Определяющие уравнения для бесконечно малых деформаций

Кроме того, когда градиент смещения не является бесконечно малым, деформация не может быть выражена так, как в уравнении (II. 35) через градиент, входящий только в первой степени. Например, если D определяется согласно уравнению (III. 31), имеем [c.239]

В двумерном плоском потоке жидкости расположена бесконечно малая частица в форме круга с уравнением х у] = г . Определите форму этой частицы и изменение ее площади после деформации при условии, что эта деформация линейная и происходит вдоль осей 0x1 и Оуи являющихся главными осями деформации (рис. 2.1). [c.41]

Метод устранения деформации. Тот же вывод можно получить и с помощью метода устранения деформации. Представим себе, что тело подвергается неравномерному нагреву и разделено на бесконечно малые элементы. Пусть свободным температурным деформациям этих элементов = гу = г = аТ противодействует приложенное к каждому элементу равномерное давление р, величина которого определяется формулой (е). Тогда свободная температурная деформация будет полностью устранена. Все элементы окажутся пригнанными друг к другу и образуют непрерывное тело первоначальной формы и размеров. Распределение давления (е) можно реализовать с помощью приложения к названному телу, составленному из элементов, некоторых объемных сил и поверхностных давлений. Эти силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124). Подставляя в эти уравнения значения [c.460]

Эти соотношения можно назвать эффективными определяющими уравнениями слоистого композита, поскольку они определяют геометрические изменения, вызванные нагрузкой, приложенной к слоистому элементу, в отличие от общепринятого понятия определяющих уравнений теории упругости, связывающих напряжения и деформации в бесконечно малом материальном элементе. Располагая эффективными определяющими соотношениями, можно разработать теорию слоистого тела в целом, не прибегая к исследованию каждого слоя в отдельности методами теории упругости. Впрочем, решив конкретную краевую задачу, можно найти распределение напряжений по толщине слоистого тела во всех деталях. [c.38]

Напряжения и деформации. Выше понятие напряжения использовалось до некоторой степени не вполне точно. В дальнейшем мы будем использовать это понятие для обозначения только напряжения, понимаемого как сила, отнесенная к единице площади, которая должна быть умножена на площадь, по которой она распределена (или бесконечно малую площадь, если напряжение переменное), для того чтобы получить отнесенную к площади силу и использовать ее в уравнениях равновесия. Величина равномерно распределенного напряжения, действующего на определенной площади, таким образом, определяется как действующая на некоторой площади сила, деленная на эту площадь, в то время как в случае переменного напряжения его величина в некоторой точке определяется как предел этого соотношения при стремлении к нулю площади области, окружающей эту точку. Эти определения, а также соответствующие определения для деформаций о ень хорошо известны, однако менее известным является вопрос о том, что мы имеем в виду под словами площадь и длина, так как все размеры деформируемого тела при нагружении изменяются. [c.21]

Идеально упругому телу, с которым оперирует теория упругости, свойственно при действии внешних сил несколько изменять свою форму. Определенной системе внепших сил соответствует вполне определенное изменение формы тела, в предыдущих главах мы еще не пользовались этой зависимостью между силами и вызываемыми ими деформациями. При изучении напряженного состояния в данной точке, мы выделяли бесконечно малый элемент и к нему применяли уравнения статики абсолютно твердого тела. Это дало нам возможность установить зависимость между напряжениями по различным площадкам и определить напряженное состояние в данной точке при посредстве шести составляющих напряжения Z, Ху, Хг-, Yy, Y г, Zz. При рассмотрении деформаций мы исходили из допущения, что проекции перемещений и, v, w малы и представляются непрерывными функциями координат точки х, у, z. [c.39]

Если условие упрочнения (7.9) не зависит от хц и то оно определяет идеальную пластическую среду, для которой при постоянной температуре возрастание пластической деформации не приводит к возрастанию напряжений. При фиксированных значениях Т, Xij и х в шестимерном пространстве напряжений условие (7.9) представляет собой гиперповерхность. Поскольку бесконечно малая окрестность рассматриваемой точки тела имеет напряженное состояние, задаваемое тензором напряжений с компонентами (Jij, то этому напряженному состоянию соответствует определенная точка пространства напряжений с радиусом-вектором а. Поверхность, задаваемая уравнением / = О, делит пространство напряжений на две части в одной f ( ij,T,Xij,x) < о, в другой f aij,T,Xij,x) > 0. Бесконечно близкая окрестность точек тела, напряженное состояние которых отображается на зону / < О пространства напряжений, деформируется упруго. Поэтому область / < О называют областью упругости, в ней отсутствуют пластические [c.152]

Полученные выражения (8.132) — (8.134) для смещения точек в очаге деформации позволяют определить отдельные составляющие работ внешних и внутренних сил. Так как составляющие работ будем искать при бесконечно малых перемещениях, то по существу определим не полную работу за процесс деформирования, а бесконечно малые приращения работ, соответствующие смещению пуансона на dh. В соответствии с этим уравнение (8.131) целесообразно записать в дифференциальном виде [c.406]

Представление о мгновенности акта соударения, принимаемое в предложенной Ньютоном упрощенной схеме удара, не позволяет определить силы взаимодействия между соударяющимися твердыми телами — формально эти силы получаются бесконечно большими. Для того чтобы хотя бы приближенно найти силы ударного взаимодействия, часто пользуются следующей схемой. Если соударяющиеся тела имеют выступы, то считают, что деформации при ударе возникают только в зоне этих выступов, а так как соответствующие объемы материала относительно весьма малы, то можно пренебречь массой деформируемых объемов. В таком случае связь между силой Р и сближением х соударяющихся тел можно принять такой же, как и при статическом нагружении, и если начальное касание тел осуществляется в одной точке, а расстояния между поверхностями тел вблизи этой точки описываются уравнением второго порядка, то [c.310]

Если размер пластической области вблизи фронта трещины мал по сравнению с толщиной оболочки и, кроме того, условия локального разрушения в точках фронта трещины близки к условиям локальной плоской деформации, то критериальная комбинация в принципе может быть определена из решения сингулярной задачи для полубесконечного разреза в пластине и критерия локального разрушения в условиях плоской деформации. Поясним это на простейшем случае, когда фронт разреза прямолинеен и перпендикулярен к плоскости пластины. Сингулярная задача на основании принципа микроскопа ставится так требуется найти решение уравнений теории упругости в полосе z < /г/2 с разрезом вдоль у = О, л < О при всюду свободных от нагрузок границах (см. рис. П87). Поле на бесконечности задается суперпозицией формул (3.44), (3.45), (П.151). [c.590]

Если предположить, что V0 О, и принять условие для бесконечно малых деформаций (3.4), то внутренние параметры X, Р, для упругопластических материалов определяются задачей с начальными услрвиями для следующей системы дифференциальных уравнений [c.125]

В полярной системе координат положение любой точкп на плоскости определяется двумя величинами радиус-вектором г и полярным углом 0, отсчитываемым от начального радиус-вектора Го. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенною закона Гука. Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, алемент ub d (рис. 32). Для этого проведем радиус ОаЬ иод прои ш1) 1ьным углом 0 к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое приращение d0 и проведем радиус Ode. Произвольным радиусом Оа г проведем дуг ad, затем дадим радиусу г приращение аЬ dr и ироье- [c.86]

Уравнения (4.36) суть не что иное, как естественное обобщение на случай криволинейных координат определений (3.14). Величины fxii определяют деформированное состояние в криволинейном бесконечно малом параллелепипеде, который до деформации ограничен шестью поверхностями = onst, + da = onst. [c.108]

Рассмотрим равновесие бесконечно малого параллелепипеда после деформации подобно тому, как это делалось в 3.2, и обозначим внутренние силы, действующие на поверхность со сторонами Eg dx и Ej dx , через —(а + а ) Е dj dx . Силы, действующие на другие поверхности, определяются аналогично. Величины определенные таким образом, будут называться добаючными напряжениями. Тогда найдем, что уравнения равновесия и граничные условия для задачи с начальными напряжениям можно получить из уравнений (3.27) и ( .42), заменяя р . и fx на 0(0) р(0) X р>, и р(0) >. р соответственно. [c.128]

Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости Е на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Р. Саусвеллу Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Р. Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения и, v, w ) и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для и, у и w решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Р. Саусвелл нашел, что имеющееся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Р. Саусвелла. [c.258]

Величина Со, фигурирующая в волновом уравнении (П.37) и его решении (П.41) или (11.42), представляет собой скорость распространения волн упругой деформации, в данном случае волн сжатия (разрежения). Процесс распространения таких волн и составляет собственно понятие звук (или ультразвук), поэтому с,, есгь скорость звука ультразвука). Ее величина определяется по формуле (П.34) Со = V(Я /ро). являющейся точной только для бесконечно малых возмущений (звуковых волн бесконечно малой амплитуды). Учет нелинейности упругости для реальных волн конечной амплитуды приводит к поправке на величину скорости, однако, как мы увидим ниже, эта поправка невелика, так что скорость звука практически сохраняет постоянное значение в довольно бол1>шом диапазоне амплитуд, что подтверждается и прямыми экспериментами [9, 10]. [c.39]

Как уже отмечалось, применение закона, Гука к однородному изотропному упругому телу предполагает, что среда обладает одинаковой сопротивляемостью в любом направлении. Этим свойством в действительности обладают упругие тела, все три размер-ности которых имеют примерно одинаковый порядок, и то, вообще говоря, в достаточном отдалении от границы (к таким телам относятся, например, шар, куб, цилиндр конечных размеров и т. п.). В таких телах две одинаковые системы сил, действующие в разных направлениях, вызывают в каждом направлении деформацию одинакового характера. Это свойство, как правило, в случае тонких оболочек глобально не соблюдается. Простые эксперименты показывают, что степень сопротивляемости деформации тонких оболочек, обычно применяемых в технических конструкциях, в поперечном направлении явно слабее, чем в продольных направлениях. Например, всякое тонкое упругое тело сравнительно легко гнется и изгибается. Приложенные к таким телам продольные силы сжатия, если они по величине превосходят некоторое критическое значение, могут вызвать изгибания конечного порядка, хотя деформации в продольных направлениях остаются бесконечно малыми. В связи с этим следует заметить, что изгибные деформации часто осуществляются под действием продольных сил. Действие поперечных сил, очевидно, вызывает кроме изгибгяий также деформацию в продольных направлениях, но, как правило, бесконечно малые продольные растяжения и сжатия. Иначе говоря, тонкие упругие оболочки являются гораздо более гибкими относительно изгибаний и менее податливы растяжениям и сжатиям в продольных направлениях. Благодаря этому часто вовсе пре-небрегают последними и составляются уравнения, определяю- [c.153]

Исследование деформации упругих систем, как известно, заключается в составлении дифе-ренциального уравнения, характеризующего рассматриваемую деформацию, и затем в разыскании решения этого уравнения, удовлетворяющего известным граничным условиям рассматриваемой задачи. В то время как составление диференциальных ур-ий производится без особых затруднений помощью приложения к частным случаям общих выводов теории упругости, решение этих уравнений часто оказывается сопряженным с затруднениями чисто математич. характера, к-рые или не могут быть разрешены или приводят к результатам, мало пригодным для практич. использования вследствие слон -ности или отсутствия необходимой наглядности. Решение таким путем новых задач, могущих встретиться в инженерной практике, далеко выходя из рамок обычных расчетов и принимая характер научно-исследовательской работы, оказывается обычно невыполнимым в обстановке практической деятельности инженера. Применение метода потенциальной энергии, как известно, дает возможность более просто получить приближенное решение задачи, избегнув необходимости интегрирования соответствующего ей диференциального уравнения. Однако те же результаты, но гораздо проще, можно получить, и не прибегая к методу потенциальной энергии, а применив метод непосредственного интегрирования диференциального ур-ия помощью бесконечных рядов. Сущность этого метода заключается в том, что заранее задаемся подходящим видом искомой функции, входящей в диференциальное ур-ие рассматриваемой задачи, после чего, подставляя ее в это ур-ие, определяем входящие в нее неизвестные параметры. Под подходящим видом ф-ии в данном случае разумеется такой вид ее, при к-ром полностью удовлетворяются вытекающие для нее из условий задачи граничные условия и к-рый по возможности точно отвечает действительному виду этой ф-ии чем ближе к действительности окажется выбранный вид подходящей ф-ии, тем ббльшую точность будет иметь полученное решение. Т. к. любая из интересующих нас ф-ий м. б. представлена с любой точностью соответствующим тригонометрич. рядом Фурье, то, задаваясь подходящей ф-ией в виде такого ряда, будем получать в таком же общем виде и искомые решения задачи, к-рые затем м. б. вычислены с любой степенью точности. Получающееся таким путем общее решение очевидно представляет собой выраженную в виде ряда Фурье ф-ию, отве- [c.97]

Здесь функция релаксации Р(/) определяет напряженное состояние, отвечающее единичной ступеньке деформаций, а функция ползучести Ф t) — деформацию, соответствующую единичной ступеньке напряжения. Для конкретных материалов эти функции можно установить с помощью подходящих пружиннодемпферных моделей или определить экспериментально (см. работу Ли и Роджерса [232]). Уравнение (6.51), выраженное через функцию релаксации Ч (/), можно рассматривать как суперпозицию откликов напряжений на последовательность малых изменений деформации de t ) в моменты времени Аналогично уравнение (6.52) выражает суммарный отклик деформации на последовательность бесконечно малых ступенчатых приращений напряжения. [c.214]

Общая методика определения моделей поглощающих упругих сред, В работе автора (Ивакин, 1950) рассмотрены одномерные макроскопически сплошные однородные модели (бесконечные цепочки бесконечно малых механических четырехполюсников) некоторых пеидеально упругих однородных сред и выписаны (в одномерном случае) соответствующие уравнения движения. Полученные в 2 и 3 этой работы уравнения позволяют рассмотреть общую методику определения моделей поглощающих упругих сред, если для натуры задаются уравнения движения д связь напряжений и деформаций (условия однозначности). В этом случае модели должны описываться аналогичными уравнениями движения и другими уравнениями, которые определяют однозначное соответствие найденной модели и натуры. Сначала выпишем сравнения из работы автора (Ивакин, 1950). [c.215]

Модель [350] исходит из предположения о том, что дислокации, образованные внутри зерна, перемещаются в граничную зону скольжением [367]. Вдоль границы эти дислокации движутся, комбинируя скольжение и переползание. Скорость проскальзывания пропорциональна составляющей вектора Бюргерса, пЕфаллельной плоскости границы, и определяется переползанием, зависящим от объемной диффузии. Поскольку проскальзывания вызываются движением тех же дислокаций, скольжение которых ведет к деформации зерна, естественно ожидать линейной зависимости между деформацией, обусловленной проскальзыванием, и общей деформацией ползучести е. Такая зависимость, действительно, часто наблюдалась [341-344]. В работе [350] предполагалось также, что либо расстояние от дислокащи до границы- (рис. 14.11) очень мало, либо дислокация перемещается в плоскости границы. Расстояние между дислокациями а рис. 14.11) определяется условием равновесия поля напряжения дислокации и приложенного скалывающего напряжения а 1/т. Скорость неконсервативного движения дислокаций зависит от испускания и поглощения вакансий [368]. Внешнее напряжение определяет только равновесную концентрацию вакансий вблизи ядра дислокации. Путем использования уравнения для скорости переползания изолированной дислокации в бесконечном кристалле разд. 2.1.2) получено уравнение [350] для скорости деформации, вызываемой проскальзыванием [c.218]

W. Wallis h 12.212] (1956) исследовал влияние деформаций поперечного сдвига на свободные поперечные колебания пластин. Вводится поправочный коэффициент сдвига, характеризующий деформации сдвига компоненты вектора перемещений представляются в виде рядов по полиномам Бернулли. Задача приводится к решению бесконечной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Для круговой пластины при малых относительных толщинах /г/г определены асимптотические значения собственных частот. [c.165]

Данное трансцендентное уравнение является уравнением устойчивости упругой системы по МГЭ. Корни уравнения устойчивости определяют спектр критических сил, число которых (теоретически) бесконечно. Чтобы не пропустить первой критической силы, нужно начинать анализ поведения определителя (4.6) с достаточно малых значений сжимающих сил Г. Рекомендуется начальное значение Г выбирать из интервала (1/100 - 1/1000)Гть, где Гщь - минимальная критическая сила стержней основной системы метода перемещений. Шаг изменения сжимающей силы рекомендуется выбирать равным (1/100 - 1/1000) интервала, на котором выполняется поиск критических сил. Изменение знака определителя (4.6) или равенство его нулю свидетельствует о прохождении критической силы. Таким образом, методика определения критических сил не отличается от методики определения частот собственных колебаний упругих систем. Здесь можно использовать программы на языках ГоЛгап и Разса1 примеров №13, №14 с соответствующим изменением обозначений переменных. В рамках принятых допущений МГЭ позволяет определять точный спектр собственных значений (частот или критических сил). Однако, линеаризация дифференциальных уравнений и краевых условий, неучет деформаций [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...