Система в инволюции

ТЕОРЕМА ЛИ О СИСТЕМАХ В ИНВОЛЮЦИИ 521 [c.521]

Теорема Ли о системах в инволюции. В предыдущем параграфе мы рассматривали систему функций щ, U2,. . класса в некоторой [c.521]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Примечание. Предположим, что известна система интегралов канонических уравнений фь ф2,. .., фт- Если скобки Пуассона (ф,-, фй) для произвольной пары интегралов тождественно равны нулю, то система интегралов фь , Фт находится в инволюции. Если скобки Пуассона для произвольной пары интегралов из системы фь. .., фт определяются через интегралы этой же системы, то система интегралов фь Ф21 .. > фт образует группу. Существование систем интегралов, образующих группу. [c.367]

Если интеграл (к) не зависит явно от времени, то скобки Пуассона (Я, ф) равны нулю и система интегралов Н = к и ф = С1 находится в инволюции. Следовательно, в этом случае никаких новых интегралов посредством применения теоремы Пуассона найти нельзя. [c.368]

Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо одними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны п — 1 ее интегралов /j, Д . .., / i, которые находятся в инволюции и не содержат t, и функции Д, [c.314]

Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям, докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны т<С п инвариантных соотношений, находящихся в инволюции и разрешимых относительно т переменных р, то можно определить со" частных решений данной системы посредством интегрирования приведенной системы дифференциальных уравнений порядка /и. [c.324]

Фт, Qs) = О- Если система функций такова, что скобка Пуассона любых двух функций тождественно равна нулю, то говорят, что эти функции находятся в инволюции. [c.500]

Тогда Яi —первые интегралы, попарно находящиеся в инволюции. Более того, система уравнений Гамильтона распадается на п независимых систем [c.235]

Тогда существуют еще п функций Ч ,,. .., Wn таких, что набор (Ф]..... Фп, Fi,. .., Ч п) является канонической системой координат (в частности, функции Ч ",- также попарно в инволюции). [c.253]

Теорема Лиувилля. Если система уравнений Гамильтона имеет п первых интегралов в инволюции, то она интегрируется в квадратурах при помощи алгебраических операций, обращения функций, интегрирования и дифференцирования (для доказательства достаточно посмотреть, что делалось выше при эффективном пополнении). [c.266]

ЭФФЕКТИВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ — УГОЛ. Существование переменных р, а было установлено на произвольном каноническом многообразии и без предположения, что интегралы в инволюции заданы в какой-либо канонической системе координат. Если это предположение все же выполнено, то мы можем воспользоваться эффективным пополнением и получить смешанные формулы замены [c.269]

Случай, когда система (6) уже имеет гамильтонову форму вида (7) с не зависящим от времени гамильтонианом Н) и инвариант (8) с функцией С. Тогда для выполнения равенств (21) и (22) достаточно, чтобы функции С и ф были первыми интегралами в инволюции ф,С = 0) обобщённо-консервативной системы. [c.231]

Теорема Лиувилля. Пусть система Гамильтона q = Tip, р = = —Tiq, (9, р) имеет п первых интегралов в инволюции Hk[q, р) (f = 1,. . ., п) (два первых интеграла находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю). [c.301]

Пусть для определенности гамильтониан системы совпадает с первым из находящихся в инволюции интегралов И д, р) И-1 д, р). Тогда после перехода к переменным действие-угол получаем новый гамильтониан в виде [c.303]

Система канонических уравнений с гамильтонианом (3.1) предполагается интегрируемой по Лиувиллю существуют и+1 независимых первых интегралов в инволюции [c.211]

Выписать полный набор интегралов в инволюции как полной, так и приведенной системы не представляет труда. Исследуем сначала поведение решений приведенной системы. Из уравнений Гамильтона [c.218]

Предположим, что гладкие функции Н и Г коммутируют (находятся в инволюции ) Н,Г = 0. Тогда Г — первый интеграл канонической системы с гамильтонианом Н, и наоборот. JJ>a-зовые потоки и др этих систем также коммутируют на М. Так как Г, С , Н = , Я , С - С, Я , Г , то интегралы любой гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких функций на М (теорема Пуассона). [c.23]

В этом случае, очевидно, П = К". Гамильтоновы системы с п степенями свободы, имеющие п независимых интегралов в инволюции, называются вполне интегрируемыми. [c.83]

Итак, если гамильтонова система решается методом Гамильтона— Якоби с использованием разделения переменных, то в этом случае можно сразу же выписать (dim М)/2 независимых интегралов в инволюции. [c.101]

Теорема 2. Если система с гамильтонианом Н = к имеет п аналитических интегралов в инволюции [c.127]

Применим теорему 3 к гамильтоновой системе с п степенями свободы, обладающей нерезонансным А, -мерным инвариантным тором. Предположим, что эта система допускает г независимых интегралов в инволюции. Утверждается, что спектр соответствующей матрицы Q содержит не менее 2г - к чисел вида г Х, и>), X е Z При к = 1 получаем теорему 4 из 8. Доказательство основано на том факте, что гамильтоновы поля v// ,..., vh являются полями симметрий, причем для них справедливы соотношения (9.9). Для получения нужной оценки остается воспользоваться заключением теоремы 3. [c.235]

Пусть А1,...,Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 < /г < п). Рассмотрим случай, когда числа Ах,..., Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309]

Следствие из леммы 2. Не зависящая явно от времени функция Дг) будет первым интегралом системы (5) тогда и только тогда, когда она находится в инволюции с гамильтонианом системы [c.363]

Говорят, что функции Fn, Fk находятся в инволюции. Системы с полным набором интегралов в инволюции называют вполне интегрируемыми если система с гамильтонианом Н — Н х, р) имеет s первых интегралов Fl = Н, F2,. .., Fg в инволюции, то ее можно проинтегрировать в [c.256]

Первые интегралы ),..., канонической системы находятся в инволюции, т. е. скобки Пуассона (/ , // .) = = О (г, А = 1, ш). Показать, что первые интегралы вида Ф(/1, /2, . . . , /т) и (/1, /2, , /т) также находятся в инволюции. [c.214]

Задан полный интеграл S qi,ai,t) уравнения Гамильтона-Якоби некоторой системы. Из соотношений dS/dqi (г = 1, п) определяются первые интегралы fi qj Pj t) = щ канонических уравнений, соответствующих этой системе. Показать, что эти п первых интегралов находятся в инволюции, т. е. что скобки Пуассона от них fi, fk) = 0 i, к = 1,п). [c.271]

Лиувилль доказал, что если в системе с п степенями свободы (т. е. 2п-мерным фазовым пространством) известны п независимых первых интегралов в инволюции, то система интегрируема в квадратурах. [c.238]

Действительно, Г п Н находятся в инволюции, так как Г — первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н. [c.239]

Теоремы С. Ли и Лиувилля. Результаты, полученные в двух предыдущих пунктах, являются частными случаями основной теоремы теории канонических систем, которая формулируется следующим образом (теорема С. Ли) если для канонической системы порядка 2я известны т интегралов, независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно стольких же переменных р, то ранг системы, от которого зависит определение общего реигения, понижается на 2т единиц (вместо т) и интегрирование данной системы сводится к интегрированию другой системы, тоже канонической, с п — т парами сопряженных яе-ременных. [c.311]

НЕИНВОЛЮТИВНЫЙ НАБОР ИНТЕГРАЛОВ. Приведем пример задачи с п степенями свободы, в которой имеется ровно п интегралов движения, но они не находятся в инволюции пусть по сфере движутся две точки, причем потенциальная энергия действующих сил зависит только от расстояния между ними. Тогда сохраняются полная энергия и три компоненты суммарного кинетического момента системы — эти последние и имеют ненулевые скобки Пуассона. [c.272]

В общем случае приведенные четыре интеграла не инволютивны, поэтому простое их указание (даже всех четырех) не является доказательством интегрируемости системы. Гамильтониан Н и момент инерции I находятся в инволюции, третьим же интегралом в инволюции является - - Q . Таким образом, задача 3-х вихрей действительно является интегрируемой. Современное изложение данного вопроса можно найти в книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике . [c.72]

В гамильтоновой механике особую роль играют группы симметрий, порождаемые гамильтоновыми системами если функции Я и F находятся в инволюции, то фазовый поток гамильтоновой системы с гамильтонианом F переводит решения уравнений Г амильтона с гамильтонианом Н в решения тех же уравнений. Таким образом, задача о группах симметрий уравнений Гамильтона содержит как частный случай задачу о первых интегралах. Нётеровы симметрии порождаются линейными интегралами F = р - v q). [c.14]

Таким образом, возмущенную задачу можно считать решенной , если ряды теории возмущений корректно определены и являются сходящимися. Из их сходимости вытекал бы ряд важных следствий (в частности, вечная устойчивость Солнечной системы). Забегая вперед, скажем о разочаровывающем результате Пуанкаре в общем случае из-за наличия так называемых малых делителей ряды теории возмущений расходятся. Более того, расходятся ряды усовершенствованной теории возмущений, предложенной Пуанкаре и Болином, в которой решения разлагаются в ряды не по степеням е, а по степеням у/ё. Заметим, что если ряды теории возмущений сходятся, то уравнения движения имеют полный набор интегралов в инволюции, которые можно представить в виде сходящихся степенных рядов по е (или у/е). [c.15]

Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти,-например, в книгах [И, 54]). Рассмотрим п однопараметрических групп д и е К), являющихся фазовыми потоками п гамильтоновых полей Vf.. Функции Fi,..., F находятся в инволюции, поэтому поля vpi касаются Ма- Следовательно, группы (/, переводят гладкие многообразия Ма в себя, поэтому определено действие (/, на Ма. В силу условия 2), значения д х) х е Ма) определены при всех t . Поля Vi и Vj коммутируют на Ма, поэтому группы (/, и gj также коммутируют. Следовательно, на Ма определено действие абелевой п-мерной группы К" = ii,...,i g x) = g , ..д (х). Согласно условию 1), градиенты функций Fi,...,F независимы во всех точках Ма, поэтому на Ма векторные поля vi,..., v также линейно независимы. Отсюда и из предположения о связности Ма ВЫВОДИТСЯ, ЧТО действие группы К" на Мд.свободно и транзи-тивно. Следовательно, Ма диффеоморфно фактормногообразию К"/Г, где Г — стационарная группа действия К" (она состоит из точек S Е К", для которых д х = х). Поля vi,..., v независимы, поэтому Г — дискретная подгруппа в К", изоморфная, как известно, О к п). Таким образом, Ма — х Равномерно меняющиеся глобальные координаты (р mod 2тг, у линейно выражаются через ii,..., i . Полагая tj = onst при всех j ф г, получаем решения гамильтоновой системы х = Vi x) как линейные функции времени ti = t. [c.85]

Для того чтобы указать полный набор коммутирующих интегралов в системе с разделенными переменными, вовсе не обязательно выписывать в явном виде полное решение уравнения (7.3). Например, в случае (а) из п. 2 ими будут функции Fi = fi pi,qi), Г2 = /2(/i(pi,ii),P2, 2),. .., Fn = Н, а вслучае (б) —функции Fq = = Н, F, = f, p q,) - Нg, p,,q,) (1 s п). Функции Fq, Fi,..., F находятся в инволюции, однако (ввиду равенства Fi -Ь... -Ь F = 0) не все они независимы. Отбрасывая одну из функций F к 1), получим набор независимых интегралов. [c.100]

Теорема l[l]- Пусть М —связное, компактное, ориентируемое четномерное многообразие. Если гамильтонова натуральная система на Т М имеет к (dim М)/2 нез висимых линейных интегралов, находящихся попарно в инволюции, то х(М) 0. [c.152]

Следуя Пуанкаре, поставим задачу о наличии у системы (4.1) полного набора независимых интегралов (в количестве п) в виде степенных рядов Fk x,y)e с аналитическими и 2тг-периодичес-кими по X коэффициентами. Подчеркнем, что совсем необязательно требовать сходимости этих степенных рядов. Используя невырожденность невозмущенной задачи с гамильтонианом Но, можно показать (см. ниже), что формальные интегралы, составляющие полный набор интегралов, находятся попарно в инволюции. [c.196]

Предположим, что при е = О гамильтонова система вполне интегрируема существуют п аналитических интегралов Fi,..., Г , попарно находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Так как гиперболический тор TJ нерезонансный, и поверхности Лд состоят целиком из асимгпчэтических траекторий, то функции Fj постоянны на Л . Таким образом, Aq содержатся в некотором замкнутом множестве [z Fi(z) = i,..., F (z) = с ], причем, согласно результатам 9 гл. И, точка с = (сь..., с ) G R" является критическим значением отображения F — R". [c.254]

Гамильтоновы уравнения движения имеют четыре первых интеграла сохраняются полная энергия Я и три проекции (Fl, р2, Fз) момента импульса системы (тело -Ь ротор) на оси неподвижной ортогональной системы отсчета. Нетрудно проверить, что FьF2 = Я, F2,Fз = Ри 3, Fl = р2- Следовательно, функции Я, Р], = Р + Р2+Р находятся в инволюции, и для полной интегрируемости уравнений движения нужен еще один независимый интеграл, коммутирующий с функциями Я, Р и Р . Так, если ротор симметричен относительно своей оси вращения, то дополнительным интегралом является проекция момента импульса [c.273]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...