Вычисление с помощью разложений в ряды

Простое вычисление с помощью разложения в ряд показывает, что оба написанных выражения отличаются друг от друга только в членах третьего порядка (при вычислении следует иметь в виду, то изменение энтропии в разрыве есть величина третьего порядка малости, а в простой волне энтропия вообще постоянна). Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка звуковая волна с каждой стороны от образовавшегося в ней разрыва остается простой, причем на самом разрыве будет выполнено надлежащее граничное условие. В следующих же приближениях это уже не будет и.меть места, что связано с появлением отраженных от поверхности разрыва волн. [c.536]

Вычисление с помощью разложений в ряды [c.170]

Здесь, как и прежде, е — малое возмущение (в конце вычислений полагают, что е = 1). Резонансные гармоники возмущения можно выявить с помощью разложения в ряд по функциям Бесселя [c.100]

Разностные формулы для производных более высокого порядка выводятся с использованием полиномов высших порядков. Выражения, полученные при помощи полиномов порядков выше второго, уже не идентичны выражениям, полученным разложениями в ряды Тейлора, и в каждом случае ошибка аппроксимации должна проверяться при помощи разложения в ряд Тейлора. В вычислительной гидродинамике метод полиномиальной аппроксимации, как правило, применяется только для вычислений значений производных вблизи границ (см. разд. 3.3.2). [c.44]

Однако, к счастью для нас, матричные элементы очень быстро убывают, когда разность к — к делается достаточно большой. Поэтому можно оборвать сумму по к, оставив в ней только несколько сотен членов. В результате мы получим систему из нескольких сотен уравнений, которые с помощью вычислительной машины можно решить и найти несколько сотен неизвестных. Для каждого вектора к в зоне Бриллюэна существует своя система уравнений. Решив эти уравнения, мы бы получили несколько сотен значений энергии в первых нескольких сотнях зон. В принципе все эти вычисления можно было бы выполнить, и мы нашли бы энергетическую зонную структуру как функцию от к. Мы видим, что этот довольно простой в идейном отношении метод сопряжен с необычайно длинными численными расчетами. Другие методы, которые мы также обсудим, не проще этого, но обладают значительно лучшей сходимостью благодаря выбору в качестве базиса для разложения в ряд более подходящей системы функций. [c.98]

Переход от изображения (3-39) к оригиналу с помощью теоремы разложения приводит к решению для оригинала в виде бесконечного ряда. Вычисление функции W r, т) для малых времен процесса затруднительно ввиду необходимости брать несколько членов ряда. Поэтому найдем решение, пригодное для малых времен процесса теплопередачи. С этой целью преобразуем равенство (3-38) и представим его в виде [c.120]

Гидравлический показатель русла х может выражаться как в целых, так и в дробных величинах. Вычисление интеграла (XlV.17) при х, равном дробной величине, представляет значительные трудности и производится приближенно путем разложения подынтегральной функции в ряд с помощью простого алгебраического деления, а именно [c.290]

Методы, обсуждаемые в настоящей главе, основаны на представлении угловой зависимости потока нейтронов, т. е. зависимости Ф от направления й, в виде ряда по полной системе ортогональных функций (полиномы Лежандра в простых геометриях и сферические гармоники в общем случае). Эти разложения ограничиваются несколькими членами, что позволяет получить решаемые на практике уравнения. Пространственную зависимость потока нейтронов обычно получают не в виде непрерывных пространственных функций, а с помощью введения дискретной пространственной сетки и вычисления потока в узлах этой сетки. [c.100]

Решение уравнений (10.1) — (10.2) составляет задачу исключительной сложности, и общих рецептов здесь в настоящее время дать нельзя. В этом параграфе мы изложим простейший приближенный способ вычисления функций Грина [16], [17], основанный на разложении массового и поляризационного операторов в ряды по степеням константы связи с последующим улучшением сходимости с помощью группы перенормировки. (Предполагается, что с помощью введения той или иной системы единиц константа связи g сделана безразмерной.) Подчеркнем сразу же, что этот прием — даже при достаточно малой константе связи — имеет лишь ограниченную область применимости, ибо исключает из рассмотрения зависимости, не аналитические по g при >0 (важнейший пример задач последнего типа составляет теория [c.94]

Вычисление гармонических составляющих вращающего момента производится путем разложения последнего в ряд Фурье с помощью одного из способов практического гармонического ана-лиза К Обозначив период вращающего момента через Т, будем иметь в результате такого анализа [c.245]

Зная частные производные, можно путем интегрирования получить для каждого элемента длинные и сложные ряды. Вычисление значений элементов при помощи таких рядов требует значительного времени, особенно при высоких эксцентриситетах, когда в разложениях приходится учитывать большое число членов с высокими степенями е. [c.208]

Известные затруднения связаны с особенностью в системах (7) и (9) при г == О, что делает невозможными вычисления непосред-ствеипо в этой точке. Поэтому решение в малой окрестности г = О строится аналитически при помощи разложений в ряды. В случае тФО тройка липейно независимых решений, удовлетворяющих условиям м.(0) = у (0) = ш(0) = О, имеет вид [c.208]

Нам уже многое известно о структуре и термодинамических свойствах таких модельных систем, как текучая среда из твердых шаров. Эти сведения можно использовать в качестве отправного пункта при вычислении аналогичных характеристик реальных текучих сред с более сложными силами межатомного взаимодействия с помощью разложений в сходящиеся ряды. В этом состоит суть метода возмущений, предложенного Цванцигом [17]. [c.262]

В связи с этим обстоятельством в ряде случаев целесообразно использовать другие подходы к оценке точности результатов, полученных методами статистической линеаризации. В работе [85] предложен метод обобщенной статистической эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева—Эрмита случайных функций и позволяющий определить (в общем случае приближенно) высшие моменты этих функций в нелинейной системе. В этом методе искомые коэффициенты линеаризации вычисляются с помощью дополнительных коэффициентов, характеризующих разложение произвольных законов распределения вероятностей в ортонормиро-ванный ряд. В первом приближении закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента предполагается нормальным. Исходя из принятой гипотезы вычисляют моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитывают их для входа нелинейного элемента. По этим моментам восстанавливают плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятностей отлична от нормальной, то расчет повторяют уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. [c.157]

Трехмерная проблема Изинга не может быть решена точно даже в отсутствие магнитного поля. Однако в последние годы для решения проблемы были развиты численные методы, позволяющие получать чрезвычайно точные анпроксимации. Их идея состоит в вычислении коэффициентов разложений в ряды Тейлора, пригодных либо при высоких, либо при низких температурах. Эти коэффициенты получаются с помощью диаграммных методов, приводяш их к чрезвычайно сложным комбинаторным задачам. Прогресс в этой области был достигнут лишь благодаря использованию ЭВМ. В настоящее время во многих случаях приходится иметь дело с очень длинными рядами (в некоторых задачах они насчитывают от 30 до 80 членов). Затраты большого труда на вычисление таких длинных рядов не обусловлены просто прихотью. Оказывается, что коэффициенты в этих рядах принимают чрезвычайно нерегулярные значения если же ряды вообще сходятся, то они сходятся очень медленно. Чтобы дать представление об этом, приведем первые члены низкотемпературного разложения (по степеням и = е в ) намагниченности в нулевом поле для модели Изинга с d = 3 в случае гранецентрированной решетки (это разложение было получено Фишером в 1965 г.) [c.360]

При 1 = 0 из-за множителя возникает особенность. Поэтому следует ожидагь, что решения, получаемые разложением в ряд по 8 (так называемые кнудсеновские итерации, ибо то же самое получается методом итераций, если в качестве нулевого приближения выбрать свободномолекулярное решение), непригодны для малых скоростей молекул. Однако при вычислении моментов при помощи интегрирования функции распределения (см. (5.34)) вкладом медленных частиц обычно пренебрегают, по крайней мере в ограниченной области, поскольку и множитель компенсирует сингулярность. Это остается верным и в задачах с плоской двумерной симметрией, для которых соотношение (9.4) будет справедливо, если заменить 62 одномерной дельта-функцией, а — величиной проекции I на соответствующую плоскость. Если же задача обладает [c.311]

П. 1VI. Бородачевым и Ю. А. Мамтеевым [7] использован способ сведения парных уравнений к уравнению II рода. Оно решается численно, а затем проводится вычисление оригиналов. Приведен пример расчетов для случая приложения вращательного момента к абсолютно жесткому цилиндру, сцепленному с полупространством. В работе Ю. Д. Колыби-хина [20] аналогичная задача обобщена на случай ортотропного неоднородного полупространства с упругими постоянными, являющимися степенными функциями радиуса г и координаты 2 . Соответствующее уравнение Фредгольма решается с помощью разложения искомых функций в ряды по многочленам Якоби. [c.373]

Рассмотренные выше разложения в ряды, являющиеся основой дл5 любого расчета с помощью метода В, были получены Шёнбергом и Юнгом (1934, 1937) и использовались также Ша-лёном (см. ниже) для проверки результатов, вычисленных с помощью методов А и Б. В своей первой статье Шёнберг и Юнг приводят множители, входящие в главные члены, дающие поглощение и рассеяние, более чем для 100 значений т, соответствующих показателям преломления металлов Р1, Ре, Си, N1, А , Ли, 2п, Mg, А1, Ма, К (по отношению к вакууму) для ряда длин волн [c.315]

В выражении (3,34) корреляционный множитель вычисляется в пределе, когда число скачков становится бесконечным. Это представляется у.местныд для средней частоты прыжка, вычисленной прн помощи стационар1юй концеитрации вакансий вблизи примеси Среднее число скачков, приходящееся на вакансию, которое можно вычислить по формуле (3,70), очевидно, конечно. Это вызывает сомнение в правильности введения корреляционного множителя с помощью упомянутого соотношения, На такой вопрос можно ответить сравнением разложения в ряд для произвольного числа прыжков с аналогичным разложением, вычисляемым но формуле = [c.97]

После того как создана достаточно подробная качественная модель различных листов поверхности Ферми и произведена проверка этой модели по зависимости Р от ориентации в разных плоскостях вращения, модель должна быть задана в более точном количественном виде и должны быть определены ее параметры. Лучше всего, если поверхность может быть задана аналитическим выражением, з итывающим симметрию кристалла и содержащим только несколько параметров, которые находятся эмпирически При подгонке этого выражения к экспериментальным данным по частотам. Задать поверхность таким образом оказывается возможным только для нескольких металлов (например, с помощью разложения по кубическим гармоникам для щелочных металлов, разлоясения в ряды Фурье для благородных металлов или аппроксимации эллипсоидами в случае Ы). Преимущество такого способа заключается в том, что он дает простое объективное описание поверхности, не связанное с какой бы то ни было теорией зонной структуры. Правда, в последние годы расчеты зонных структур становятся эсе более надежными и возможен также иной подход (в некоторых случаях единственно применимый) — сопоставление измеренных значений Р с предсказаниями параметризованного расчета зонной структуры, параметры которого [например, фазовые сдвиги и энергия Ферми в методе Корринги — Кона — Ростокера (ККР) или набор коэффициентов псевдопотенциала] используются как подгоно ые при аппроксимации экспериментальных данных. Этот подход требует более сложных вычислений, так как переход к -спектру от принятых [c.225]

Пример 2. Расчет магнитной цепи явиопОлюсной синхронной машины в системе координат [d, q требует вычисления ряда коэффициентов, учитывающих разложение магнитного поля на оси d, q, конфигурацию воздушного зазора и конструктивные различия обмоток статора и ротора (распределенная и сосредоточенная). [69]. Достаточно точное определение этих коэффициентов является трудоемким и ведется с помощью громоздких уравнений и расчетных кривых. [c.99]

Для фактического определения произвольных постоянных в (1.12) используются различные подходы. В ряде работ [203, 234, 2881 применяется способ коллокации при выполнении граничных условий. В работах [244, 281, 282J применяется вариационный подход или способ разложения однородных решений в ряды по полным ортогональным системам [3, 91]. Во всех подходах получающиеся системы алгебраических уравнений требуют довольно громоздких вычислений их коэффициентов. Исключением при этом является краевая задача (1.3). При ее решении произвольные постоянные в (1.12) определяются явно с помощью соотношений обобщенной ортогональности [56, 140]. [c.162]

Здесь мы сталкиваемся с задачей вычисления при помощи характеристических функщ1й прибора К. Для того чтобы упростить вычисления, полезно сравнить с параметрами р ид луча К отдельные величины, входящие в выражение для В частности, если разложить смешанную характеристику прибора К по степеням р и д, то получим ряд IV = 4 4 где — полином степени 2п относительно р и д. Из-за аксиальной симметрии в разложении отсутствуют нечетные члены. Слагаемое соответствует параксиальной оптике, а аберрации оказываются членами не менее чем четвертого порядка. Этот факт можно сформулировать так в аберрации вносят вклад члены IV порядка (9(4). Аналогично говорят, что [510 ] имеет порядок 0(3) и т. д. (рис. 2.36). [c.144]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

Если теперь определять с помощью итерационного разложения p k, а) в некоторой точке, например а = =Л, то всегда А< п+ )т, если п достаточно велико. Начиная с этого значения, каждый дальнейший член итерацирнного разложения обращается в нуль и бесконечный ряд в действительно ти обрывается. При этом точка, где он обрывается, зависит, однако, от величины А. Данное обстоятельство несколько охлаждает первоначальный энтузиазм, поскольку при вычислении g k,x) необходимы все значения p(k,a) в области т<а<оо. Тем не менее установленное обстоятельство оказывается полезным при выяснении свойств f k), где f k)=f l, k) при A,= V2 или /=0. [c.76]

В П. 2.5а описаны основы метода Ли, который затем используется для получения степенных разложений Депри (п. 2.56). В качестве иллюстрации получены поправки второго порядка к гамильтониану маятника. С помощью модификации метода Ли в п. 2.5в рассмотрены ряды для адиабатических инвариантов и их приложение к вычислению инварианта второго порядка изменяющегося во времени гармонического осциллятора, а также средней силы, действующей на заряженную частицу в поле электростатической волны. В заключение кратко описана методика Мак-Намары [290 ] получения адиабатических инвариантов высших порядков. В качестве примера рассмотрен резонанс волна—частица. [c.148]

Как было отмечено в 5.4, большое нретшуш ество компактного представления типа метода когерентного потенциала пли его обобпцеиий состоит в возможности выявить многие типы сложного аналитического поведения плотности состояний путем решения лишь небольшого числа алгебраических или интегральных уравнений. С другой стороны, просто обрывая ряды, возникаюш ие при разложении исходных уравнений, этого добх ться не удается приходится суммировать ту или иную бесконечную подпоследовательность слагаемых, как в уравнении Дайсона. Хотя для вычисления многих таких сумм моншо использовать диаграммную технику, здесь все же приходится руководствоваться теми же феноменологическими соображениями, которые непосредственно используются в компактных уравнениях. Например, при обобш,ении метода когерентного потенциала сразу видно, что главную роль играет взаимодействие между соседними узлами в решетке (т. е. узлами, лежаш,ими в пределах данного кластера), а формально образованные с помощью графиков парные слагаемые, отвечающие более удаленным узлам, дают лишь пренебрежимо малый вклад. По этой причине использование граничных условий Бете ( 11.4), позволяющих расширить кластер без резкого его обрыва, приводит к очень хорошим результатам [40]. [c.403]

Рассматривается комплекс вопросов о физическом поведении магнитных систем, опирающийся на представление статистической суммы континуальным интегралом. С помощью тождества Хаббарда — Стратоновича дается вывод точных представлений статистической суммы для моделей Изинга, Гейзенберга и Хаббарда в виде континуальных интегралов по флуктуирующим полям. Указана связь разложений подынтегральных выражений по флуктуирующим полям с рядами теории возмущений и диаграммной техникой. Для температур, близких к точке фазового перехода, проведено приближенное вычисление континуальных интегралов, позволяющее получить функционалы Гинзбурга — Ландау для перечисленных моделей. [c.109]

Процесс вычисления возмущений при помощи метода механических квадратур по сравнению с процессом, в котором употребляется разложение пертурбационной функции, имеет свои преимущества и недостатки. Преимущества — что в применении механических квадратур нет необходимости выражать возмущающие силы явным образом через элементы и время. Это иногяа имеет большое значение, так как в случаях, когда аксцентриситеты и наклонности велики, как в орбитах некоторых астероидов, эти выражения, являющиеся рядами, очень медленно сходятся и в случае орбит, эксцентриситеты которых превосходят 0,6627, или в случае, если радиус какой-либо одной орбиты равен какому-либо радиусу другой, ряды расходятся и не могут быть употреблены. Метод механических квадратур одинаково применим ко всем видам орбит единственное ограничение в том, что интервалы должны быть взяты достаточно короткими. [c.372]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...