Граничные условия геометрические в функциях напряжений

Из них в силу (13.6.8) вытекает, что, если на краю 71 сферической оболочки заданы два тангенциальных статических условия, то это эквивалентно заданию краевых значений комплексной функции напряжения на соответствующем контуре gi- Точно так же, если на краю сферической оболочки оба тангенциальные граничные условия — геометрические, то этим на gz определятся граничные значения комплексной функции перемещения g ( ). [c.267]

Решаем задачу в виде (3). Представляя функцию в уравнении (5) исходя из геометрических граничных условий (18), находим функцию Р в виде (13) и компоненты напряжений в пластической зоне. Они удовлетворяют линеаризированным граничным условиям на внутреннем контуре [c.38]

ГД0 (Туо И Tvo — заданные на граничном срезе S внешние напряжения. Если на поверхности 2 заданы геометрические условия, то должны быть заданы перемещения и н v в функции координат линии С [c.444]

Таким образом, общий порядок расчета сводится к следующим вычислениям. Задаются геометрические параметры срединной поверхности оболочки в форме резной линейчатой поверхности Монжа, т. е. величины 0, а, оо, Ро (см. рис. 1.25). Исходя из конкретных требований, принимается внешняя распределенная нагрузка. Для случая действия собственного веса оболочки можно воспользоваться формулами (8.27). Затем находят общие решения однородных уравнений (8.26) и определяют частные решения (8.31), после чего вычисляют функцию напряжений Ф и функцию перемещений Ч " по формулам (8.18). Но выражения для определения Ф и F содержат 16 произвольных постоянных величин ai (по 8 в каждой функции) и два параметра Хп- Указанные постоянные величины находятся из граничных условий на контуре оболочки. [c.221]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

Этим требованиям удовлетворяет предложенный в работе [ 75 ] сингулярный элемент с аппроксимацией поля перемещений исходя из собственных функций для установившегося распространения трещины. В указанной работе выведен соответствующий вариационный принцип, позволяющий получить несимметричные конечно элементные уравнения движения, и предложена процедура перестроения сетки конечных элементов при распространении трещины. Достоинства введенного авторами элемента заключаются в том, что на берегах трещины точно удовлетворяются свободные граничные условия, в результате же решения системы уравнений движения определяются коэффициент интенсивности напряжений, а также его первая и вторая производные по времени (что представляет интерес при решении задач, в которых скорость распространения трещины непостоянна на каждом шаге по времени и определяется.из некоторого критерия). Кроме того, поскольку элемент основан на аппроксимации по достаточно большому числу собственных функций, он нечувствителен к изменению геометрических размеров. [c.77]

В качестве наиболее простой задачи термоупругости оболочек в 6.6 рассматривается задача о тепловых напряжениях в цилиндрической оболочке разрешающее уравнение этой задачи является дифференциальным уравнением четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Далее выводятся разрешающие уравнения для других форм оболочек с постоянной кривизной меридиана (конической, сферической, торообразной). Для каждой из них в 6.7 составляется разрешающее уравнение в виде дифференциального уравнения второго порядка относительно комплексной функции, при этом используются известные в теории оболочек стати ко-геометрическая аналогия и комплексное преобразование уравнений. Анализ форм решений и граничных условий для этих оболочек излагается в 6.8. [c.170]

Граничные условия. Статические (1.3), физические (1.6) и геометрические (1.11) соотношения образуют полную систему уравнений теории упругости анизотропного тела, содержащую 15 уравнений и столько же искомых функций — шесть напряжений, шесть относительных деформаций и три перемещения. Решение этой системы должно удовлетворять заданным граничным условиям, которые характеризуют условия закрепления и нагружения тела. Если на границе заданы перемещения, то найденные в результате решения перемещения приравниваются к заданным. Если на граничной поверхности задаются распределенные по этой поверхности нагрузки, то ставятся статические граничные условия [c.307]

При использовании мембранной аналогии функцию напряжений ф(д , у) моделирует гибкая мембрана, натянутая на изогнутый контур, форма которого в плане геометрически подобна форме поперечного сечения стержня, а аппликаты определены из граничного условия (3). На основании равенства (1) следует, что для определения напряжений и необходимо найти значения производных и , пропорциональных тангенсам углов наклона [c.153]

При использовании статико-геометрической аналогии в вариационной форме проявляется преимущество вариационных формулировок, охватывающих все стороны задачи и согласующих дифференциальные уравнения и граничные условия. В частности, эта форма содержит в себе аналогию между статическими и геометрическими граничными величинами, между геометрическими граничными условиями в перемещениях или деформациях и статическими — в функциях напряжений или усилиях, а также между сложными граничными условиями для односвязных и многосвяз-пых областей. [c.136]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

В этом параграфе будут рас смотрены обобщения принципа ми нимума потенциальной энергии Сначала напомним рассуждения которые привели к выводу прин ципа минимума потенциальной энергии из принципа виртуальной работы. Мы предполагали (1) можно вывести положительно определенную функцию состояния Л (е, ty, Уху) из соотношений между деформациями и напряжениями (2) компоненты деформаций удовлетворяют уравнениям совместности, т. е. их можно вычислить по формулам (1,5) из и, V, w (3) компоненты перемещений ы, v, w определены так, чтобы удовлетворялись геометрические граничные условия (1.14) (4) объемные и поверхностные нагрузки должны выводиться из потенциальных функций Ф и Ч по формулам (2.10) и (2.11). Если принять эти предположения, то, согласно принципу минимума потенциальной энергии, действительные деформации могут быть получены из условий минимума функционала П, определенного по формуле (2.12). [c.54]

Пусть В цилиндрической системе координат г,(р,г) задан цилиндр г К, г Ь из нелинейного упругого изотропного материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесимметричная деформация, вызванная внедрением в поверхность цилиндра при 2 а жесткого бандажа. Трение между цилиндром и бандажом отсутствует, а бандаж имеет радиус К-6, (5 > 0. В работе [47] для добавочной деформации получены линеаризованные уравнения и выписаны соответствующие граничные условия. Известным приемом полученная краевая задача была сведена к парному ряду-уравнению вида (33), в котором nQ = 0, К2 = К, а К(и) — известная функция [47]. Решение парного ряда, как и в предыдущей задаче, было получено путем сведения его к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Был проведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп — цилиндр Р для материала Муни. Анализ расчетов показывает, что с увеличением параметра предварительного напряжения в сторону растяжения жесткость Р увеличивается. Существует также такое сочетание геометрических параметров, при которых жесткость Р возрастает и с увеличением предварительного сжатия (с уменьшением Л при Л < 1). [c.170]

Такой подход позволил эффективно приложить (Г. Н. Савин, 1964) развитый ранее применительно к линейным задачам метод функций комплексного переменного и интегралов типа Коши. Р1зучены особенности и условия однозначности комплексных потенциалов, сформулированы различные варианты статических и геометрических граничных условий в начальном и деформированном состояниях (Г. Н. Савин и Ю. И. Койф-ман, 1961). Затем был рассмотрен ряд задач о концентрации напряжений около кругового и эллиптического отверстий (свободного и с подкреплением) при однородном напряженном состоянии на бесконечности Ю. И. Койфман, 1961—1964). Здесь же рассмотрены родственные задачи для пластинки с жестким ядром. [c.77]

Неизвестные функции этой системы — концентрация дырок и электронов р(х, у, z, t) и п х, у, z, t) и напряженность электрического поля Е(х, у, Z, t). Вместо Е может фигурировать электрический потенциал ф(д , у, z, t), так как Е=—gradf. Краевые условия состоят из начальных условий, характеризующих распределение зависимых переменных по объему кристалла в начальный момент времени, и граничных, задающих значения зависимых переменных на границах рассматриваемой полупроводниковой области. Геометрические размеры и конфигурация диффузионных областей и омических контактов транзистора также учитываются граничными условиями. Параметрами этой модели являются основные электрофизические параметры полупроводника. Дифференциальные уравнения в частных производных можно решать методами конечных разностей либо конечных элементов. С помощью физико-топологической модели можно с высокой степенью точности определить основные статические и динамические характеристики транзистора. Модель не учитывает влияния магнитного поля и возможных неоднородностей полупроводникового материала, что несущественно для моделирования реальных транзисторов, так как большее значение имеет точное определение параметров модели. Применение подобных моделей транзистора в задачах анализа электронных схем практически нереализуемо. Они применяются только для идентификации параметров более простых схемных моделей транзистора. [c.132]

Подробнее остановимся на подходе, предложенном А.Н. ВсСлковым [84]. В этой работе функции смещений и напряжений разлагаются в пределах каждого слоя в ряды по степеням поперечной координаты. Их подстановка в уравнения пространственной задачи теории упругости, отделение поперечной координаты и использование условий межслоевого контакта приводят к выражениям для коэффициентов разложений через начальные функции, определенные на начальной поверхности. Искомые функции выражаются через начальные при помощи матрицы начального преобразования, операторные элементы которой содержат в качестве параметров тепловые члены, механические и геометрические параметры слоев. Система дифференциальных уравнений для определения начальных функций получается путем удовлетворения условиям нагружения на верхней и нижней граничных поверхностях оболочки. Порядок этой системы определяется как числом слоев оболочки, так и числом членов ряда, удерживаемых в разложениях искомых функций, и оказывается достаточно высоким, что ограничивает возможности практического использования метода. Так, если для четырехслойной оболочки в разложениях искомых функций удерживаются члены до третьей степени включительно, то получающаяся при этом система дифференциальных уравнений имеет сороковой порядок. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...