Случай отсутствия координат

Случай отсутствия координат. Во многих случаях малых колебаний около состояния установившегося движения и в некоторых других задачах функция Лагранжа не содержит некоторых координат 0, ф,. .., хотя является функцией их производных 0, ф, . .. в то же самое время она может содержать другие координаты I, т),. .. так же, как и их производные 5, т), . .. Когда это имеет место, уравнения Лагранжа для 9, ф,. .. принимают вид [c.363]

В этом параграфе докажем существование нормальных (главных) координат, ограничившись случаем отсутствия кратных корней уравнения частот. [c.243]

При использовании в плоской задаче полярных координат гО уравнения равновесия имеют вид (случай отсутствия объемных сил) [c.54]

Пусть известны напряжения и деформации в теле в к-м состоянии и в этом состоянии в теле образуются одна или несколько полостей, вследствие чего тело переходит в п-е состояние. В случае, если задана граница полости (полостей) после деформирования, будем решать задачу в координатах текущего (п-го) состояния, а если задана граница полости до деформирования, вызванного ее образованием, то будем решать задачу в координатах к-го состояния (промежуточного состояния, предшествующего текущему). Рассмотрим сначала постановку задачи в координатах к-го состояния. Запишем уравнения и граничные условия краевой задачи для случая отсутствия массовых сил и заданного давления на граничной поверхности. [c.39]

Выходной зрачок системы предполагается круглым (случай отсутствия виньетирования) поэтому кроме использования в качестве аргументов апертурных углов и а , рас- / j / - s полагаемых по прямоугольной си- / / стеме координат, будем пользоваться / МУ также и системой полярных координат — радиус-вектором а и углом [c.113]

При рассмотрении течений, инвариантных относительно преобразований (18) и (180, удобно пользоваться полярными (г, б) и сферическими (г, 0, ф) координатами. Пусть Иг и и — соответствующие радиальная и трансверсальная составляющие скорости. Мы рассмотрим лишь случай = О, т. е. случай отсутствия циркуляции в стационарном (безвихревом) плоском и осесимметричном течении. [c.168]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

ТОЛЬКО нормальные, но также и касательные напряжения. Рис. 23 показывает, например, случай, в котором в функции (в) равны пулю все коэффициенты, кроме Ь . Вдоль краев у=-- с имеем разно-мерно распределенные растягивающие и сжимающие напряжения, а также касательные напряжения, пропорциональные координате х. На краю х = / действует только одно постоянное касательное напряжение —b l, а на краю > = 0 напряжения отсутствуют. Аналогичное распределение напряжений получается в том случае, если принять отличным от нуля коэффициент с . Взяв функцию напряжений в виде полиномов второй или третьей степени, мы не накладываем никаких ограничений на выбор величин коэффициентов, поскольку уравнение (а) удовлет- [c.54]

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для упругой жидкости. Оно справедливо для того случая, когда техническая работа не совершается, т. е. при рассмотрении потока в системе координат О (рис. 14.2) при отсутствии внутренних источников работы. [c.202]

Поскольку Qk отсутствует в частной производной р. = = dL dqk, а qk в ней присутствует, из (5.4.3) можно выразить qk через нециклические координаты и скорости. Для упрощения изложения ограничимся случаем одной циклической координаты обобщение на случай любого их количества является очевидным. [c.152]

Тем не менее, может случиться, что в одном или нескольких условных уравнениях отсутствуют члены первого измерения это может, например, случиться, когда в уравнении L = 0 значения координат для равновесия таковы, что они обращают в нуль не только L, но и каждый из первых его дифференциалов в самом деле, тогда мы имеем [c.459]

Численное или графическое интегрирование уравнений равновесия в декартовых координатах. Этот метод основан на интегрировании дифференциальных уравнений равновесия [1], которые для случая плоского напряженного состояния при отсутствии объемных сил записываются в виде [c.208]

Наиболее сложной задачей является регулирование траектории движения. Следует различать два случая управления траекторией при отсутствии функциональной зависимости между координатами и при наличии функциональной зависимости между двумя или тремя координатами (например, для фасонного обтачивания, контурного фрезерования). [c.286]

При отсутствии однозначности режима на подъемном участке характеристики машины этот участок вырождается в разрыв характеристики. Такой случай, как правило, имеет место только у машин осевого типа. Работа машины этого типа на режимах левее точки 4 (рис. III-70), соответствующей максимуму характеристики, сопровождается сильными колебаниями производительности и давления, которые в некоторых случаях могут вывести машину из строя. Точку 4 принято считать критической точкой, а квадратичную параболу, проходящую через нее и начало координат Q, Н, границей устойчивой работы машины (граница помпажа). [c.123]

Рассмотрим случай конечного стержня I, когда на конце стержня или на нижней поверхности слоя у=1 заданы условия жесткого контакта или отсутствия напряжения. На рис. 11 и 12 приведены зависимости от времени при двух различных граничных условиях при (/ = /. На рис. 13 показана зависимость от координаты у. [c.51]

При отсутствии бокового градиента давления поперечный поток, возникающий на передней кромке, имеет профиль скоростей, описываемый функцией Блазиуса [4]. Больший практический интерес представляет случай, когда поперечный поток возникает не на передней кромке, а на некотором определенном расстоянии x = L. Такие условия могут иметь место, когда двухмерный ламинарный пограничный слой, нарастающий от передней кромки, при x=L набегает на поверхность, имеющую поперечную скорость W. Так как на стенке скорость жидкости равна нулю, на движущейся поверхности, увлекающей за собой частицы жидкости, будет нарастать пограничный слой в поперечном направлении. Так как поперечный поток начинается при x=L, в решение вязкого потока будет входить характерная длина S, определяемая равен-ством x = L+ t Введем новую безразмерную координату = уУ, которая связана с соответствующей координатой основного потока уравнениями [c.30]

Рассмотрим, далее, наиболее важный частный случай безвихревого движения на плоскости, к исследованию которого сводится задача о двумерном течении в осевой турбомашине или в неподвижных решетках, и дадим независимый вывод всех соотношений для расчета потока в естественных координатах. Будем исходить из уравнений неразрывности и отсутствия вихрей плоского безвихревого. движения газа в системе координат ср, ф (ср — потенциал скорости [c.348]

Рассмотрим случай, когда брус жестко защемлен в начале координат. Это значит, что в указанной точке осуществлено такое закрепление, при котором невозможны поступательные перемещения вдоль координатных осей и невозможен поворот вокруг этик осей Математические условия отсутствия поступательных перемещений точки в начале координат сводятся к следующим [c.52]

Функция Лагранжа L, вообще говоря, зависит от всех координат qi и скоростей qi. Однако может случиться, что некоторые не входят в функцию Лагранжа, хотя соответствующие qk в ней имеются. На особую важность подобных переменных для интегрирования уравнений Лагранжа впервые обратил внимание Раус а затем несколько позже Гельмгольц Раус назвал эти переменные отсутствующими координатами , а Дж. Дж. Томсон употреблял названия киностеническне или скоростные координаты . Гельмгольц те же самые координаты называл циклическими переменными , а в курсе Уиттекера (см. библиографию) используется название игнорируемые координаты [c.151]

Подобная проверка всех возможных решений, содержащих квадраты или произведепря координат и производные от гармонических функций не вьппе первой, указывает на отсутствие таких решений. Аналогичный разбор для случая степеней координат не выше первого порядка и вторых производных от гармонических, фушщий указывает на наличие большого количества-решений, включая те, которые были получены Д. Доугаллом дополнение к его решениям 1—4. Однако полезность таких решений сомнительна, так как для всех этих решений нужно еще доказать, что они существуют как сумма решений 1—4 с производными от решений 5 11. [c.127]

Случай отсутствия начальных напряжений. В частном случае, когда механические параметры слоя зависят от координаты жз, а начальные деформации отсутствуют (т. е. v = г>2 = г з = 1 — имеет место условие СГ33 = ail = 22 = 0), коэффициенты вырождаются [c.76]

Болос ицтересои случай сферической полости. Радиально-симметричные колебания исследуются методами 71 и 76. Форл1ула (15) 71, относящаяся к случаю отсутствия источника в начале координат, дает для гармонических колебаний выражение [c.319]

Здесь и далее принято обозначение <1Е/<1г = /(г), г и в - полярные координаты на плоскости щи2. Индекс 0 здесь и всюду дальще относится к случаю отсутствия анизотропии. Очевидно, функция /(г) представляет зависимость модуля касательного напряжения [c.366]

Полная независимость нормальных координат поиводит к интересной теореме, касающейся связи последующего движения с начальным возмущением. Действительно, если силы, действующие на систему, имеют такой характер, что они не совершают работы при перемещении, обозначенном через 8ср , то = 0. Силы такого характера, как бы долго они ни действовали, не могут оказать никакого влияния на движение ср . Если это движение существует, то они не могут уничтожить его если же оно не существует, то они не могут его создать. Наиболее важное применение эта теорема находит в том случае, когда силы, приложенные к системе, действуют в узле нормальной компоненты срр т. е. в точке, которую рассматриваемая компонента колебания не стремится привести в движение. Можно отметить особо два крайних случая таких сил 1) когда сила имеет импульсивный характер и выводит систему из состояния покоя, 2) когда сила действовала настолько долго, что система снова оказывается в покое под ее воздействием, в возмущенном положении. Как только действие си1Ы прекращается, возникают свободные колебания, которые в отсутствии трения продолжались бы неопределенно долго. Мы заключаем отсюда, что, каков бы ни был в других огношениях характер силы, она не содержит никакой компоненты типа <р . Это заключение ограничивается теми случаями, где Т, Г VL V допускают одновременное приведение, включая, конечно, и случай отсутствия трения. [c.155]

За расчетную схему примем наиболее общий случай течения в вихревой трубе с дополнительным потоком (рис. 4.7). В этом случае режим работы обычной разделительной вихревой трубы представляет собой предельный при О- Используем понятие элементарного объема вращающегося газа dQ. = V nrdr. Условие осевой симметрии обеспечивает отсутствие фадиентов в направлении угловой координаты ф. В сформированном потоке вихревой трубы радиальные скорости пренебрежимо малы. В процессе построения аналитической расчетной цепочки можно использовать принцип суперпозиции, т. е. независимость законов движения по нормальным друг к другу осям координат. Процесс энергообмена в сопловом сечении считаем заверщенным. Определим предельно возможные по разделению энергетические уровни потенциального и вынужденного вихрей. Длина пути перемешивания и фадиент давления определяют предельный эффект подофева приосевого турбулентного моля при его переходе на более высокую радиальную позицию. При этом делается допущение о переходе в сечении, перпендикулярном оси. Осевой снос моля не учитывают. Вязкость и теплопроводность проявляют себя, если присутствуют фадиенты скорости и температуры. Поэтому при формировании свободного вихря вязкость будем учитывать, анализируя процесс затухания окружного момента [c.191]

В общем случае соединения двух разнородных стержней с разными поперечными сечениями Fi и F2, разными теплофизическими свойствами С pi, X], ai и Сг р2, 2, 2, а также с различными коэффициентами температуроотдачи bi и Ьг (рис. 6.24) распределение приращений температур АТ и ДТ г в обоих стержнях будет различным. Но в любом случае температура в точке с координатами л 1 = О, лгг = О в стыке должна быть одинаковой. Если один из стержней остывает быстрее другого, то в сечении х = О появляется тепловой поток, при котором теплота от одного стержня передается другому. Рассмотрим вначале случай, при котором устанавливается такой режим изменения температуры стержнях, при котором тепловой поток через сечение х = О равен нулю. Пусть в каждый стержень в момент введения теплоты Q при t = О попало количество теплоты Qi и Q2, а в дальнейшем при / > О стержни между собой не соединены и обмен теплотой между ними через сечение л = О отсутствует. В этом случае [c.199]

Рассмотрим тенерь случай четного числа координат. Если отсутствуют неконсервативные Ьозиционные силы, то система будет неустойчива на основании четвертой теоремы Томсона — Тета — Четаева 6.5. Если же отсутствуют гироскопические силы, то неустойчивость системы следует из теоремы 4 этого параграфа. Таким образом, для стабилизации системы с четным числом координат необходимо присоединить одновременно гироскопические и неконсервативно позиционные силы. Теорема доказана полностью. [c.202]

В настоящем параграфе и в 3.7 изложение проводится применительно к декартовой системе координат и ограничивается случаем статического равновесия и отсутствием температурного эффекта. Построение вариационного уравнения Лагранжа применительно к четырехмерной задаче (при наличии термоэффекта) и в ортогональной криволинейной системе координат дано в оригинальной работе А. Е. Крушевского [48], к которой и отсылаем читателя, особенно интересующегося расчетом сложных корпусных деталей машин. [c.71]

Покажем, как находят распределение скорости на внешней кромке пограничного слоя вдоль х. Для этого рассмотрим случай стационарного потенциального течения вдоль обтекаемого тела, когда поток скользит (не прилипает) по его поверхности. В этих условиях градиентом скорости dW ду и членами, выражающими силу вязкости, можно пренебречь. Кроме того, для стационарного процесса давление р и скорость становятся функциями только координаты X и поэтому частные производные др/дх и dW /dx заменяются полными производными ApjAx и AWxlAx. Здесь внешнее течение отождествляется с движением идеальной жидкости при полном отсутствии пограничного слоя [20]. [c.109]

Отметим, что минимум в (2.16) ищется среди монотонно убывающих функций г (х) 0. Рассмотрим случай, когда имеется неоднородность реологических свойств по координате х, обусловленная лишь различным возрастом (моментом зарождения) разных сечений колонны, т. е. отсутствует явная завимшость функций Ед, Еа а Л от X. Если при этом распределение вероятностей процессов t) не зависит от х, то функция Р в (2.16) также не зависит явно от X. Согласно результатам предшествующего параграф)а, в этом случае решение г (х) задачи (2.16) определяется соотношениями [c.169]

Рассмотрим случай, когда в каждом цикле очистки полностью удаляется оксидная пленка металла. Такой процесс коррозионноэрозионного износа схематически в координатах As—т показан на рис. 5.2. Если отсутствуют разрушающие оксидную пленку силы, то глубина износа (коррозии) As описывается выражением (3.8) или (5.1). Зависимость As =As(t) показана кривой 1. [c.191]

Простым примером может служить задача о ньютоновых орбитах, т. е. задача о плоском движении частицы под действием притяжения к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Разделение переменных можно осуществить, воспользовавщись полярными координатами с началом в притягивающем центре ( 16.9). Тот же самый результат мы получаем, если используем параболические координаты. (См. 17.9, где рассмотрен случай движения в поле притяжения к центру с наложенным на него однородным полем. В этом случае, как мы видели, система допускает разделение переменных в параболических координатах. Ясно, что это свойство сохраняется и при отсутствии однородного поля.) Имеется еще и третья возможность разделения переменных — выбор конфокальных (эллипсоидальных) координат. В самом деле, чтобы получить задачу о ньютоновом притяжении к одному центру, достаточно в формулах 17.10 положить т = 0. [c.327]

Мгтойчивость линейных колебаний. При анализе устойчивости поперечных колебаний записанные в натуральной системе координат ур-ния движения прежде всего линеаризуются по переменным х, z, х, г x = dxlds, z — dzjds). Предположим, что нет искажений ведущего и фокусирующего полей, и ограничимся наиб, распространённым случаем, когда продольное магн. поле отсутствует. Тогда ур-ния движения по двум поперечным степеням свободы разделяются и приводятся к виду [c.333]

Для решения некоторых двумерных и иространственных задач, в частносгп, для расчета осесимметричного потока в ступенях большой веерности представляется необходимым записывать основные уравнения движения и энергии в цилиндрических координатах г, 0, z. Запишем эти уравнения для частного случая установившегося движения при условии отсутствия вязкостного трепня внутри каждой из фаз, т. е. когда i = —pi E j,=—Pi и D = —p. Массовыми силами также будем пренебрегать, а силу взаимодействия между фазами, как и прежде, обозначим через R. Тогда уравнения сохранения примут вид [c.10]

Это означает, что источники массы отсутствуют, радиальная составляющая скорости стационарная и монотонно стремится к нулю по мере удаления от сильного разрыва, трансверсалькая (окружная) скорость, давление и температура зависят только от времени и радиальной координаты. Для коэффициентов вязкости и теплопроводности применяем неоднородные линейные зависимости от температуры эти простые аналитические аппроксимации содержат основную физическую информацию о нелинейных свойствах жидкости. Рассматриваем здесь наиболее распространенный на практике случай, когда dT <0, / dT <0, т. e. вязкость и теплопроводность несжимаемой жидкости убывают с ростом температуры. Таким образом, уравнения движения и энергии принимают вид [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...