Уравнения Аппеля точки

Составить полную систему уравнений движения, включающую уравнения Аппеля и кинематические уравнения, для матери-а.льной точки, движущейся под действием активной силы Г и дифференциальной связи [c.441]

Абсолютно твердое тело, не стесненное связями, имеет шесть степеней свободы, поскольку возможны поступательные перемещения тела вместе с точкой А по любым трем независимым направлениям в пространстве и, кроме того, возможны произвольные вращения твердого тела вокруг точки А, принадлежащие группе 80(3) (см. 2.4). Таким образом, имеется ровно шесть независимых параметров, определяющих пространство допустимых скоростей точек тела. Для этих параметров (квазискоростей) можно составить шесть уравнений динамики в форме уравнений Аппеля (см. 5.6). Вместе с тем отметим, что и общие теоремы динамики об изменении количества движения (теорема 5.1.3) и об изменении кинетического момента (теорема 5.1.5) также дают шесть дифференциальных уравнений движения. Для простоты изложения воспользуемся этими теоремами. [c.448]

Покажем, каким образом из уравнений Аппеля могут быть получены динамические уравнения Эйлера для твердого тела с закрепленной точкой О. [c.75]

Если в качестве величин тг приняты обобщенные скорости qi (г = 1, 2,. .., п), то соответствующие обобщенные силы П равны величинам (5 , вычисляемым по формулам (13) п. 63. Энергия ускорений S в этом случае будет функцией от i,. .., qm Qi 5 Qn 1, , n, и уравнения Аппеля [c.308]

Если еще в S отбросить несущественные для уравнений Аппеля слагаемые, не зависящие от р, q, г, то получим [c.311]

Пример 1 (Вывод динамических уравнений Эйлера при помощи УРАВНЕНИЙ Аппеля). Пусть Мх, Му, — проекции момента Мо внешних сил относительно точки О на оси Ох, Оу, Oz. В качестве [c.311]

В работе В. Ф. Котова Основы аналитической механики для систем переменной массы (1955) выведены принципы виртуальных перемещений, уравнения Лагранжа второго рода, канонические уравнения, уравнения Аппеля, уравнения движения свободной точки переменной массы, уравнения движения свободного тела переменной массы, принцип наименьшего действия. [c.304]

Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Уравнения Аппеля. В начале XIX в. получил большое развитие метод обработки наблюдений — метод наименьших квадратов. В аналитической механике этот метод приводит к новому общему принципу. В 1829 г. Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) опубликовал свой знаменитый мемуар, в котором предложил доказательство принципа наименьшего принуждения. Это была единственная работа Гаусса по аналитической механике. Как замечает сам Гаусс, каждый новый принцип вносит новую точку зрения на законы природы. По мнению Гаусса, его принцип имеет то преимущество, что обнимает одинаковым образом как законы движения, так и законы покоя. [c.524]

Авторы, решающие эту задачу, правильно указывали, что ее нельзя решить при помощи уравнений Лагранжа благодаря наличию неголономной связи (14.39) они применяют для составления уравнений движения либо уравнения Аппеля, либо уравнения Лагранжа с множителями (14.29) так как ни те, ни другие уравнения не входят в программу втузовского курса механики, то мы считаем полезным показать решение этой задачи при помощи того аппарата, который известен студенту втуза. [c.416]

Пример. Материальная точка массы т, радиус-вектор которой К= а , у, г с действующей на нее силой Р = Е , Еу, подчинены идеальной кинематической связи х уг = 0. Требуется составить уравнения Аппеля. [c.138]

Используя эту функцию при составлении уравнений Аппеля, мы приходим к уравнениям Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой. [c.157]

Поскольку обобщенные силы Ох = Оу= 0 = 0, то О = Уравнения Аппеля примут вид [c.202]

Можно доказать, что принцип наименьшего принуждения не уступает в общности принципу Даламбера — Лагранжа. Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что из принципа Гаусса вытекают дифференциальные уравнения движения системы, на точки которой наложены голономные и неголономные связи. Ниже показано, как из принципа Гаусса вывести дифференциальные уравнения движения неголономных систем в форме, предложенной Аппелем. [c.189]

Уравнения Гиббса — Аппеля представляют наиболее простую и в то я е время наиболее общую форму уравнений движения. Исключительно простые по форме, они с равным успехом могут быть применены как к голо-номным, так и к неголономным системам и позволяют легко вводить квазикоординаты. [c.219]

Вряд ли нужно напоминать читателю, что уравнения Эйлера, полученные в этом параграфе как следствие уравнений Гиббса — Аппеля, легко могут быть выведены с помощью элементарных методов. Эти уравнения Эйлера содержатся в его книге [3] 1765 г. Примечательно то, что Эйлер открыл свои уравнения задолго до того, как пользование подвижными осями стало обычным для математиков, и сразу осознал значение своего открытия. [c.234]

Качение эллипсоида по шероховатой горизонтальной плоскости. В качестве последнего примера использования уравнений Гиббса — Аппеля рассмотрим задачу о качении однородного твердого эллипсоида по шероховатой плоскости. Направим оси координат вдоль осей эллипсоида (которые являются главными осями инерции в центре G). Скорость точки G обозначим через и, V, w, направляющие косинусы вертикали (направленной вниз) — через I, т, п, а координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью — через х, у, z. Условия качения запишутся в виде [c.241]

П. Аппель , доказав эквивалентность принципа Гамильтона — Остро-градского и уравнений Лагранжа второго рода и ссылаясь на неправомерность этих уравнений в динамике неголономных систем, также подтвердил классическую точку зрения. [c.90]

В этом пункте излагается прием, позволяющий выписать регулярные уравнения систем с неудерживающими связями в явном виде для любых таких систем. В основе этого приема лежит изложенное в п. 1 настоящего параграфа свойство 3 (теорема Аппеля), согласно которому обобщенные импульсы, соответствующие переменным, на которые не наложена неудерживающая связь, в момент удара не терпят разрыва. Следовательно, если выбрать эти импульсы в качестве фазовых переменных, то дифференциальные уравнения могут содержать не более чем разрывы первого рода. [c.150]

Плоское движение материальной точки. Приведем еще один поучительный и простой пример применения уравнений Эйлера— Лагранжа и Аппеля. Условимся, следуя Аппелю, определять положение движущейся точки М на плоскости ее вектор-радиусом г = ОМ и удвоенной площадью а сектора описанного вектор- [c.405]

Перейдем теперь к изложению результатов П. В. Воронца, который вместе с С. А. Чаплыгиным, П. Аппелем и др. является одним из основоположников механики неголономных систем. В своей работе [ ], написанной в 1901 г., П. В. Воронец выводит уравнения движения, не делая ограничивающих предположений, которые приводят к системе Чаплыгина. Поэтому уравнения Воронца приложимы к более широкому классу неголономных систем, чем уравнения Чаплыгина. Следуя работе П. В. Воронца, рассмотрим движение несвободной системы материальных точек под действием сил, имеющих потенциал. Обозначим через Ят+и обобщенные координаты системы и предположим, что уравнения неголономных связей имеют вид [c.115]

Заметим, что энергия ускорений полностью характеризует динамику неголономной системы в том смысле, что, имея выражение одной лишь функции 5 и не располагая больше никакими сведениями о системе (в частности, ничего не зная о связях, наложенных на систему), мы можем составить уравнения движения. Таким образом, для неголономных систем функция ускорений 5 играет такую же роль, как кинетическая энергия Т для голономных систем. Отсюда также следует, что знание одной лишь функции Т или Т еш,е недостаточно для изучения поведения неголономной системы. Другими словами, если мы знаем только выражение кинетической энергии Т или Т, то о динамике неголономной системы еш,е ничего сказать нельзя. Для доказательства этого предложения достаточно найти две различные динамические системы, выражения Т для которых одинаковы, а функции 5 различны. Такой пример двух различных систем с одинаковыми функциями Т и различными функциями 5 был приведен Аппелем [ ]. Первая система представляет собою диск радиуса а с моментами инерции Л, Л и С, который катится по шероховатой плоскости. Вторая система — это тело враш ения радиуса а и с таким распределением массы, что А1 = А, = та . Вторая система движется при следующих ограничениях [c.151]

Динамика системы материальных точек сначала излагается для случая, когда движение стеснено произвольными дифференциальными связями. Из принципа Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) с использованием свойств структуры виртуальных перемещений [68] выводятся общие теоремы динамики об изменении кинетической энергии (живой силы), кинетического момента (момента количеств движения), количества движения. Изучается динамика системы переменного состава [1]. На основе принципа Гаусса наи-меньщего принуждения выводятся уравнения Аппеля в квазикоординатах. Получены также уравнения Воронца и, как их следствие, уравнения Чаплыгина. Установлено, что воздействие неголономных связей включает реакции, имеющие гироскопическую природу [44]. [c.12]

Следствие 5.6.1. Для того чтобы получить полный набор уравнений движения системы материальных точек, достаточно разрешить уравнения Аппеля относительно квазиускорений и к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям добавить кинематические уравнения системы. При этом число уравнений составит 2п — т и будет равно сумме числа координат и квазискоростей. [c.428]

Примеры. 1. Вывод динамических уравнений Эйлера при помощи уравнений Аппеля. Пусть Мх, Му, — проекции момента Biieuiiiux сил относительно точки О на оси Ох, Оу, Oz. В качестве исевдоскоростоп примем величины Я = р, Л2 = q, Яз = г. Для элементарной работы внешних сил имеем выражение [c.265]

В этом параграфе мы выведем уравнения Аппеля, определяющие движение неголономной системы. Пусть на неголо-номную систему наложены d конечных и g дифференциальных связей (см. 1). Использовав сначала только конечных связей, мы выразим радиусы-векторы точек системы через m = 3N — d независимых координат q , и время t [c.67]

Так как обобщенные силы П (г = 1, 2, 3) равны нулю, то из уравнений Аппеля dS/dHi = 0 (г = 1, 2, 3) следует, что тг = О г = 1, 2, 3), или ujx — onst, ujy — onst, ujz — onst. Таким образом, из уравнений Аппеля сразу следует, что угловая скорость при движении остается неизменной. Другим способом этот вывод получен в п. 113. [c.313]

Пример 129. Составить уравнения Аппеля для задачи о движении ма-ериальной точки в плоскости под действием силы Р(Х, У). [c.533]

III. Окончательное интегрирование уравнений движения шара. Р1так, результаты, полученные для катящегося шара с помощью общих теорем динамики и уравнений Аппеля для неголономных систем, совпадают. А именно, мы получили, что в случае чистого качения однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат постоянны и -сам вектор угловой скорости лежит в горизонтальной плоскости (так как при качении без верчения со О), а реакция направлена по нор мали к шлоскости, то есть силы трения равны нулю. [c.55]

Здесь П — область, занимаемая твердым телом, ц — мерг., занная с распределением масс в теле, г, Гс — радиусы-ве произвольной точки тела и центра масс, ю = фе , — орт кальной оси, р = г - г . Так как в дальнейшем при вычислении. вой части уравнений Аппеля (22.6) важна только зависимость ГИИ ускорений 5 от обобщенных ускорений х, у, ф, то предс вим 5 в виде [c.202]

Функцию Аппеля по аналогии с кинетической энергией системы материальных точек назовем энергией ускорений. На основании (117) энергия ускорений содержит в своем выражении величины q, Qa, Qb Если тсперь в уравнении (119) рассмотреть первую [c.380]

Вопросы о приоритете часто бывают спорными. С одной стороны, многие результаты были получены почти одновременно двумя различными авторами независимо друг от друга. С другой стороны, даже в том случае, когда первое явное упоминание о результате содержится в какой-либо ссылке, появившийся ранее результат иногда бывает настолько близок к нему, что вопрос о приоритете можно с основанием оспаривать. Такого рода трудности возникают в особенности в связи с работами середины девятнадцатого столетия, когда создавалось основное здание аналитической механики. Замечательным примером тесно связанных теорий, выдвинутых почти в одно и то же время двумя разными авторами независимо друг от друга, служит центральная теорема, которую автор (как и большинство английских математиков) называет теоремой Гамильтона — Якоби такое название дано в память о двух знаменитых авторах, одновременно работавших над одним и тем же кругом идей. Другим примером фундаментальной теории, разработанной двумя различными учеными независимо друг от друга (хотя на этот раз и не одновременно), служат уравнения Гиббса — Аппеля. Когда Уиллард Гиббс открыл эти уравнения, они не произвели глубокого впечатления, важность их была оценена лишь после того, как двадцать лет спустя Аппель открыл их вновь. Можно привести еще много других примеров, когда разные ученые независимо друг от друга приходили к одному и тому же результату. [c.13]

Качение монеты (тонкого диска). Система, рассмотренная в 13.8, была голономна, а, как уже отмечалось, преимущества уравнений Гиббса — Аппеля проявляются наиболее ярко в неголономпых системах. В этом параграфе мы рассмотрим задачу о качении диска или обода по шероховатой горизонтальной плоскости. Эта задача исследовалась нами с помощью метода Лагранжа в 8.12. Если обозначить через и скорость центра тяжести G диска, а через / — его ускорение, то, пользуясь обозначениями рис. 22, можно написать [c.232]

TaivUM oGpaaoM, если система голояолша и сели обобщенные координаты q , образз ют систему координат с наименьшим числом независимых координат, то уравнения Лагранжа (48.18) приводят сразу к уравнениям движения Аппеля. [c.132]

Выводу уравнений движения механических систем с нелинейными неголономными связями посвящено значительное число работ. Систематическое развитие методов аналитической механики для неголономных систем с нелинейными связями содержится в работах Л. Ионсена Г. Гамеля Н. Г. Четаева В. С. Новоселова Несмотря на то, что в свое время имела место оживленная дискуссия, в которой принимали участие П. Аппель, П. Делясю, Н. Беген и другие, по поводу возможности реализации нелинейных неголономных связей, в этих работах по существу не содержится примеров систем с нелинейными идеальными неголономными связями, существенно отличающихся от примера П. Аппеля [2 ], указанного им в 1911 г. [c.216]

Поль Серре [1] отмечал, что кеплерово чудо , то есть тот факт, что орбиты — это кривые второго порядка, сохраняется, если заменить евклидову плоскость на сферу, а уравнение (1.1) — на его естественный аналог. Позднее было подтверждено, что и гиперболическая плоскость также обладает этим свойством. Аппель [2] настаивал на той роли, которую играет центральная проекция, и его замечания станут исходной точкой для нашего представлени. Козлов [1] и Гарин настаивают на гармоничности потенциала, при размерности 3, как на свойстве, общем для положительной, отрицательной или нулевой кривизны, и на тех сложностях, которые возникают при переходе к истинной задаче двух тел (1.5), в противоположность задаче о центральной силе. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...