Исследование первых интегралов

Исследование первых интегралов [c.54]

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ 55 [c.55]

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ [c.57]

В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение. [c.286]

Как будет показано ниже (см. 9.6), полученной совокупности первых интегралов в данном случае достаточно, чтобы найти фазовые траектории посредством квадратур. Качественное исследование решения в случае Ковалевской выходит за рамки настоящей книги. Здесь остановимся лишь на некоторых его свойствах. [c.491]

Показать, что в задаче исследования движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки достаточно найти 4 независимых первых интеграла, чтобы определить траектории движения. Перечислить эти интегралы в случаях Эйлера, Лагранжа-Пуассона, Ковалевской. Какие первые интегралы являются общими для всех этих случаев [c.702]

Рассмотрим первые интегралы дифференциальных уравнений движения, соответствующие задаче, исследованной Л. Эйлером. [c.415]

Рассмотрим первые интегралы системы дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг закрепленной точки в случае, исследованном Лагранжем. [c.427]

Что касается преобразований, не изменяющих величины Н, то их можно найти, если обратиться к свойствам симметрии системы, так как если физическая система симметрична относительно определенных изменений ее конфигурации, то гамильтониан ее должен при соответствующем преобразовании оставаться неизменным. Поэтому все функции, остающиеся в процессе движения постоянными (все первые интегралы уравнений движения), можно получить путем исследования свойств симметрии гамильтониана, что равносильно полному рещению задачи [c.288]

Однако при практическом исследовании движения очень часто нет необходимости изучать систему (1), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей материальной системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы (и, быть может, времени). Если такая функция при движении системы остается постоянной, то она называется первым интегралом уравнений движения (1). Использование первых интегралов позволяет упростить задачу исследования движения системы, а иногда и решить ее до конца. [c.156]

Если постоянные fij удастся выбрать так, чтобы функция V была определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения. При этом в тех случаях, когда первые интегралы Uj (j = 1, 2,..., к) могут быть найдены из каких-либо общих соображений (например, при помощи основных теорем динамики), отпадает необходимость составления самих уравнений возмущенного движения, что существенно упрощает исследование. [c.519]

Канонические преобразования. При изучении движения механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи, можно пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода. При этом удачный выбор параметров, определяющих положение системы, может значительно облегчить задачу исследования движения. Так, наличие циклических координат дает возможность сразу найти первые интегралы уравнений движения. Циклические координаты иногда могут быть найдены преобразованием первоначальной системы координат. [c.473]

При составлении дифференциальных уравнений движения точки необходимо использовать общие теоремы динамики и их первые интегралы. Общие теоремы в ряде случаев значительно упрощают исследование движения материальной точки [c.43]

Составлением дифференциальных уравнений движения не заканчивается, а только начинается исследование движения материальной точки. В конечном счете необходимо определить, как будет двигаться она при заданных начальных условиях, а в ряде задач еще потребуется знать, и как изменяется это движение при непрерывном изменении начальных условий. Нужно уметь определять траекторию точки и характер ее движения по этой траектории. Чтобы все это знать, необходимо уметь интегрировать уравнения движения материальной точки. Общие теоремы динамики и их первые интегралы представляют собой некоторые стандартные методы исследования ее движения. В целом ряде случаев эти стандартные методы значительно [c.43]

При исследовании движения материальной точки в пространстве следует обратить внимание на определение сил, дей-ствующ,их на материальную точку. Без этого невозможно определить траекторию и характер движения точки. Особенно большое значение имеют задача о движении тяжелой материальной точки в пустоте и задача о движении материальной точки в центральном силовом поле. При исследовании движения большое значение приобретают общие теоремы динамики материальной точки. При решении задач необходимо использовать эти теоремы и их первые интегралы. Рассмотрим несколько конкретных примеров. [c.54]

Данная книга является результатом систематизации и развития материалов цикла статей, опубликованных авторами в отечественных и зарубежных изданиях, и серии докладов на Всероссийских и Международных симпозиумах. Если говорить об основных изложенных в ней результатах, то следует отметить следующие. Во-первых, найдены ограничения гидродинамического характера, в рамках которых возможно аналитическое исследование проблемы. Во-вторых, разработан метод решения задач обсуждаемого класса. В его основе лежит возможность сведения задачи минимизации работы управляющих сил и моментов к задаче минимизации работы сил сопротивления вязкой жидкости, что при указанных выше гидродинамических предположениях позволяет ограничиться во вспомогательной задаче лишь кинематическими связями. Дано строгое обоснование метода, основанное на наших подходах к проблеме умножения обобщенных функций. Наконец, примечательной чертой рассмотренного в книге класса мобильных манипуляционных роботов оказалось то, что на энергетически оптимальных перемещениях мощность сил сопротивления среды и ее производная по скорости движения носителя ММР оказались постоянными. Это дает возможность построить граничную задачу, которая с учетом указанных первых интегралов дифференциальной системы оптимальных движений позволяет численно моделировать особое многообразие — источник для расчета сингулярных оптимальных программных управлений и импульсных позиционных процедур, решающих задачу синтеза в условиях неопределенных возмущений среды. [c.7]

При исследовании условий существования прецессий гиростата относительно наклонной оси й ф 7) следует к уравнениям (14) с интегралами (15) присоединить соотношения (6)-(8). С помощью первых интегралов (15) можно определить функции ф иф ъ зависимости от переменных (/з и и параметров задачи. Далее можно получить аналог разрешающего уравнения (21), в которое, в отличие от (21), будут входить две переменные (риф. Поэтому наряду с разрешающим уравнением нужно рассмотреть и его производную в силу уравнений для фиф. На этом пути можно найти второе разрешающее уравнение, а затем на основании двух разрешающих уравнений получить уравнение вида (22). [c.243]

Эффективный потенциал и стационарные движения. Хотя явный вид дополнительных первых интегралов в данной задаче неизвестен, тем не менее, учитывая тот факт, что эти интегралы линейны относительно квазискоростей, и используя выражения (102) и (103), удается построить в данной задаче эффективный потенциал (см. 1-3) и с его помощью провести полное исследование стационарных движений диска [22, 40-41]. [c.459]

Таким образом, предметом исследования являются условия (17), (19), (20). В отличие от задач, рассмотренных в разделах 1 и 2, уравнения (17) аналитически не интегрируемы и приходится использовать численные методы их интегрирования. Однако уравнения (17) совместно с условиями (19) и (20) обладают первым интегралом (интеграл энергии Якоби) [c.228]

Г. Исследование движения. Циклическим координатам ф, ф соответствую первые интегралы [c.134]

Большинство рассматриваемых в этой книге задач допускает запись в канонической гамильтоновой форме и обладает первым интегралом — интегралом энергии. Однако во многих случаях уравнения движения этих задач удобнее записывать не в канонической форме, а с помощью некоторой системы алгебраических переменных, наиболее приемлемой для исследований — поиска интегралов, частных решений, анализа устойчивости и пр. В этих переменных система не только сохранит многие свойства обычных гамильтоновых систем, но и приобретет некоторые характерные отличия, изучаемые в общей теории пуассоновых структур. С ней можно познакомиться по нашей книге [31]. [c.27]

При описании движения твердого тела используются различные системы переменных. Каждая система имеет свои преимущества и недостатки для каждой конкретной задачи. Так для поиска первых интегралов, исследования некоторых вопросов устойчивости и топологического анализа наиболее удобными являются такие переменные, в которых уравнения полиномиальны (или даже однородны). Для численного интегрирования, кроме простой системы дифференциальных уравнений желательно иметь наименьший порядок системы. Для качественного изучения, применения методов теории возмущений и нелинейной нормализации необходимы системы канонических переменных, наиболее отражающие специфику невозмущенной задачи. Здесь мы приводим основные наборы переменных, используемые в динамике твердого тела. На практике, особенно в приложениях к гироскопической технике, также используются различные комбинации и модификации этих систем, обладающих более специальными свойствами. [c.39]

Ценность разделяющихся переменных заключается в том, что с их помощью становится возможным упростить решение некоторых задач. Одна из них связана с топологическим анализом, имея разделяющиеся переменные, исследование бифуркаций поверхностей уровня первых интегралов можно свести к анализу кратных корней некоторого характеристического полинома. Вторая — построение набора переменных типа действие-угол, необходимых для применения теории возмущений и различных процедур квантования (в частности, квазиклассического). [c.304]

К сожалению, для многих интегрируемых задач динамики твердого тела, обладающие необходимым набором первых интегралов, разделяющие преобразования не найдены. Однако это не препятствует, например, для проведения топологического анализа, где можно получить бифуркационные множества непосредственно с помощью исследования критических уровней первых интегралов. Возможно, для того, чтобы разделить такие системы, необходимо по иному сформулировать цель исследования. [c.304]

При вычислении главных элементов координата попадает на участок интегрирования и приходится вычислять интегралы с сингулярностями. Для исследования таких интегралов рассмотрим поведение функций Бесселя при г О. На основании формул (7.13) заключаем, что функции Бесселя первого и второго рода при 2 О асимптотически можно аппроксимировать функциями [50] [c.166]

Уравнения динамики принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. Интегрируемые системы имеют достаточно много независимых первых интегралов (например, для полной интегрируемости гамильтоновой системы с п степенями свободы достаточно знать п интегралов, попарно находящихся в инволюции см. [3, гл. 4]). В соответствии с этим можно выделить интегрируемые биллиардные системы, обладающие полным набором независимых интегралов. Мы укажем основные известные интегрируемые биллиарды, а также некоторые способы их точного интегрирования и исследования качественных особенностей движения. [c.99]

На практике удобнее, конечно, иметь дело не с самими характеристическими числами X, а с симметрическими полиномами от X — коэффициентами векового уравнения det(L—ХЕ)=0. Вопрос о независимости найденных этим методом первых интегралов и об их полноте в каждом конкретном случае составляет предмет отдельного исследования. [c.144]

Для того чтобы полностью узнать закон движения материа-гтьной точки, достаточно найти шесть независимых первых интегралов. Такой набор первых интеграшов назовем полным. Найти полный набор первых интегралов не всегда легко. Однако наличие первых интегралов упрощает исследование. Пусть, например, найдены три первых интеграла [c.176]

Алгебраические первые интегралы. Случай Гесса. В случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской последний из первых интегралов, приводящий к интегрированию посредством квадратур уравнений движения тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой (п. 24), является, как и интегралы живых сил и моментов, алгебраическим относительно неизвестных функций. Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, 1 f, Yu Тэ> Ifs Однако глубокое исследование Гюссона ), выполненное в более изящной форме Бургаттив), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов. [c.168]

Описанная в п. 164, 165 процедура понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения является одним из наиболее эффективных и практически важных способов, применяемых при интегрировании уравнений движения. Всякая симметрия задачи, допускающая такой выбор обобщенных координат, чтобы некоторые из них были циклическими, приводит к существованию первых интегралов ро = onst и, как мы видели, позволяет свести исследование движения к рассмотрению системы с меньшим числом обобщенных координат. Для обобщенно консервативных систем с двумя степенями свободы наличие одной циклической координаты позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам (см. п. 164). [c.329]

Если исследованию подлежат интегралы с большой изменяемостью, то изменение масштаба должно заключаться в его растяжении, а если изменяемость интегралов мала, lO масштаб надо сжимать. При этом в первом случае изменяемость коэффициентов уравнения уменьшится, а во втором случае увеличится. Вместе с тем, как уже говорилось, надо требовать, чтобы в новых независимых переменных решения имели среднюю изменяемость. Существование таких решений при пониженной изменяемости коэффициентов (когда они мало отличаются от констант) представляется вполне естественным, но при весьма быстро меняющихся коэффициентах это становится совсем не очевидным, а это значит, что для исследования интегралов с весьма малой изменяемостью метод изменеиня нельзя считать обоснованным. [c.487]

На протяжении XVIII—XIX столетий были составлены различные варианты дифференциальных уравнений задачи п тел, установлены методы их редукции посредством найденных первых интегралов, изучены частные решения, указаны приближенные методы решения задачи с помощью рядов, рассмотрены вопросы устойчивости соответствующих систем дифференциальных уравнений, предложены качественные методы изучения задачи. Созданная на рубеже XIX и XX столетий качественная теория дифференциальных уравнений открыла новые возможности в исследовании проблемы п тел, которые в значительной степени реализованы в трудах ученых XX в. [c.87]

Идея об интерпретации первых интегралов дифференциальных уравнений 102 движения системы как уравнений неголономных связей, высказанная в начале XX в. Г. К. Сусловым и П. В. Воронцом и использованная в дальнейшем в ряде исследований отечественных и зарубежных ученых позже была поставлена под сомнение. В. В. Добронравов указал, что интегралы динамических уравнений движения системы характеризуют это движение при фиксированных силах, между тем как связи, стесняющие систему, характеризуют его п гюбых приложенных силах. Поэтому, по его мнению, первые интегралы системы по существу нельзя трактовать как наложенные на нее связи . [c.102]

В связи с тем, что в случаях Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана с существованием квадратичного относительно обобщенных скоростей первого интеграла, были предприняты исследования условий, при которых динамические уравнения движения системы допускают подобные интегралы. В этом направлении в конце XIX в. ряд результатов получили Г. Пирро, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита Ж. Адамар 103 и П. Бургатти нашли новые случаи интегрируемости уравнений движения материальной системы (при наличии квадратичных относительно обобщенных скоростей первых интегралов), из которых ранее известные вытекают как частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что эти случаи интегрируемости явля10тся самыми общими. Работы на эту тему появлялись [c.103]

Метод связки первых интегралов Четаева [Четаев, 1946] достаточно хорошо известен и подробно изложен в литературе [Rou he и др., 1977]. Его использование позволило осуществить крупный прорыв в исследовании устойчивости механических систем. [c.90]

Приведенные в обзоре результаты показывают, что, несмотря на некоторую специфику неголономных систем, исследование устойчивости и бифуркаций стационарных движений данных систем вполне успешно может быть проведено на основе модифицированной теории Рауса-Сальвадори и Пуанкаре-Четаева, если эти системы допускают первые интегралы, заданные в явной или в неявной формах, и теории Ляпунова-Малкина и Андронова-Хопфа, если эти системы являются системами общего вида, т. е. не допускают первых интегралов, отличных от интеграла энергии, но обладают диссипативными (см. замечания 4.3 и 4.4) свойствами. [c.462]

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых Новых методах небесной механики . В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова Симметрии, топология и резонансы в гамильто- [c.9]

В последнее время появились исследования, в которых учитываются малые нелинейные члены, обусловленные влиянием инерции подвеса. Первые работы, в которых достаточно точно учитывалась масса кардано-вых колец, связаны с именем Е. Л, Николаи. Наиболее важной является его статья О движении уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе (1939). В рассматриваемой задаче имеются три первых интеграла (интеграл кинетического момента всей гиросистемы относительно внешней оси, интеграл кинетического момента для ротора относительно его оси вращения и интеграл энергии). Интегрирование уравнений движения, взятых в форме первых интегралов, приводит к гиперэллиптическим квадратурам. Поэтому, не проводя интегрирования, Е. Л. Николаи подробно исследует возможные траектории конца оси гироскопа в зависимости от параметров системы и начальных условий. Им впервые указано на возможность ухода оси гироскопа. Далее получены условия регулярной прецессии гироскопа и исследуется случай быстро вращающегося гироскопа. Особенно подробно рассматривается вопрос устойчивости движения в случае совпадения или близкого расположения оси гироскопа с осью вращения внешнего кольца. Показано, что в этих случаях значительно снижается степень устойчивости. [c.250]

Соображения Ковалевской заложили основу нового метода анализа системы на интегрируемость и в то же время явились первым образцом поиска препятствий к интегрируемости, выросших в последнее время в отдельное направление исследований [97]. Отметим также, что несмотря на отдельные строгие результаты, связывающие ветвление общего решения с несуществованием первых интегралов [97], метод Ковалевской все же остается тестом на интегрируемость, он во многом неоднозначен и его применение в различных задачах требует определенного искусства и дополнительных соображений. В физической литературе этот метод обычно называется тестом Пенлеве-Ковалевской. [c.131]

К сожалению, другие первые интегралы в инволюции системы (3.4) в настоящее время неизвестны. Поэтому система четырех и более точечных вихрей в общем случае неинтегрируема, т.е. нельзя построить траектории вихрей xJ ), 1/М)> зависящие в качестве параметров только от инвариантов //, Р, О, /. С понятием неинтегрируемости гамильтоновой системы тесно связано новое направление нелинейной физики — исследование феномена детерминированного хаоса [32.47,79]. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...