Одна теорема конечности

Одна теорема конечности. При дополнительных ограничениях на векторное поле конечность доказана. [c.112]

Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо одними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны п — 1 ее интегралов /j, Д . .., / i, которые находятся в инволюции и не содержат t, и функции Д, [c.314]

Теорема Эйлера — Даламбера. Рассмотрим теперь движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Докажем, что в этом случае имеет место теорема Эйлера — Даламбера Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно полечить одним только поворотом тела вокруг определенной оси, проходящей через эту точку и называемой осью конечного вращения. Доказывается эта теорема аналогично теореме и на стр. 102. Как известно, положение твердого тела в пространстве определяется положением любых трех его точек, не лежащих на одной прямой ( 7, п. 1). Если точка О тела неподвижна, то его положение определится положением любых двух других точек, не лежащих на одной прямой с точкой О. Опишем из неподвижной точки О тела, как из центра, сферу произвольного радиуса и на этой сфере возьмем две точки А Vi В (рис. 132) тогда положение тела можно определить положением дуги АВ большого круга рассматриваемой сферы. [c.132]

На основании теоремы импульсов по известным начальному и конечному состояниям системы можно судить о внешних силах, возникающих между этими состояниями, хотя неизвестен процесс перехода от одного состояния к другому. [c.59]

ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ [c.166]

Если одна из проекций главного вектора внешних сил является функцией только времени, то из соответствующего уравнения системы (1.47) можно найти первый интеграл дифференциальных уравнений движения материальной системы. Конечно, этот интеграл можно получить и на основании теоремы о движении центра инерции. [c.52]

Теорема о центре поворота для конечного перемещения плоской фигуры, в 71 мы убедились в том, что всякое перемещение плоской фигуры в своей плоскости можно себе представить как совокупность поступательного перемещения плоской фигуры, равного перемещению произвольно выбранной ее точки (полюса), и вращательного перемещения плоской фигуры вокруг этого полюса. Возникает вопрос, нельзя ли, используя произвольность в выборе полюса, осуществить заданное перемещение плоской фигуры только одним поворотом, без поступательного перемещения. [c.367]

На этот вопрос дает ответ следующая теорема о центре поворота для конечного перемещения плоской фигуры всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить одним поворотом около некоторой точки, называемой центром конечного враш,ения. [c.367]

Пусть точка М тела (на рис. 243 тело не показано) за этот промежуток времени переместилась в положение М , определяемое радиусом-вектором г . Пользуясь теоремой Эйлера — Даламбера, построим ось конечного вращения ОС, направление которой задано единичным вектором При этом перемещение тела из первого заданного положения во второе можно осуществить одним поворотом на угол Да вокруг оси ОС. [c.382]

Таким образом, мы приходим к следующей теореме если твердое тело одновременно участвует в двух вращательных движениях вокруг осей, пересекающихся в одной точке О, то составное движение тела будет мгновенным вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О, причем мгновенная угловая скорость этого вращения равна геометрической сумме составляющих угловых скоростей. Совершенно ясно, что если твердое тело одновременно участвует в любом конечном числе вращений вокруг мгновенных осей, пересекающихся в данной точке О, с угловыми скоростями ( 1, ша,. .., ш , то составное движение будет в данный момент также вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью [c.421]

Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной и конечной формах дает решение задач, относящихся к динамике системы, только тогда, когда внутренние силы наперед известны. Если же внутренние силы не известны, то получить решение с помощью одной только этой теоремы нельзя. [c.640]

Треугольник АОВ совмещается с треугольником А]ОВ путем поворота на угол ф вокруг точки О, называемой центром конечного поворота. Точка О есть след оси конечного поворота, перпендикулярной основной плоскости. Таким образом, отрезок АВ, определяющий плоскопараллельное движение тела, перемещается в любое новое положение путем одного вращения вокруг оси конечного поворота. Теорема доказана. [c.116]

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии решается как прямая, так и обратная задачи динамики. В дифференциальной форме теорема применяется для. того, чтобы найти по заданным силам ускорения точек системы (или наоборот), т. е. чтобы составить дифференциальные уравнения движения системы и интегрированием этих ураннений найти законы изменения скоростей и перемещений точек системы. Интегральная форма теоремы используется в тех случаях, когда при конечном перемещении системы заданы три из следующих четырех величин скорости, перемещения, силы, массы, а четвертая подлежит определению. Теорема чаще всего применяется для исследования движения механических систем с одной степенью свободы, т. е. систем, положение которых определяется одной координатой (линейной или угловой). Поэтому в данной главе мы будем рассматривать только такие системы. [c.226]

Теперь в порядке обоснования предположений А и В докажем справедливость формул (16.2) и (16.6), в которых А и определены формулами (16.1), а Q и — формулами (15.3) (в обоих случаях в качестве центра для вычисления моментов берем одну и ту же неподвижную точку Oj). Для доказательства применим теоремы о количестве движения и о моменте количества движения к мысленно выделенному из бесконечного объема SD конечному индивидуальному объему жидкости ограниченному подвижной поверхностью 2 и поверхностью 2п,- Имеем [c.203]

Живая сила системы. Теорема живых сил. — Если дана система материальных точек, то живая сила системы есть, по определению, сумма живых сил каждой из ее точек. Теорема живых сил для системы, так же как и для одной материальной точки, может быть сформулирована в дифференциальной или в конечной форме. [c.16]

В общем случае пространство конфигураций не имеет ничего общего с реальным физическим пространством. Однако пространство конфигураций одной частицы совпадает с физическим пространством. Различные траектории в пространстве конфигураций представляют собой траектории самой частицы, относящиеся к разным начальным условиям. Эти траектории могут также рассматриваться как линии тока так называемой идеальной жидкости , т. е. физической жидкости (необязательно несжимаемой), которая не обладает вязкостью и имеет постоянную температуру. На частицы такой жидкости действуют, конечно, силы со стороны окружающих частиц, но из гидродинамических уравнений Эйлера видно, что эти силы имеют потенциал и эквивалентны некоторой внешней моногенной силе. Следовательно, выполняются условия применимости принципа Гамильтона, и линии тока движущейся жидкости совпадают с линиями тока в пространстве конфигураций, к которым применима теорема о циркуляции. Мы получаем таким образом теорему Гельмгольца о циркуляции, которая утверждает, что [c.213]

Что касается точной формы, в которой эти новые физические гипотезы должны быть введены, то в этом отношении мы имеем некоторую свободу выбора. Согласно одному предположению, лк >бую часть материи можно рассматривать как состоящую из математических точек, находящихся одна от другой на конечном расстоянии, наделенных коэ-фициентами инерции, действующих одна на другую с силами, направленными вдоль прямых, их соединяющих и подчиненных закону равенства действия и противодействия 1). В случае твердого тела" предполагается, что эти силы таковы, что сохраняют неизменной общую конфигурацию системы. На основании этой гипотезы мы можем сразу применить теоремы о количестве движения системы и о моменте количеств движения системы, доказанные в предыдущей главе. Мы увидим, что эти теоремы достаточны для необходимого обоснования динамики твердого тела. [c.136]

Вращение около неподвижной точки. Теорема Эйлера. Перемещение твердого тела из одного заданного положения в другое может быть получено различными путями. В частности мы можем представить себе, что некоторая произвольная точка тела перемещается из своего первоначального положения в конечное О, причем все другие точки тела имеют простое поступательное движение и описывают прямолинейные параллельные траектории равной длины. [c.8]

Далее, мы можем представить себе, что две другие произвольные точки тела, не лежащие на одной прямой с точкою О, приводятся в свое конечное положение путем вращения тела около точки О. По теореме, доказанной Эйлером, это второе перемещение равносильно простому вращению вокруг некоторой оси, проходящей через точку О ). [c.8]

Предположим сперва, что заданы значения координат q , q , qm Для осуществления такой конфигурации приложены надлежащие силы соответствующих типов, причем силы X, X, X",... равны нулю. Задание этих сил можно рассматривать, как наложение определенной геометрической связи на систему. Координаты х. x l у", примут при этом определенные значения. Затем пусть будут приложены силы X, X, Л ",..., постепенно увеличивающиеся в одной и той же пропорции до тех пор, пока они не достигнут своих конечных значений, причем перемещения q , q ,. ..-qm остаются без изменения. Дополнительные изменения координат у/, у",..а следовательно, работа, совершенная этими силами при увеличении упругой энергии системы, будут, очевидно, одними и теми же, какова бы ни была частная конфигурация с наложенными связями, исходя из которой было начато движение. Мы имеем, таким образом, физическое доказательство теоремы, уже доказанной аналитически, что V можно разложить на сумму функции от q , q ,. ..,д и функции от X, X, X",. .. [c.220]

Это замечание имеет большую важность, если его связать с одним результатом анализа, известным под названием теоремы Фурье ), в силу которой какая угодно функция Q t), конечная, непрерывная [c.73]

С аналитической точки зрения эта теорема является только дру. гой формой теоремы о количестве движения, но по своему смыслу она более выразительна. В частности, для всякой системы она обнаруживает существование точки (внутренней), т. е. центра тяжести движение которой строго следует закону движения материальной точки тем самым оправдывается замена тела с конечными размерами простой материальной точкой не только в тех случаях, когда этими размерами можно пренебречь, но даже и тогда, когда размеры тела значительны, но достаточно принять во внимание движение только одной его точки. [c.258]

Отвлекаясь временно от этого последнего обстоятельства, заметим, что характер одно-однозначности соответствия обеспечивает на основании теоремы о единственности интеграла то, что для определения решения гамильтоновой системы достаточно будет фиксировать безразлично или начальные значения (т. е. значения в момент to), или конечные значения р, q (т. е. значения в момент t). [c.300]

Теорема Якоби позволяет свести интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) к нахождению полного интеграла уравнения (7) в частных производных. Вторая задача, конечно, не проще первой, а даже более сложна. Но оказывается, что метод Якоби является весьма эффективным среди существующих методов нахождения точных решений системы (1). Он также является одним из наиболее мощных методов приближенного интегрирования канонических уравнений. [c.359]

Приращение АУ на любом конечном интервале времени положительно это показывается совершенно аналогично тому, как показана отрицательность АУ в теореме предыдущего пункта. Далее, так как среди величин Л, есть хотя бы одна отрицательная, то в любой сколь угодно малой окрестности начала координат 2п-мерного пространства состояний qi Qi (i = 1, 2,..., п) существует область У > 0. Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным в п. 235 при доказательстве теоремы Четаева о неустойчивости. [c.538]

Доказанную теорему можно обобщить, допуская любое конечное число нулей функций A t) и i) на контуре Ь (в отличие от условий 2 и 3 теоремы). Это обобщение производится, как и в случав одной пары функций. [c.28]

Теорема. Два последовательных конечных винтовых перемещения на комплексные углы иФ относительно произвольных осей пространства с единичными винтами Ех и Е могут быть заменены одним эквивалентным результирующим винтовым перемещением. Ось, единичный винт которой обозначим через Е, и ком-90 [c.90]

Xi = n(D,). Утверждается, что группы гомологий i(Ai) накрывают почти всю группу Н (М), за исключением, быть может, элементов из Н (М), принадлежащих некоторому конечному множеству одномерных подгрупп. Это можно вывести из одной теоремы Е. В. Гайдукова (1966) для любого нетривиального класса свободно гомотопных путей на М существует геодезическая полутраектория y t), выходящая из точки х и асимптотически приближающаяся к некоторой замкнутой геодезической из данного гомотопического класса. Если скорость y(0) не является критической, то y(t) замкнута. Исключительные одномерные подгруппы в Л 1Л), о которых говорилось выше, порождаются как раз замкнутыми геодезическими, на которые наматываются не совпадающие с ними асимптотические полутраектории. Поскольку непрерывное отображение [c.266]

Теорема. — конечная неприводимая группа, порожденная отражениями, в том и только том случае, когда ее граф Кокстера изоморфен одному из следующих графов [c.128]

Эта теорема теории KAM есть, конечно, теорема теории возмущений. Ее существенная особенность состоит в том, что строящиеся в ней инвариантные кривые не образуют никакой области. Согласно одной теореме Биркгофа (см. [53]), в любой окрестности такой кривой расположены периодические траектории. В случае общего положения , т. е. функции V из всюду плотного подмножества второй категории, среди этих периодических траекторий имеются гиперболические траектории," сеператрисы которых пересекаются трансверсально. При этом образуются упоминавшиеся выше в 1 стохастические слои, лежащие между инвариантными кривыми теории KAM. Некоторая информация об этих слоях приводится в гл. 7, 2. [c.120]

Из этого следует, что к такой системе можно применять теоремы динамики системы постоянной массы. Доггустим, что в некоторый момент времени t одна точка конечной массы m t) движется с абсолютной скоростью гГ, а другая, элементарной массы dm(i), движется с абсолютной скоростью . В момент времени i -Ь di эти точки образуют одну точку массой m + dm, абсолютная скорость которой равна г + aH. При этом dm > О (в случае присоединения элементарной массы) и dm < О (при отделении ее от массы основной точкн). Количество двюкения системы [c.382]

В классической теории механизмов и машин раесмотрены механизмы с жесткими звеньями, обладающие одной степенью свободы. Такие механизмы имеют преимущественное раепространение и в настоящее время. Основные уравнения движения этих механизмов в конечной и дифференциальной форме вытекают из теоремы об изменении кинетической энергии. Эта теорема наряду с принци- [c.52]

Проведем через полюс А координатные оси Axyz, которые будут перемещаться вместе с полюсом поступательно (рис. 154, б). Тогда теорема Шаля, по существу, утверждает, что любое перемещение свободного тела по отношению к осям слагается из вращательного перемещения вокруг точки А по отношению к осям Ах у z и поступательного перемещения вместе с осями Ах у z по отношению к осям В 11 было показано, что в случае мгновенных перемещений такие два движения, слагаясь, дают мгновенное винтовое движение. Можно доказать, что аналогичный результат имеет место и для конечных перемещений. Поэтому теорема Шаля допускает еще следующую формулировку всякое перемещение свободного твердого тела может быть осуществлено одним винтовым движением около некоторой винтовой оси, называемой осью конечного винтового перемещения. [c.154]

В каком бы состояния — жидком или твердом, в виде чистого вещества или химического соединения — ни существовало вещество, энтропия его согласно тепловой теореме при Т 0 имеет одно и то же значение (если, конечно, вещество в каждом из этих состояний находится в термодинамическом равновесии). Так, например, при Т —>J[) энтропии любодо вещества в жидком и твердом состояниях будут равны, а энтропия смеси, состоящей из 1 кмоль вещества А и 1 кмоль вещества будет равна энтропии 1 кмоль их химического соединения А и В. [c.85]

I рода можно было бы, конечно, продолжить. Они существуют, например, и в жидкостях, где к таковым относится переход из -жидкой фазы в жидкокристаллическую. Характерные черты переходов II рода, наблюдающиеся во всех случаях, — непрерывность, -Я-образный характер температурных зависимостей вторых произ-гводных G, отсутствие температурных гистерезисов. Вследствие непрерывности этого перехода между симметрией более и менее симметричных фаз существует определенное соответствие пространственная группа одной из этих фаз должна быть подгруппой пространственной группы другой фазы (часть элементов симметрии исчезает при переходе в менее симметричную фазу). Доказана теорема о том, что фазовый переход II рода может существовать для всякого изменения структуры, связанного с уменьшением вдвое числа преобразований симметрии. При этом периоды элементарной ячейки могут меняться в несколько раз (2—4). [c.262]

ОТ Прежнего, так как в нем используются преимущества решений, развитых ранее только для аналитических фуикний. Дано подробное изложение новых решений для эллиптического отверстия, которые важны в современной механике разрушения (теории трещин). Исследование осесимметричных напряжений в главе 12 упрощено, и добавлены новые разделы, в которых более приближенный анализ случая разрезанного кольца как одного витка спиральной пружины заменен более точной теорией. В силу значительного роста приложений, например в ядерной энергетике, глава 13 Температурные напрям ения расширена за счет включения термоупругой теоремы взаимности и полученных из нее нескольких полезных результатов. Кроме того, исследование двумерных задач дополнено двумя заключительными параграфами, последний из которых устанавливает взаимосвязь двумерных задач термоупругости с комплексными потенциалами и методами Н. И. Мусхелишвили из главы 6, В главе 14, посвященной распространению волн, перестройка изложения придала больше значения основам трехмерной теории. Добавлено также решение для действия взрывного давления в сферической полости. Приложение, посвященное численно.му методу конечных разностей, включает пример использования ЭВМ для решения задачи с большим числом неизвестных. [c.13]

Если названную неподвижную точку принять за начало системы, связанной с телом, то перемещение твердого тела не вызовет смещения связанных с ним осей, а лишь изменит их ориентацию, Тогда согласно этой теореме систему осей, связанных с телом, можно в каждый момент времени t получить посредством одного поворота начальной системы осей (которая совпадает с неподвижной системой координат). Иначе говоря, операция, которую выражает матрица А, описывающая перемещение этого твердого тела, является вращением. Но характерной чертой вращения является то, что при этой операции не изменяется одно из направлений, именно направление оси вращения. Поэтому любой вектор, направленный вдоль оси вращения, должен в начальной и конечной системах координат иметь пропорциональные составляющие. Другое необходимое условие, характеризующее вращение, состоит в том, что величины преобразуемых векторов при этом не изменяются. Это условие автоматически обеспечивается условиями ортогональности и, следовательно, для доказательства теоремы Эйлера достаточно показать, что существует вектор R, имеющий одинаковые [c.136]

ПОМОЩИ теоремы живых сил необходимо исключить из предыдущего интеграла время и все свести к пространственным элементам. Минимум предыдущего интеграла надо понимать так, что когда даны начальное и конечное положения системы, то из всех воздюжных путей, ведущих из одного положения в другое, для действительно пробегаемого пути интеграл будет минимумом [c.298]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...