Представление статистической суммы

В диагональном представлении статистическая сумма (1.3.59) записывается в виде [c.59]

Представление статистической суммы и функций Грина. Уже [c.109]

Как мы знаем, диаграммы типа (2.40) важны для описания систем вблизи точки фазового перехода, поэтому представление статистической суммы в виде континуального интеграла с последующим приближенным преобразованием его особенно эффективно для статистической механики систем вблизи фазового перехода. В следующих параграфах этой главы будут рассмотрены фундаментальные вопросы теории фазовых переходов в простейших модельных системах с использованием статистических сумм в виде континуальных интегралов. [c.114]

Представление статистической суммы. Перейдем теперь к коллективизированной модели ферромагнетизма — модели Хаббарда. Модель описывается гамильтонианом Ж = Жо + Жщг, в котором Жо представляет собой энергию электронов [c.128]

Представление статистической суммы в виде (15.35) — (15.37) проясняет физический смысл термодинамических состояний системы, однако оно неудобно для практических вычислений. В дальнейшем мы будем исходить из выражения (15.33), в котором будет проводиться интегрирование по переменным Ф, отвечающим коротковолновым флуктуациям, и будет получен эффективный гамильтониан, содержащий химический потенциал. По этой причине удобно обобщить выражение (15.33), включив в него дополнительный член [c.170]

Задача 27. По аналогии с интегральным представлением статистической суммы 2, использованным нами в 4 основного текста, большую статистическую сумму тоже можно представить в виде аналогичного интеграла [c.110]

Квантовая статистическая сумма (13.11), представляющая собой шпур статистического оператора = Sp (Р= 1/0), как было отмечено, не зависит от квантового представления и поэтому может быть вычислена в произвольном представлении. Таким образом, нам не обязательно решать уравнение Шредингера и определять энергетический спектр системы. В рассматриваемом случае расчет производится в общем виде для произвольного гамильтониана вида [c.222]

Очевидно, что статистическая сумма (13.31) представляет собой нормировочную постоянную = в выражении (13.32), т. е. равна интегралу по фазовому пространству от ненормированной матрицы плотности p=Z[fp в смешанном представлении. [c.223]

Кроме этих прагматических соображений, есть и другое, гораздо более глубокое обоснование целесообразности разработки метода функций распределения. Метод статистических сумм, хотя он и весьма изящен, является совершенно замкнутым. При выводе выражений с помощью статистической суммы используется определенная функциональная форма равновесного ансамбля. Невозможно определить, скажем, неравновесную статистическую сумму. Напротив, представление о частичных функциях распределения применимо как для равновесных, так и для неравновесных систем. Следовательно, это единственная универсальная формулировка, устанавливающая связь между равновесной и неравновесной теориями. В развитии такой универсальной теории должна заключаться и заключается основная цель современной статистической механики. [c.255]

И новое представление для статистической суммы [c.316]

Можно вычислить температуру, при которой колебательная система переходит в такое состояние, когда число степеней свободы оказывается недостаточным для термодинамического описания. Такой расчет был выполнен в 1921 г. Планком [1] и независимо от него Шефером [2]. Планк определяет температуру, при которой нарушаются обычные представления, как такую температуру, при которой уже нельзя заменять статистическую сумму статистическим интегралом , и приходит к выводу, что [c.280]

Рассмотрим систему N тождественных частиц в объеме V. Пусть гамильтониан Н системы имеет форму (14.1), но только входящие в него величины надо понимать как операторы. В координатном представлении ру = — гAV , а потенциал Vlj, зависящий от аргумента г,- — Tj, имеет вид, показанный на фиг. 95. Статистическая сумма выражается формулой [c.332]

Рис. 13.5. Графическое представление обобщенного соотношения звезда — треугольник (13.3.6) статистические суммы двух графов равны соответственно правой и левой частям соотношения.

Рассмотрим выражение для статистической суммы в представлении взаимодействия [c.110]

Эти соотношения следуют из общего выражения (10.3) статистической суммы системы спинов во внешнем неоднородном поле Ь. Тильда над оператором, как и раньше, означает гейзенберговское представление с полным гамильтонианом Ж Поскольку выражение (10.10) для ( Ь) включает внешнее поле Ь через величину 2о(1А + Ь), то имеют место следующие представления для намагниченности и функций Грина [38] [c.112]

Первый член описывает флуктуации типа Орнштейна — Цернике, а второй учитывает взаимодействие между ними. Соответствуюш,ая длинноволновым флуктуациям часть статистической суммы (11.8) в представлении Фурье записывается в виде континуального интеграла (мы сохранили обозначение этой части такое же, как и для полной статистической суммы) [c.118]

Проследим, откуда появляется статистика Больцмана с точки зрения микроскопических представлений, какие пункты наших рассуждений существенны для появления классической или одной из квантовых статистик. Вернемся к формулам для статистической суммы и ее квазиклассического предела [c.146]

Предполагается, что частицы различимы. Найти г-представление (Ги. . ., — ...,г м) матрицы плотности ех р — этой системы. Показать, что в пределе й—>0 статистическая сумма 8р (ехр ( —Р )) совпадает с классическим значением [c.158]

В заключение отметим некоторые общие особенности рассмотренного выше подхода. Прежде всего, в отличие от материала, который излагался в предыдущих главах, теория, краткий обзор которой мы сделали выше, являясь равновесной, не вытекает сама собой из метода Гиббса (мы использовали лишь общие представления о статистической сумме и т. п.), поэтому она и названа полуфеноменологической. Эта теория включает достаточное число предположений. Мы отмечали это на каждом этапе ее последовательного обобщения. В теоретической физике апелляция к естественности интуитивных предположений всегда была делом достаточно спорным. Оформить же математически какую-ли-бо идею, придать ей надлежащий лоск — это уже дело техники (особенно в наш век всеобщей компьютеризации). Теория в отличие от микроскопической определяет не сами физические характеристики (например, теплоемкость v= v(Q, v)), а лишь их [c.712]

Представления о движении молекул в жидкости, высказанные впервые Френкелем [1], находят применение в ячеечных теориях жидкости. Сумма по состояниям рассчитывается для модели, согласно которой каждая частица в жидкости движется в некоторой ячейке, созданной ближайшими к ней другими молекулами. Возможны другие модификации этой модели учет корреляции в движении молекул в разных ячейках, учет свободных мест в решетке, в основном в ближней координационной сфере, различные способы расчета самосогласованного поля, действующего на молекулу в ячейке. Однако существующие ячеечные теории не дают надежного способа расчета структуры жидкости, т. е. радиальной функции распределения на основе знания лишь молекулярных сил и общих принципов статистической механики. Имеющиеся способы расчета функции р(г) в рамках теории ячеек основаны на предположении, что в жидкости сохраняется кристаллическая решетка твердого тела. [c.87]

Рассматривается комплекс вопросов о физическом поведении магнитных систем, опирающийся на представление статистической суммы континуальным интегралом. С помощью тождества Хаббарда — Стратоновича дается вывод точных представлений статистической суммы для моделей Изинга, Гейзенберга и Хаббарда в виде континуальных интегралов по флуктуирующим полям. Указана связь разложений подынтегральных выражений по флуктуирующим полям с рядами теории возмущений и диаграммной техникой. Для температур, близких к точке фазового перехода, проведено приближенное вычисление континуальных интегралов, позволяющее получить функционалы Гинзбурга — Ландау для перечисленных моделей. [c.109]

Представление о коллективной энтропии можно получить, рассматривая два предельных случая поведения п молекул в объеме-F 1) свободное движение по всему сосуду подобно разреженному газу и 2) колебания около равновесных положений кристаллической решетки. Статистическая сумма пропорциональна в первом случае F Vw , а во втором случае (F/и) . Легко показать, разлагая IniVt по формуле Стирлинга, что молекулы газа обладают дополнительной коллективной энтропией пк- , отсутствующей у молекул кристалла. Для жидкости, занимающей промежуточное состояние, коллективную энтропию оценить не удается. Таким образом, включение в рассмотрение жидкой капли порождает новые трудно разрешимые проблемы. [c.61]

В гл. 5 термодзшамические характеристики идеальных систем были получены методом статистической суммы. Этот метод, однако, дает неполную картину микроскопических свойств идеальных систем. Проиллюстрируем теперь представления, обсуждавшиеся в разд. 7.1, 7.2, обращаясь к этому особенно простому случаю. [c.264]

В ЯМР понятие спиновой температуры было введено X. Казимиром и Ф. дю-Пре при термодинамическом описании экспериментов К. Гор-тера по парамагнитной релаксации. В твёрдых телах ядерные спины связаны друг с другом дипольными магнитными взаимодействиями гораздо сильнее, чем с решёткой. Понятие спиновой температуры предполагает, что спины находятся в состоянии внутреннего равновесия, достигнутого за время поперечной релаксации Г2, существенно более короткого, чем время спин-решёточной релаксации Т, и что это состояние равновесия может быть описано внутренней температурой отличной от температуры решётки Г. Существенный вклад в развитие представления о спиновой температуре внёс Дж. Ван-Флек, обративший внимание на то важное обстоятельство, что разложение статистической суммы Z по степеням обратной температуры 1/Т позволяет найти Z без вычислений собственных значений энергии и собственных функций гамильтониана. Первым, кто активно использовал это обстоятельство, был, безусловно, И. Валлер. Итак, зная статистическую сумму состояний ] с энергией каждого из них при температуре резервуара Т [c.168]

Ясно, что при температурах, отличных от О К, вариационный метод Мак-Миллана становится непригодным, так как возникает необходимость учета возбужденных состояний. Используя представление квантовой статистической суммы в виде интеграла Винера. Фосдик [30] разработал для ее расчета формальное построение более общего метода Мопте-Карло, однако изложение этого метода увело бы нас слишком далеко в сторону. Здесь достаточно отметить, что метод представляет большой теоретический и практический интерес, по в настоящее время его использование сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Пока самой сложной задачей, для [c.319]

Поскольку все операторы 82(К) оммутируютмежду собой, гамильтониан оказывается диагональным в представлении, в котором диагонален каждый отдельный оператор 8г(К)1 т. е. известны все собственные функции и собственные значения гамильтониана. Несмотря на это, вычисление статистической суммы остается чрезвычайно трудной задачей. Однако высокотемпературное разложение получается очень легко и может быть проведено с точностью до членов более высокого порядка, чем в модели Гейзенберга исчезают и значительные трудности, связанные с низкотемпературным разложением (к сожалению, вместе с блоховским законом Г /з). [c.327]

За неимением точной формулы для статистической суммы сколько-нибудь реальной трехмерной модели нам приходится выбирать менеду приближенным компактным представлением (см. 5.4) и разложением в степенной ряд. Сумма конечного числа членов такого ряда всегда ведет себя вполне регулярным образом, но ее нетрудно экстраполировать к сумме бесконечного ряда, расходимость которого указывает на возможность фазового перехода. Этот силовой прием в дальнейшем был превращен в изящный аппарат (см., например, [1.28], [1, т. 3, 59, 60]), позволяющий получать важные сведения о таких нерешенных проблемах, как переход порядок — беспорядок в трехмерной модели Изинга. Представление коэффициентов ряда в виде комбинаторных мно- [c.223]

Однако представление л Урселла — Майера (см., например,,. [24, 4.5]) дает более компактные разложения. В этом представлении больцмановский множитель в статистической сумме записывается так же, как и в формуле (5.175) [c.265]

Излагается флуктуационная теория фазовых переходов на основе метода ренорм-группы и 8-разложения. Для л-компонентной векторной модели, частным случаем которой является модель Гейзенберга, вычислены критические индексы корреляционной длины V и г с точностью второго порядка по параметру 8. Показано также, каким образом при использовании представления континуальным интегралом статистической суммы для модели Хаббарда удается описать флуктуационные эффекты в коллективизированных моделях магнетизма. [c.109]

Уравнения (1.3), (1.4) для идеального газа легко получить из молекулярно-кинетических представлений, даже не прибегая к общим статистическим методам. Так, закон (1.4) непосредс]-венно следует из того, что для системы из невзаимодействующих частиц (идеальный газ) внутренняя энергия равна (в среднем) сумме кинетических энергий этих частиц, которая не зависит от объема, занимаемого газом при данной температуре. [c.31]

Рассмотрим неселективную (серую) лучеослабляющую среду, коэффициент ослабления которой k равен сумме коэффициента поглощения а и рассеяния р (А = а-ьр). Ослабление лучистой энергии при прохождении через среду происходит вследствие поглощения и рассеяния фотонов частицами среды (молекулами, ионами, частицами взвеси и пр.). Феноменологическая Характеристика среды —коэффициент ослабления k с точки зрения квлнтово-статистических представлений определяется выражением [c.115]

МАЙЕРА ДИАГРАММЫ в статистической ф ид и к е — способ наглядного представления разложения конфигурац. интеграла для классич. неидеального газа по степени плотности. Статистич. сумму газа, состоящего из N молекул, можно представить в след, виде [c.27]

В формуле (2.50) обобщенный нагрузочный режим представлен в виде сумм плотностей распределений элементарных нагрузочных режимов frif, (s) и foift. (s), определяемых путем обработки статистических данных дорожных испытаний автомобилей или аналитически. [c.75]

Одним из самых распространенных методов определения эффективных характеристик среды является метод теории случайных функций. В качестве модели, адекватной широкому классу композиционных материалов, является представление материальных тензоров как случайных макрооднородных полей. В этом методе тензор модулей упругости считается случайной функцией, представимой в виде суммы статистически среднего тензора модулей упрут ости и тензора, описывающего флуктуационные добавки. Принимается гипотеза эргодичности среднее по объему совпадает со средним статистическим. Допущение о малости флук— 1уаций позволяет пренебречь корреляционными функциями высших порядков и получить выражения для эффективных характеристик в корреляционном приближении, предложенном впервые в работе [33]. [c.19]

Кроме этих вопросов, связанных с теорией кривых распределения, по поводу осадков возникает ряд вопросов совершенно иного порядка, связанных с теорией изменяемости (по старой терминологии — с теорией устойчивости) статистических рядов. Задача ставится следующим образом можно ли считать, что изменения сумм осадков, годичных или за определенную часть года, происходят во времени около постоянного уровня, графически представляемого прямой горизонтальной линией, или же в этих изменениях есть систематические тенденции векового или периодического характера (к первым практически можно отнести также волны очень длительных периодов). Работы многочисленных авторов приводят к мысли, что периодические, по крайней мере, изменения осадков действительно имеют место. Строгое разрешение этой проблемы представляет значительные методологические трудности и требует большой вычислительной работы. Наши еш е незаконченные попытки подойти к этому вопросу с точки зрения косвенного метода определения изменяемости статистических рядов , изобретенного Б.С. Ястремским, приводят к представлению о возможности некоторой слабой эволюции осадков, с одной стороны, и зигзагообразных изменений осадков во времени — с другой. [c.48]

Следовательно, в случае статистической независимости фаз ф полная интенсивность может быть представлена в виде суммы интенсивностей отдельных мод. На рис. 2.23 показана временная структура такого многомодового излучения внутри лазерного резонатора. В частотном представлении излучение состоит из большого числа дискретных спектральных линий, частотное расстояние между которыми равно /2L. Каждая мода осциллирует независимо от других, и фазы распределены стохастически в интервале от —я до я. Во временном представлении поле [c.91]

Из примера, данного в статье (лекции 9—11), ясно, что Р-представление оператора плотности можно с успехом использовать для описания весьма широкого класса полей, однако до сих пор этот вопрос до конца детально не исследован. Сударшан ) указывал в короткой заметке, что диагональное представление оператора плотности с помощью когерентных состояний можно использовать для представления произвольного поля. Он дал точное выражение для весовой функции такого представления в виде неограниченной суммы производных произвольно высокого порядка от б-функции. Он указал, что при такой записи оператора плотности описание статистических состояний квантовомеханической системы... полностью эквивалентно описанию с помощью классических распределений вероятности . [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...