Переход от классического описания к квантовому

Оператор орбитального момента импульса легко получается по общим правилам перехода от классического описания к квантовому посредством замены классических величин на соответствующие операторы, как это сделано в 18. Значение оператора [c.211]

Переход от классического описания к квантовому [c.44]

В силу красоты и симметрии этих уравнений их называют также каноническими уравнениями механики, а переменные — координаты и импульсы — в терминах которых выписываются эти уравнения, — каноническими переменными. Для дальнейшего имеет особое значение то обстоятельство, что именно такой выбор уравнений и переменных оказывается наиболее удобным при переходе от классического описания к квантовому. [c.105]

Откуда же берутся те новые моменты, которые возникают при переходе от классического описания к квантовому Их источником является логический анализ тех способов, которыми мы устанавливаем соответствие между математической теорией й существующими в природе объектами. Значения координат и скоростей, фигурирующие в классическом описании состояния, надо измерить. Спрашивается, можно ли, хотя бы в принципе, провести сколь угодно точное измерение так, чтобы сам процесс измерения не изменил измеряемой величины [c.328]

В качестве первого примера, на котором очень удобно проследить в деталях процесс перехода от классического описания к квантовому, поскольку в нем все что нужно без труда вычисляется в явном виде, рассмотрим линейный гармонический осциллятор. [c.471]

При переходе от классической теории к квантовой коренным образом меняется первая составная часть — описание состояния, что приводит к столь же коренным изменениям и остальных частей. [c.22]

Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе, [c.399]

Представление светового поля в виде коллектива фотонов заменяет классическую картину световых волн. Последняя должна рассматриваться как частный случай, подобно тому как классическая механика является частным (предельным) случаем квантовой механики. Для перехода от фотонного описания к световым волнам необходимо выполнение условия [c.84]

Здесь первый множитель под интегралом показывает вероятность отсутствия удара до момента , а величина й1/т равна вероятности "измерения" на интервале Если мы переходим к усредненной по времени вероятности, то число ударов за время Л/ следует считать равным Аг/т. Таким образом, предлагаемая логика автоматически приводит к классической цепи Маркова, а квантовый подход понадобился лишь для нахождения вероятностей перехода от одного "измерения" к другому. В итоге, для многих последовательных измерений мы получаем диффузионное уравнение (143) для р , 1) с Максвелловским распределением частицы по скоростям. От этих вероятностей можно было бы перейти к матрице плотности р х,х ) = (ф х)ф х )). Но как мы видим, в этом нет большой нужды. Найденные нами усредненные волновые пакеты, которые входят в выражение (147), играют роль базиса, в котором матрица плотности имеет диагональный вид р х,х ) представляет собой случайную выборку одного из таких пакетов с вероятностью, которая предписывается извне оператором измерения М ф). В результате для описания статистических свойств случайной волновой функции основную роль играют именно свойства "измерения", а свободный пролет частицы от одного "измерения" до другого "измерения" определяет лишь величину коэффициента диффузии П. [c.142]

В этой главе дается краткая сводка некоторых понятий и формальных правил вычислений квантовой механики и статистики, которые понадобятся в дальнейшем для описания процессов излучения и рассеяния света веществом. В 2.1 дается рецепт перехода от классических уравнений движения к квантовым и обсуждается связь наблюдаемых и вычисляемых величин. В 2.2 вводятся удобные обозначения Дирака и геометрическая интерпретация квантовой механики. В 2.3 рассматриваются представление взаимодействия и теория возмущений. 2.4 посвящен важной закономерности статистической физики, называемой флуктуационно-диссипативной теоремой (ФДТ). Наконец, в 2.5 вводятся понятия релаксации и термостата и выводится простейшее кинетическое уравнение, отличающееся от динамических уравнений учетом взаимодействия с термостатом. Это взаимодействие приводит к затуханию и тепловым шумам, которые при Т Ф О добавляются к квантовым шумам. [c.44]

Исследуя переход от квантового описания к классическому, мы должны обратить внимание на следующие два обстоятельства [c.28]

Отмечено, что по отношению к теореме возврата нет непрерывного перехода от квантового описания к классическому (стр. 165). [c.13]

Мы поставим перед собой задачу показать, как осуществляется переход от механического (или, как чаще говорят, динамического) рассмотрения системы многих частиц к кинетическому, уже использовавшемуся нами, методу описания газов. При этом мы изложим выводы кинетических уравнений, основанные на классической и квантовой статистической механике систем многих частиц. [c.174]

См. т. 1, стр. 63 и 219. Ситуация здесь совершенно аналогична той, с которой мы уже встречались при переходе от квантового описания электронов к классической картине локализованных частиц. Перенос энергии тепловым потоком можно рассматривать совершенно так же, как и перенос заряда электрическим током. Носителями теперь служат фононы, а величина, переносимая каждым фононом, есть его энергия (к). [c.124]

Во втором слагаемом знаменатель дроби напоминает известное вы ражение для момента инерции, а числитель — квадрат углового момента, являющийся аналогом энергии вращения, к которой он при" водит при предельном переходе от квантового описания к классическому согласно формуле / (/ + 1)Й тг ьл. По этой причине второе слагаемое называют центробежным потенциалом. [c.231]

В последние годы существенно развилась и сформировалась статистическая теория неравновесных процессов, основы которой были заложены еще Больцманом более ста лет назад (см., например, [5—9]). При этом удается дать единое изложение статистических методов описания неравновесных диссипативных процессов на всех возможных уровнях кинетическом, гидродинамическом, диффузионном, химической кинетики, термодинамическом. Во всех случаях (при переходе от полного динамического онисания на основе обратимых уравнений классической или квантовой механики к неполному статистическому описанию) устанавливаются соответствующие диссипативные уравнения для макроскопических, коллективных переменных. На основе этих уравнений в открытых системах описываются и различные неравновесные фазовые переходы, приводящие к образованию диссипативных структур на разных стадиях процессов самоорганизации. Тем самым современная статистическая теория неравновесных процессов является и фундаментом и одновременно основным рабочим инструментом синергетики. [c.7]

Методы теории фракталов, как правило, применяются в самых сложных разделах теоретической физики — квантовой теории поля, статистической физике, теории фазовых переходов и критических явлений. Цель монографии — показать, что идеи н методы теории фракталов могут быть эффективно использованы в традиционном, классическом разделе механики — механике материалов. Круг рассмотренных материалов достаточно широк дисперсные материалы от металлических порошков до оксидной керамики, полимеры, композиционные материалы с различными матрицами и наполнителями, полиграфические материалы. Построена статистическая теория структуры и упруго—прочностных свойств фрактальных дисперсных систем. Разработан фрактальный подход к описанию процессов консолидации дисперсных систем. Развита самосогласованная теория эффективного модуля упругости дисперсно—армированных композитов стохастической структуры в полном диапазоне изменения объемной доли наполнителя. Теория обобщена на композиты с бимодальной упаковкой наполнителей, а также на композиционные материалы с арми — рованием по сложным комбинированным схемам. Рассматривается применение теории фракталов для исследования микроструктуры и физико— механических свойств полиграфических материалов и технологии печатных процессов. [c.2]

Итак, при параметрическом распаде излучения частоты соз в синхронизме имеет место совместное экспоненциальное усиление излучения на частотах oi и 2. При увеличении Ак усиление сменяется на синусоидальную зависимость от z. Указанное усиление — одно из проявлений эффекта бозе-конденсации фотонов [19]. Оно является аналогом вынужденного излучения в системе, где роль возбужденного состояния играет фотон частоты соз в нелинейной среде. Вероятность распада этого состояния пропорциональна интенсивности излучения на частотах oi и сог-При Ао1 == Ло2 = О классические уравнения (1.104) дают Ai(z) = = A2 z)=0. При учете в квантовом описании пулевых колебаний электромагнитного поля на частотах oi и 0J2 1,2(2) не равны нулю, даже если падающее на среду излучение на частотах со 1 и 052 отсутствует. Это явление называется спонтанной параметрической люминесценцией [20] и находится в том же отношении к параметрическому усилению, что и спонтанное излучение на резонансном переходе к вынужденному [21]. [c.40]

После того как написаны эти соотношения, можно переходить к задаче нахождения функции распределения для квантовомеханических переменных. Сначала заметим, что в соответствии с основными принципами квантовой теории классические наблюдаемые — такие, как д (i) — заменяются в квантовой механике операторами Ь. Как мы знаем, в квантовой механике можно по-разному выбирать временную зависимость операторов Ь. В представлении Шредингера операторы Ь, Ь+ не зависят от времени и вся временная зависимость квантовой системы описывается волновой функцией <р или (при более изящном подходе) зависящей от времени матрицей плотности. Другое описание основывается на представлении Гейзенберга, в котором зависят от времени операторы Ь, Ь+, а волновая функция от времени не зависит. В нашем изложении будет использоваться представление Шредингера, которым мы уже пользовались в разд. 11.1, хотя и не употребляли этот термин. Мы установим аналогию между структурой статистического среднего такого вида, как Б формуле (П.35), и квантовомеханического среднего вида [c.297]

Физическая причина того, почему при переходе от классического рассмотрения к квантовоэлектродинамическому состояние неустойчивого равновесия больше не имеет места, требует дополнительного обсуждения. В полуклассическом приближении атом на верхнем уровне находится в состоянии неустойчивого равновесия, и, следовательно, достаточно очень слабого возмущения, чтобы вызвать переход атома с этого уровня. На первый взгляд может показаться, что в среде всегда присутствует рассеянное излучение, которого достаточно для того, чтобы нарушить равновесие. Для конкретности предположим, что среда помещена в полость черного тела, стенки которого поддерживаются при температуре Т. Тогда можно было бы представить себе, что рассеянное излучение является тем излучением черного тела, которое заключено в полости. Однако это утверждение неправильно, поскольку возникающее таким образом излучение на самом деле являлось бы вынужденным излучением, т. е, стимулированным излучением черного тела, В этом случае явление спонтанного излучения зависело бы от температуры стенок и исчезало при Т = 0. Правильное описание возмущения, необходимого для появления спонтанного излучения, дает квантовоэлектродинамический подход, в котором поле в полости рассматривается не как классическое (т. с. описываемое уравнениями Максвелла), а как квантовое. Мы опять [c.61]

Пусть п=3, а Al — q, А р, А = I, где I — единичный оператор, а и р — операторы координаты и импульса частицы. Равенство [qp = ihi задаёт т. н. канонические П. с. для системы с одной степенью свободы. Они определяют алгебру Ли группы Гейзенберга. Из них видно, что координата и импульс не могут принимать одновременно определ. значения. Если Дд и Др — неопределенности в значениях координаты и импульса, то ДдДр А. Это — частный случай неопределенностей соотношения. Для системы с т степенями свободы, т. е. для системы, гамильтониан к-рой зависит от т операторов обобщённых координат ог т сопряжённых этим координатам импульсов pi,.,.,p i, канонич. П. с. имеют вид [д ,Р(] = ihi здесь выписаны только ненулевые коммутаторы). Вообще, переход от классического к квантовому описанию физ. системы можно трактовать как замену классических Пуассона скобок коммутаторами операторов соответствующих величин. Из канонич. П. с. следует, гго каждая пара канонич. переменных д/,р удовлетворяет соотношению неопределенностей. В представлении, в к-ром все операторы координат диагональны (т. е. в представлении, где состояние задается волновой ф-цией причём = дД ], операторы [c.576]

Автор стремился изложить материал на промежуточном (между учебным и монографическим) уровне и сделать его доступным студентам, только что изучившим основы квантовой механики, и физикам-экспериментаторам, успевшим их забыть. Большинство явлений описывается с помощью нескольких моделей, начиная с простейших. Книга начинается с вводной главы, в которой приводятся упрощенное качественное описание параметрического и поляритонного рассеяний, а также краткие историкобиблиографические сведения. Далее, в главе 2 даются необходимые сведения из квантовой механики и статистики. В главе 3 описывается переход от классической к квантовой электродинамике. [c.11]

Если, далее, пренебречь поглощением, то макрополе можно нроквантовать согласно общим правилам перехода от классических уравнений движения к квантовым ( 2.1). Мы сперва рассмотрим общий случай поглощающей однородной среды и определим функцию Грина уравнений Максвелла в г и А (о-представ-лениях. Последняя понадобится нам для описания рассеяния света на поляритонах и позволит ввести понятия нормальных волн, ортов поляризации и закона дисперсии. [c.102]

Мы видели, что последняя трудность, связанная с конкретным видом вероятностной схемы, так же как и неудовлетворительность описания состояния релаксации (неприменимость флюктуационной формулы), не являются логически необходимыми следствиями классического характера теории их можно из-бел ать, если при интерпретации Я-теоремы итти по пути, охарактеризованному в 4 и 8. Мы указали здесь, тем не менее, на эти добавочные недостатки интерпретации Я-теоремы с помощью ступенчатой -кривой, так как эта интерпретация очень распространена, благодаря ее мнимой простоте и кажущейся возможности получить ее при помощи эргодической гипотезы или даже при помощи менее точного качественного динамического утверждения. Кроме того, переход от интегральной Я-теоремы к локальной существенен для одной из основанных на квантовой механике трактовок вопроса о необратимости работы Неймана [21], Паули и Фирца [22]), где присущих такому переходу недостатков уже нельзя избежать способом, подобным тому, который может быть использован в классической теории. [c.119]

Полуклассическая теория лазера, которую мы представили в предшествующих главах, позволила нам объяснить и даже предсказать многие свойства лазерного излучения. Однако из этой теории следовало, что лазерная генерация устанавливается при накачке, превышающей определенный порог, а ниже этого порога вообще не возникает никакого излучения. Этот вывод нельзя считать удовлетворительным, поскольку даже без выполнения условия генерации испускание света возможно, а именно свет излучают обычные лампы. Адекватная теория лазера должна описывать переход от излучения обычных ламп к лазерному излучению, она должна охватывать излучение лампы как частный случай. Таким образом, становится очевидным, что мы упустили важный аспект теории лазеров. Чтобы разъяснить постановку вопроса, рассмотрим более внимательно явление испускания света обычными источниками. Как мы знаем, свет испускается возбужденными атомами при спонтанных переходах ). Такое излучение нельзя получить в рамках теории, которая описывает свет классически. Спонтанное излучение возбужденных атомов может быть адекватно описано только в том случае, если проквантовать световое поле. Мы знаем также, что затухание классической или квантовой величины всегда сопровождается флуктуациями. Пусть, например, световое поле в резонаторе затухает из-за пропускания зеркал. Мы должны ожидать при этом флуктуаций амплитуды светового поля. Как флуктуации, связанные со спонтанным излучением, так и флуктуации, обусловленные потерями в резонаторе, не учитываются в полуклассических уравнениях лазера. Мы увидим, что становится необходимым полностью квантовое описание лазера, если мы хотим объяснить различие между лазером и обычной лампой. Флуктуациями лазерного излучения фундаментальным образом определяются свойства когерентности лазерного света. Если же рассматривать свойства [c.249]

Из этого результата возникает вопрос о возможности классического описания не только волн накачки, но и элементарного возбуждения (его электромагнитной и колебательной компоненты) с этим было бы связано то преимущество, что этот эксперимент по смешиванию двух лазерных волн можно было бы полностью описывать при помощи существенно более простого классического формализма вместо квантового. Проблема перехода от квантового к более простому классическому описанию возникает в связи со многими эффектами НЛО. Она допускает в известной степени свободный от произвола анализ, поскольку некоторые основопола- [c.474]

Функция W x,p) называется функцией Вигнера. В классическом случае W x,p) должна совпадать с функцией распределения по х и но в квантовом случае это не так, поскольку измерения значений хяр производятся разными приборами. Соответственно, W x,p) не обязательно должна быть знакоположительной и даже действительной функцией. Кроме того, функция Вигнера может не распадаться на произведение функции только от х и функции только от р. И, наконец, для случая плавного распределенияРх х) по х функцию W x,p) можно считать близкой к W x - р(т , р) с зависимостью от второго аргумента, сильно локализованной вблизи р = р . Пока все это не противоречит классическому распределению вероятностей. Для того чтобы произошел переход к квантовому описанию, должна появиться величина с размерностью длины, которая указывала бы, на каких масштабах длины появляется новая физика. Но оказалось, что такой универсальной величины с размерностью длины нет. Зато была найдена универсальная величина Й — константа Планка с размерностью действия. [c.86]

Чтобы перейти от общего случая к классическому описанию систем N частиц, мы могли бы воспользоваться процедурой квази-классического перехода (именно в результате этого перехода появляются траектории отдельных частиц и другие атрибуты классического рассмотрения) и получить все, что надо, так сказать, без идейных затрат. Но нас сейчас интересуют не квантовые поправки и не критерии классичности системы, а лишь способ фиксации состояния. Поэтому вспомним просто механику, в которой микроскопическое состояние материальных точек можно полностью определить, задав в какой-либо определенный момент времени t их координаты g = (Г[,..., гдг) и импульсы р — (Pi,..., Рлг)- Иными словами, микроскопическое состояние классической системы можно задать как точку (9>Р) = (гь i rAr, Pi,. , Рлг) в бЛГ-мерном пространстве импульсов и координат частиц, которое называется фазовым пространством. Эволюция этого состояния описывается уравнениями классической механики, например системой канонических уравнений Гамильтона (W. Hamilton, 1834) [c.24]

Вместе с тем с точки зрения квантового подхода — это одно и то же состояние. Чтобы избежать этих повторений при переходе от общего квантовомеханического описания системы к классическому, мы должны либо ограничить область фазового пространства многомерным клином, так чтобы любая перестановка индексов частиц выводила бы фазовую точку р, д) за пределы области рассмотрения и не учитывалась бы (на рис. 15 — это заштрихованная область), или, используя все фазовое пространство, учесть, что каждое тождественное с точки зрения квантовой теории состояние в предельном классическом случае будет повторено N1 раз (число перестановок друг с другом N индексов частиц 1, 2, 3,..., М). Поэтому в появляющихся в результате квазиклассического перехода интегралах по фазовому пространству р,д), под знаком которых стоят функции от динамических величин для системы N одинаковых частиц (функция Гамильтона Н р,д) и т.д.), которые в силу тождественности частиц не изменяются при перестановках их индексов, необходимо либо ограничить указанным выше способом область интефирования в пространстве (р, д), либо интегрировать по всему фазовому пространству, повторяя при этом каждое доклассическое состояние систе мы N1 раз, и затем, чтобы не получить величину, в ЛГ раз большую допредельной, разделить весь интефал на ЛГ . [c.69]

Якоби, в котором ищут такое каноническое преобразование, которое обращало бы функцию Гамильтона системы в нуль — такая функция Гамильтона не зависит от времени явно, сохраняется, но не имеет никакого отношения к энергии системы. Теперь мы видим, в чем тут дело — в классической механике из двух гамильтонианов Яр и Ящ остается аналог только гайзенбергова гамильтониана Яг — он-то и обращается в нуль в процедуре Гамильтона — Якоби, которая аналогична переходу к шредингеровой картине. В квантовой теории в этой картине возникает другой гамильтониан Яш, который управляет временной зависимостью векторов состояния, — но векторы состояния не имеют классического аналога, и поэтому в классическом рассмотрении этот новый объект исчезает из виду. Впрочем, это исчезновение не совсем бесследно в классическом описании сохраняется величина, связанная с квантомеханическим оператором эволюции U(t,to) (мы не будем сейчас устанавливать характер этой связи)—это производящая функция ф канонического преобразования Гамильтона — Якоби, которая удовлетворяла там уравнению Гамильтона — Якоби (1.77). Поэтому именно это уравнение оказывается классическим следом уравнения Шредингера и может быть получено из него соответствующим предельным переходом. [c.466]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...