Решение для двух планет

Решение для двух планет 439 [c.439]

Решение для двух планет. При помощи выражений (6) уравнения (5) могут быть записаны в следующем виде [c.439]

Решение для двух планет 441 [c.441]

Так как подавляющее большинство задач небесной механики не относится к интегрируемым в квадратурах, для их решения разработаны различные варианты метода последовательных приближений. В настоящей главе будут приведены основные формулы для вычисления возмущений координат в задаче о движении двух планет, причем ради определенности центральное тело будем называть Солнцем. Аналитические методы вычисления возмущений координат излагаются в [1]— 7]. [c.408]

Для периодических решений первого, второго и третьего сорта, так же как п для периодических решений второго рода, характерным является то, что они при д, = О (когда массы двух планет гП] — а]Ц, гпч — гМ- обращаются в нуль) вырождаются в кеплеровские орбиты (круговые или эллиптические), т. е. в вырожденном случае перигелии и узлы планетных орбит неподвижны. В связи с этим Пуанкаре ставит и решает новую задачу о периодических решениях в проблеме трех тел им доказано существование таких периодических решений, которые характеризуются существенным (но спонтанным) изменением долгот перигелиев и узлов, обусловленным взаимно близким прохождением планет. Такие периодические решения названы Пуанкаре решениями второго вида. [c.794]

Обобщение решения на любое число планет. Решение, полученное для системы, которая состоит из Солнца и двух планет, легко может быть обобщено на систему, состоящую из Солнца и произвольного числа планет. [c.442]

Приведенная масса. Ранее ( 13) рассматривались уравнения динамики системы материальных точек. При этом указывалось, что решение их встречает для многих точек непреодолимые математические трудности. Действительно, точного решения системы уравнений (13.3) для произвольных сил не найдено уже в случае трех материальных точек, поэтому важна задача о замкнутой системе двух точек, называемая задачей двух тел. Она имеет простое и исчерпывающее решение — сводится к основной задаче динамики одной материальной точки. Решение задачи двух тел используется в небесной механике, описывающей движение планет и их спутников в Солнечной системе, в задачах на столкновение частиц, в статистической физике и других вопросах. [c.142]

Понятие об эллиптических элементах. В 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость ху совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптическом случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца. [c.205]

Осадкообразование является одним из наиболее существенных механизмов перераспределения солнечной энергии по планете. Наблюдение за осадками (табл. 1.2) необходимо при решении геофизических задач различного уровня от предсказания локальных засух или наводнений, до формирования глобальных прогнозов изменения климата планеты. Особое внимание при этом уделяется тропическим ливням, что обусловлено их большим удельным весом в обш ем процессе осадкообразования до двух третей от общего количества осадков планеты приходится на тропические дожди. Кроме того, процессы осадкообразования существенным образом зависят от величины альбедо, для определения которого необходимо изучение состояния растительного покрова и влажности поверхности Земли (табл. 1.4). [c.34]

Сравнительная простота решения задачи п тел при описании движения планет (это достаточно сложная задача, изучением которой занимается небесная механика) связана с тем, что 1) масса одной точки - Солнца - в 1000 раз превосходит самую большую из остальных масс - Юпитер, 2) в процессе движения планеты не сближаются друг с другом. Оказывается, что при приближенном описании можно в правых частях уравнений движения к-й планеты учитывать только ее взаимодействие с Солнцем и пренебрегать влиянием на нее остальных планет. Тем самым в первом приближении задача сводится к задаче двух тел Солнце - планета, которую, как было отмечено, умеют решать аналитически. Так и делают. Но такое упрощение может дать лишь грубое описание движения. Для более точного решения задачи используют методы теории возмущений. В теории возмущений разработаны методы, с помощью которых последовательно уточняют решение задачи на ограниченных интервалах времени (порядка сотни лет). Сейчас мы можем предсказывать положение планет относительно Солнца с точностью порядка [c.49]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Можно сказать, что решение (2) является точным до первых степеней масс двух рассматриваемых планет. Эта степень точности достаточна для настоящей цели. Член в формуле (2) называется вековым неравенством. Конечно, функция R имеет сложный вид. и отыскание численного значения X является долгим и утомительным делом. Это же замечание можно сделать и о вековых неравенствах других элементов. Метод, предложенный впервые Гауссом ), дает возможность найти численное значение X без предварительного разложения возмущающей функции. Он требует лишь, чтобы для некоторых выбранных моментов времени были известны численные значения координат планеты Р (или какого-либо другого тела) и возмущающей планеты Я, в предположении, что оба тела движутся по эллипсам. Этот метод был использован во многих практических задачах. [c.285]

Попытка учесть влияние других небесных тел, в первую очередь Луны, приводит к знаменитой задаче трех тел, а также многих тел, для которых точное решение найти не удается. При рассмотрении подобных задач Лагранж, Лаплас, Пуассон, Гаусс сформулировали основные представления теории возмущений, разработали эффективные методы расчета орбит планет. Так при изучении задачи трех тел — системы Солнце — Земля — Луна в качестве невозмущенной выбрана задача двух тел для системы Солнце — Земля. В качестве малого параметра в возмущенной задаче использовалось отношение масс Луны и Земли. Широко известный в истории науки факт открытия на кончике пера планеты Нептун Дж. Адамсом и У. Леверье связан с использованием в расчетах теории возмущений. [c.31]

Решение задачи двух тел, кратко изложенное в 5.4 и далее, представляет одно из самых больших достижений ньютоновой механики. В указанном выше смысле эту задачу можно считать полностью решенной, т. е. мы можем определить положения частиц в любой момент времени, если известны координаты этих частиц и их скорости в момент t = Q. Что же касается задачи трех тел, то ее нельзя считать решенной в этом смысле. Однако для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с весьма высокой степенью точности. Небесные тела приближенно можно считать имеюш ими сферическую форму со сферически симметричным распределением массы взаимное притяжение таких тел таково же, как у частиц, расположенных в их центрах. Если в качестве трех тел рассматриваются Солнце и две планеты, то основным упрощающим условием является то, что массы и m2 планет малы по сравнению с массой М Солнца, так что членами третьего порядка относительно mjM и m lM обычно можно пренебречь. (Например, масса Земли составляет менее чем 1/300 ООО массы Солнца.) Если же рассматривается движение Солнца (М), планеты (т) и ее спутника ( i), то отношения тп1М и [i/M всегда малы и, кроме того, [i/m мало, хотя порядок малости последнего отношения и отличается от порядка малости ml М. (Например, масса Луны составляет около 1/80 массы Земли.) Другое обстоятельство, облегчающее построение приближенных решений, заключается в том, что эксцентриситет планетных орбит, как правило, весьма мал (для орбиты Земли он составляет приблизительно 1/60). [c.562]

Функциональный синтез и анализ траекторий в присутствии большого числа притягивающих центров следует начинать с годографического решения ограниченной задачи трех тел. Первый этап такого исследования должен быть связан с задачей двух неподвижных центров в двумерном пространстве с последующим распространением полученных результатов на трехмерное пространство и на ограниченную задачу трех тел путем последовательного годографического решения предыдущей задачи. Годографическое преобразование для двух неподвижных центров будет включать в себя отражение (помимо основных элементов преобразования подеры, геометрической инверсии и увеличения) для векторных пространств всех порядков. Можно ожидать, что такая последовательность работы приведет не только к аналитическим решениям и способам исследования задач, представляющих непосредственный интерес (полеты на Луну и к планетам), но также позволит по-новому осветить аналитическую связь между ньютоновой и релятивистской механиками. [c.86]

Суш ественно дополнены новыми задачами главы 1, 4, б, 7. В главу 1 введен новый раздел Космодинамика . Здесь собраны задачи, в которых вектор Лапласа используется для анализа коррекции траектории космического аппарата в пространстве и относительного движения в окрестности траектории космического аппарата. Приведено решение задачи о движении в космосе с малой тягой и задача о гравитационном ударе при облете планеты. Изложены решения задачи двух тел, упругого рассеяния частиц, ограниченная задача трех тел, рассмотрен вклад Луны в ускорение свободного падения. В главу б вошли задачи о движении маятника Пошехонова, гирокомпаса, кельтского камня, гироскопической стабилизации и пределе Роша. Раздел Электромеханика содержит 20 задач, в которых рассмотрены бесконтактные подвесы, космическая электростанция, униполярный генератор Фарадея, электромагнит, асинхронный двигатель, проводники во враш аюш емся магнитном поле, движение диэлектриков и парамагнетиков в неоднородном поле. [c.5]

Очевидно, что получение численного решения задачи о движении планетной системы в том виде, в котором она нам известна в настоящее время, является весьма трудоемким делом. Если ограничиться исследованием больших планет, то для вычисления эксцентриситетов их орбит нужно определить 1) девять значений корней g уравнения девятой степени [(6) 13.11], 2) значения 18 постоянных интегрирования iMij, s и 3) значения остальных коэффициентов (г Ф 1). Уравнения, определяющие наклонности, приводят к такой же вычислительной работе. В предыдущих параграфах были получены результаты в случае двух планет (Юпитер и Сатурн). В настоящее время известно полное решение для случая восьми планет, найденное Сто-куэллом ), когда Плутон еще не был открыт. Соответствующие основные результаты даны в приведенной ниже таблице, причем наклонности отнесены к неизменной плоскости планетной системы. Что касается эксцентриситетов, то значения корней g уравнения Д = 0 [c.281]

Известно, что планеты движутся вокруг Солнца по почти-эллиптическим орбитам, так как взаимное притяжение планет во много раз меньше, чем притяжение Солнца. Это приближение, сводящее задачу движения планет к задаче двух тел, служило основой для построения многих теорий движения планет. У кепле-ровской (опорной) орбиты элементы постоянны если теперь предположить, что вследствие взаимного гравитационного притяжения планет они изменяются, то для этих изменяющихся элементов можно составить дифференциальные уравнения. Выражения для элементов, получающиеся в результате решения уравнений (представляющие собой в общем случае длинные суммы синусоидальных, косинусоидальных и вековых членов), можно использовать для построения более точного приближения. Этот метод трудоемок, но на практике он быстро сходится, и более трех приближений приходится делать очень редко. Полученные таким образом аналитические выражения, справедливые на заданном интервале времени, называются общими возмущениями. Они позволяют нам сделать некоторые заключения о прошлом и будущем планетной системы, однако следует подчеркнуть, что указанным методом нельзя получить результаты, справедливые на любом, сколь угодно большом интервале времени. Метод общих возмущений применяется также к спутниковым системам, к орбитам астероидов, возмущаемым Юпитером, и к орбитам искусственных спутников. Этот метод является мощным инструментом астродинамики, поскольку в аналитических выражениях находят свое отражение различные возмущающие силы (например, влияние на спутник сплюснутости Земли). [c.129]

Для большинства спутников Землн торможение атмосферой приводит к вековым изменениям орбиты и обычно оказывается силой, в конечном счете отбирающей энергию у спутника, что приводит к его спиральному движению по направлению к Земле. Хотя вековые возмущения, вызванные атмосферным торможением, воздействуют на элементы (именно а н е), которые не изменяются вековым образом под действием гармоник поля тяготения Земли, использование двух отдельных теорий — одной для торможения, а другой для поля тяготения Земли — на практике пе дает удовлетворительного решения задачи. Необходимо разработать теорию, которая включала бы как эффекты сплюснутости, так и атмосферного торможения. В то же время, чтобы общая картина оставалась достаточно ясной, пренебрежем эффектами сплюснутости в этом разделе и предполож11м, что мы рассматриваем случай невращающейся сферической планеты, обладающей атмос( рой. [c.330]

Теория движения Луны. Движение Луны представляет одну из труднейших задач небесной механики. Особенность этой задачи состоит в том, что Луна является самым близким к Земле небесным телом и потому наблюдения дают координаты Луны с очень большой точностью, которая невозможна для спутников других планет. В теории движения Луны приходится в качестве первого приближения принимать не задачу двух тел (эллиптическое движение), а так называемую вырожденную задачу трех тел (задача Хилла). Решение задачи Хилла дает промежуточную орбиту, более близкую к реальному движению, чем кеплеровский эллипс. [c.7]

Из общих соображений ясно, что можно было организовать прямой полет КАК комете. Именно по такому пути пошли западноевропейские и японские ученые (соответственно автоматические зонды Джотто и Планета ). Советские ученые выбрали другой путь — путь использования одной автоматической станции для решения двух задач. Дело в том. что в декабре 1984 г. были осуществлены очередные запуски АМС для исследования Венеры. Никаких оснований отказываться от этих запусков не было, а создавать дополнительно новые станции для исследования кометы практически сложно и экономически невыгодно. В результате была поставлена и практически решена задача создания универсальной станции Вега . При ее разработке был полностью использован опыт и задел по АМС Венера . Это оказалось возможным в силу того, что АМС Венера по существу состоит из двух основных частей орбитального отсека (00), предназначенного для обеспечения фуиКци-овИрования АМС на межпланетной трассе, связи с Землей, проведения исследований в космосе и др., и спускаемого аппарата (СА). с помощью которого проводятся исследования в атмосфере и непосредственно на поверхности Веиеры. За 8...10 дней до подлета к планете АМС корректируется таким образом, чтобы траектория полета проходила через [c.82]

В первых двух случаях не требуется проведение активных маневров на гиперболической подлетной траектории. Основной задачей является определение вектора (пернгея гиперболы), удовлетворяющего решению поставленной задачи. Для осуществления посадки на планету необходимо соблюдение условия Гд < — для планет без атмосферы г < (Дцл в) — для планет с атмосферой, где — высота плотных слоев атмосферы. Мягкая посадка КА на планету без атмосферы возможна лишь с применением двигательной установки. Прн наличии атмосферы гашение энергии может быть осуществлено — Солнце 1 — ор-с помощью пассивного аэродинамическо- планеты старта [c.125]

Задача о движении естеств. спутников планет. 5) Проблема трёх тел — важная модельная задача о движении трёх взаимно тяготеющих материальных точек, напр. косм, аппарата в системе Земля — Луна или астероида в системе Солнце — Юпитер. Особый интерес представляет изучение равновесного движения к.-л. тела в полях тяготения двух других тел — определение св-в т. н. точек либрации , ввиду их перспективности для практики косм, полётов (см. Трёх тел задача). 6) Теория движения Луны — одна из сложных п до сих пор актуальных задач Н. м. 7) Проблема устойчивости Солн. системы. Постановка проблемы и первые результаты принадлежат франц. учёным П. Лапласу и Ж. Лагранжу. Достижения математики последних лет (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера) позволили существенно продвинуть решение классич. проблемы об устойчивости Солн. системы. В. И. Арнольдом получен след, результат большие полуоси орбит планет, их наклонения и эксцентриситеты вечно остаются вблизи исходных значений, если эксцентриситеты орбит и их наклонения малы (это условие выполняется), а периоды обращения несоизмеримы (условие не-резонансности движений в системе). Б реальной Солн. системе дело обстоит, скорее, наоборот резонансные соотношения между частотами, характеризующими орбит, движения тел Солн. системы, явл. правилом. 8) Резонансные проблемы небесной механики. Средние движения планет довольно точно удовлетворяют нек-рым резонансным соотношениям между частотами их обращения вокруг Солнца (наиб, известен резонанс 5 2 для Юпитера и Сатурна). Известны и резонансные соотношения между ср. движениями естеств. спутников планет. Осевое вращение Луны (и мн. других остеств. спутников планет) находится в соизмеримости 1 1 с орбит, движением осевое вращение Меркурия имеет с орбит, движением соизмеримость 3 2. Обилие подобных фактов (здесь перечислена лишь малая их часть) позволяет предположить, что тенденция к резонансным движениям в Н. м. есть объективная закономерность, к-рую можно использовать, напр., для стабилизации движения [c.447]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...