Метод комплексных функций напряжений

Описан метод комплексных функций напряжений Г. В. Колосова для плоской задачи теории упругости. Изложен метод конформных отображений. [c.6]

Метод комплексных функций напряжений 119 [c.119]

Метод комплексных функций напряжений в плоской задаче теории упругости [c.119]

Приведенные три формулы Колосова были выведены им в 1909 г. [30] другим путем и записаны в несколько иной форме. Они лежат в основе метода комплексных функций напряжений. [c.209]

Таким образом, полностью построены основные соотношения метода комплексных функций напряжений. Примеры их применения обсуждаются в 8.5. [c.212]

Таким образом, для оболочек второго порядка полностью сохраняется описанный в 16.27 метод подбора комплексной функции напряжений (О, соответствующей действию на оболочку произвольной системы сосредоточенных сил и моментов. Формула (16.27.2) остается в силе, но в ней при определении констант pj надо вместо (16.26.8) пользоваться формулами (16.29.1), [c.243]

Если комплексные функции напряжений известны, то действительная и мнимая части соотношений (6.3) дают реальные физические величины, т. е. напряжения и перемещения. Для определения комплексных функций напряжений привлекаются общие теоремы теории аналитических функций, причем важным вспомогательным средством при расчетах являются так называемые интегралы типа Коши. Решения получаются частично элементарным способом, частично сводятся к сложным интегральным уравнениям. Для многих задач способ комплексных функций напряжений может рассматриваться как прямой метод решения. [c.121]

Известны многочисленные частные решения уравнения (8.29) каждое из которых соответствует определенному напряженному состоянию, удовлетворяющему уравнениям равновесия и совместности. Основная трудность при построении решения состоит в подборе функций, удовлетворяющих граничным условиям. Наложением их были решены многочисленные задачи теории упругости, имеющие большое практическое значение. Впрочем, следует заметить, что общего решения бигармонического уравнения не существует и отсутствуют также общие методы его решения. Существенное продвижение дает способ комплексных функций напряжений Колосова, который подробно обсуждается в 8.4. [c.198]

Задача о сосредоточенной силе внутри полуплоскости (рис. 8.27) была решена впервые Меланом [64] >. Позднее решение было получено с помощью комплексных функций напряжений [33], а также методом интегральных преобразований [В41]. Для случая когда нагрузка соответствует рис. 8.27(а), [c.237]

Способ, изложенный в предыдущем пункте, можно развить в виде общего способа неопределенных коэффициентов с тем, чтобы применить его к областям с произвольной границей и отверстиями, если имеется подходящая функция, осуществляющая конформное отображение. В общем случае этот способ очень трудоемкий, особенно для определения второй комплексной функции напряжений, и может быть заменен более общими методами теории аналитических функций. Однако для пластины [c.246]

Применительно к некоторым частным случаям были разработаны более соверщенные аналитические методы рещения с целью преодоления трудностей классического подхода. Например, задачи, в которых область нагружения ограничена эллипсом, удобнее рещать с помощью перехода от прямоугольных координат к эллипсоидальным [244, 119, 78]. В задачах с круговыми областями контакта применение специальной комплексной функции напряжений, предложенной Ростовцевым [311] (см. также [136]), позволяет определить напряжения, если в. области контакта заданы перемещения. [c.62]

Задача б) выше была решена методом функции напряжений, здесь эта же задача решается методом функции комплексного переменного. В задаче б) главные векторы и главные моменты сил, приложенных на каждой из границ г=г и г=гг, в отдельности равны нулю. На основании формул (6.100) и (6.101) и для этой задачи функции ф(г) и г з(2) являются внутри кольца голоморфными и определяются из условий (6.163), здесь /(/]), /(/г) принимают вид [c.147]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Адамс [1] сообщил автору полученное методами теории функций комплексного переменного решение соответствующей описанному выше эксперименту задачи теории упругости. Для тех же свойств материала, что и у экспериментальной модели, это решение дает значения коэффициента концентрации напряжений, равные 1,89 на границе раздела и 1,99 в центре поперечного сечения межволоконного промежутка, что очень хорошо согласуется с изложенными выше экспериментальными данными. [c.538]

При решении плоской задачи с помощью функции напряжений применяются различные методы полуобратный метод с использованием алгебраических полиномов или тригонометрических рядов, метод функций комплексных переменных, метод конечных разностей ( 21.1) и другие методы. [c.351]

Сущность метода функции напряжений, используемого для решения упругих задач, заключалась в выборе подходящей алгебраической или тригонометрической функции двух переменных Хх, или г, 0), удовлетворяющей условию совместности (V ) = О, из которого получаются напряжения, удовлетворяющие граничным условиям. Чтобы использовать этот метод при расчете напряжений у трещины, удобно функцию напряжений выбрать в виде комплексной функции двух переменных, что упрощает математические выкладки. [c.47]

Отделение в последнем уравнении действительной части от мнимой дает возможность определить раздельно (аза — сгц) и Поэтому получение напряжений из комплексных потенциалов, составляющих функцию напряжения, является относительно простым и прямым методом решения задачи. Воспользовавшись потенциалами, можно вычислить перемещения. Если перемещение в направлении равно и , а в направлении х оно равно и , то при плосконапряженном состоянии получим [c.50]

В данной главе исследуется взаимодействие упругих волн с препятствиями в виде прямолинейных разрезов и трещин. Теория трещин в настоящее время интенсивно развивается. Имеется обширная литература, посвященная в первую очередь исследованию статического распределения напряжений около трещин и разрезов, например [51, 76. 80, 97]. При этом базисным решением является решение задачи для упругой плоскости с эллиптическим отверстием, которая позволяет применить методы теории функций комплексного переменного. [c.126]

Глава II. Плоская задача. Общие формулы и простейшие приложения. Здесь на 100 страницах изложены как постановка плоской задачи, так и главные методы решения ее. Решение достигается при помощи функции напряжений и комплексного представления ее, причем сперва излагается общая теория методов, а затем они развиваются практически на ряде примеров. Из этих примеров отметим а) растяжение пластинки, ослабленной круговым отверстием б) действие сосредоточенной силы, приложенной в точке неограниченной плоскости в) действие сосредоточенной пары г) рассмотрение напряжений в кольце, вызываемых заданными силами д) изгиб кругового бруса е) общая теория температурных деформаций и вызываемых ими напряжений. [c.9]

Методы теории функций комплексного переменного, как показал впервые С. Г. Лехницкий (его работы были опубликованы в тридцатых годах см., например, [1]), применимы и к случаю однородного анизотропного тела, имеющего в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную данной плоскости, которую мы примем за плоскость Оху. Если тело подвергается плоской деформации, параллельной этой плоскости, то функция напряжений (функция Эри) удовлетворяет вместо бигармонического уравнения более общему уравнению (имеется в виду случай отсутствия объемных сил) [c.603]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

К задаче упруго-пластического кручения математически близка задача об упруго-пластической антиплоской деформации. Здесь также реализуется состояние чистого сдвига, но заданы напряжения на контуре тела. В работах Г. П. Черепанова (1962) методами теории функций комплексного переменного рассмотрена упруго-пластическая задача для произвольного выреза в неограниченной плоскости. На контуре выреза заданы напряжения, предполагается, что пластическая зона полностью охватывает отверстие. [c.112]

Метод граничной коллокацин [1], точность меньше 0.1% метод конечных элементов [27], точность меньше 1% метод комплексных функций напряжения [28], точность меньше нескольких процентов. [c.226]

В 6.2 уже обсуждался кратко метод комплексных функций напряжений и отмечалось его значение для решения плоской задачи теории упругости. К этому можно добавить, что пионерские работы Г. В. Колосова и основанные на них последующие исследования Н. И. Мусхелишвили представляют собой важнейший вклад в равитие плоской задачи теории упругости в XX столетии. [c.206]

Наиболее эффективным в решении задач о концентрации напряжений в упругих пластинах с трещинами оказалось использование методов комплексных функций напряжений, развитых Н. И. Муске-лишвили и Н. М. Вестергардом [1]. На продолжении трещины (вдоль оси X) (рис. 9.2) напряжения выражаются формулой [c.192]

Влияние свободных поверхностей учитывают с помощью функций в виде полиномов в сочетании с техникой конформных отображений. При этом комплексная переменная г, соответствующая геометрии трещины, выражается как функция другой комплексной переменной g, соответствующей геометрии единичного круга или полуплоскости в бесконечном теле. Иллюстрация этого метода дана Парисом и Си [7], рассмотревшими действие единственной сосредоточенной силы F, направленной под произвольным углом к поверхности трещины. Для представления полей растягивающих и сдвиговых напряжений у вершины трещины, возникающих благодаря этой силе, ими был использован комплексный коэффициент интенсивности напряжений К = К — iK , и после формального вывода Стц и сГзг из полной комплексной функции напряжений Вестергаарда с использованием переменной т] = (z—вместо действительного расстояния г = (Xi — а) [как в выводе уравнения (115) из (ПО)] они смогли записать [c.75]

Для многих докладов характерен комплексный подход к проблеме, основанный на сочетании экспериментальных и расчетных методов. В качестве примера можно указать удачное использование комплексной функции напряжений Вестергаарда и расчетов на ЭВМ для того, чтобы по данным измерения напряжений методом динамической фотоупругости в некоторой области, удаленной от конца трещины, определить динамический коэффициент интенсивности напряжений в ее конце. [c.7]

Начало интенсивных исследований в Англии относится к 40-м годам и связано с публикацией серии работ Грина и Тейлора [23, 24], Грина [15—22] и Холгата [30]. Подход, развитый в ранних работах [15, 23], предусматривал введение функции напряжений Эри по схеме, первоначально использованной Мичелом [39] для изотропной среды. В более поздних работах этой серии Грин использовал метод комплексных переменных, впервые предложенный Стивенсоном [58], публикация/статьи которого задержалась из-за второй мировой войны. Несмотря на то, что этот подход аналогичен методу Мусхелишвили [41], аппарат комплексных пере- менных использовался в работах английских исследователей до первого издания книги Мусхелишвили. Времени публикации статьи Стивенсона соответствует период окончательного утверждения метода комплексных переменных. [c.15]

Гори [29] применил метод теории функций комплексного переменного к исследованию плоской задачи о бесконечной матрице с двумя жесткими цилиндрическими включениями и указал, что положение точки максимального напряжения зависит от расстояния между включениями, В случае больших промежутков между волокнами наибольшее главное напряжение достигается на границе раздела, однако в случае промежутков, меньших радиуса волокна, точка максимума смещается к середине межволоконного промежутка. От1мечено также заметное влияние коэффициента Пуассона материала матрицы, причем для заданной величины промежутка наибольшие наиряжения соответствуют несжимаемой матрице. Например, для промежутка между волокнами, равного половине радиуса волокна, максимальное напряжение при коэффициенте Пуассона, равном [c.538]

Теория функций комплексного переменного ггаппа применение для решения плоской задачи теории упругих температурных напряжений при стационарном распределении температуры В этом случае функция напряжений является бигармонической [см.(4.4.24)]. Последовательность решения задачи определения температурных напряжений этим методом можно найти в [43, 68, 76]. [c.215]

В общем виде метод Уиллиямса может быть описан следующим образом. Функция напряжений Ф приобретает вид полинома, если ее выразить через комплексные потенциалы [см. уравнение (80)] ( (г) и X (z), которые в свою очередь записаны как многочлены [c.74]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

Впервые этот метод применил Г. В. Колосов Он показал, что интеграл бигармопического уравнения для функции напряжений, а также граничные условия в напряжениях или смещениях могут быть выражены через функции комплексного переменного. Ряд важных результатов получил Н. И. Мусхелишвили С помощью функций комплексного переменного можно легко получить решение плоской задачи теории упругости для внутренности круга. Если же задана некоторая односвязная область, отличная от круга, то в этом случае надо воспользоваться конформным отображением области на круг. Кроме того, использование интеграла тина Коши позволяет свести плоскую задачу теории упругости к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для решения которого существуют хорошо разработанные приближенные методы. В некоторых случаях (например, для [c.252]

Установлено [5—9], что тангенциальная составляющая напряженности поля дефекта проходит через максимум над дефектом, а нормальная составляющая напряженности поля над дефектом равна нулю и максимальна в точках с координатами, пропорциональными глубине залегания дефекта. При этом А. Б. Сапожни-ковым получено аналитическое выражение, описывающее ширину поля дефекта в непосредственной близости от поверхности изделия. Из выражения следует важный для магнитной дефектоскопии вывод, что абсциссы максимумов нормальной составляющей поля дефекта раздвигаются с ростом глубины залегания дефекта, т. е. элементарная область, на которую действует поле дефекта, пропорциональна глубине залегания дефекта. Однако найденный А. Б. Сапожниковым коэффициент пропорциональности, имеющий большое значение для решения проблемы измерения глубины залегания и точных размеров дефектов, не совпал с расчетными данными, полученными при использовании других методов, в частности методов теории функций комплексного переменного. [c.11]

Решение аналогичной задачи дано Меланом и Паркусом без использования функций комплексного переменного в их методе применяется комбинация термоупругого потенциала перемещений и функции напряжений [31]. [c.104]

Рассмотренная в 4.7 и 4.8 задача о тепловых напряжениях в длинном полом цилиндре (или в круглом диске с центральным отверстием), обусловленных плоским неосесимметричным стационарным температурным полем, стала предметом исследований многих авторов. Впервые решение этой задачи с помощью метода, основанного на исследовании вспомогательной задачи о дислокациях цилиндра и на применении теории функций комплексного переменного, получил Н. И. Мусхелишвили [44, 45] ( 4.8). Позже метод, использующий теорию функций комплексного переменного, был применен для исследования указанной задачи Гейтвудом [8]. Решение аналогичной задачи дано Меланом и Паркусом без использования функций комплексного переменного в их методе применяется комбинация термоупругого потенциала перемещений и функции напряжений [42]. Приведенный в 4.7 метод решения заимствован из книги [5]. Решение упомянутых выше задач выполнено в предположении, что упругие характеристики и коэффициент линейного теплового расширения материала постоянны. [c.94]

Остановимся теперь на контактных задачах, относящихся к равновесию бесконечного цилиндра. При рассмотрении этих вопросов наиболее эффективным оказывается метод парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Фурье по осевой координате. Характерной особенностью этого способа является то обстоятельство, что в случае полубесконечной области контакта эти уравнения допускают точное решение с помощью методов теории функций комплексного переменного, опирающихся на возможность факторизации аналитической функции, заданной в полосе. Первой работой этого направления явилась статья Б. И. Когана (1956), посвященная изучению осесимметричного напряженного состояния бесконечного цилиндра, зажатого без трения в полубеско-нечную ж есткую обойму. В предположении, что в области контакта задано постоянное радиальное смещение, задача сводится к парным уравнениям вида [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...