G-иввариантных ф-ций ва М замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая М как алгебру ф-цнй на многообразия А, получаем разбиение А на симплектич. слои, а также проекцию М -> А, сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядка симметричных гамильтоновых систем траектории на М б-инвариант-ного поля Проектируются в траектории гамильтонова потока на слоях в. 4 с гамильтонианом И . Таким способом возникает, напр., ур-ние Эйлера, т = [тш], описывающее эволюцию вектора момента импульса во внутр. координатах твёрдого тела при его свободном вращении. Здесь G — группа вращений М = T G — её кокасательное расслоение, действие G на М зада-ётся сдвигами на группе, а проекция М А = MiG совпадает с отображением момента T G —> ф в двой- [c.522]

Рис. 11.15. Перваяя симметричная форма потери устойчивости по Эйлеру. Нагружение заданными перемещениями

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...